Solución detallada

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 3. Trigonometría
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
4. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) sen2x = senx
b)
2
3
=
senx cos2 x
Solución
a) Sustituyendo en la ecuación inicial la expresión del seno del ángulo doble, sen2x = 2 senx cosx,
se obtiene la ecuación 2 senx cosx = senx.
Pasando senx al primer miembro y sacándolo factor común se obtiene senx (2 cosx − 1) = 0, de
donde, senx = 0 o 2 cosx − 1 = 0. Resolviéndo cada una de las ecuaciones anteriores se tiene:
• senx = 0 ⇒ x = kπ con k ∈ Z.
• 2 cosx − 1 = 0 ⇒ 2 cosx = 1 ⇒
cosx =
1
. Los ángulos positivos menores que 360º cuyo
2
π
5π
1
son
y
, por tanto, las soluciones serán esos ángulos y los que se obtienen
3
3
2
sumando un número entero de vueltas a la circunferencia.
coseno es
Por tanto, las soluciones de la ecuación inicial son x = kπ, x =
π
3
+ 2kπ y x =
5π
+ 2kπ con k ∈ Z.
3
b) Para resolver la ecuación inicial es conveniente que aparezca una única razón trigonométrica,
2
3
=
, y pasando todo al primer
para ello se sustituye cos2x = 1 - sen2x, quedando
senx 1 − sen2 x
miembro se obtiene,
(
)
2 1 − sen2 x − 3senx
(
senx 1 − sen2 x
)
= 0.
Las soluciones serán los valores de x para los que el numerador sea nulo, 2 - 3senx - 2sen2x = 0, y
no anulen el denominador, es decir, las que verifiquen senx ≠ 0 y sen2x ≠1.
Al ser 2 - 3senx - 2sen2x = 0 una ecuación de segundo grado con incógnita senx se tiene
3 ± 9 + 16 3 ± 5 ⎧ −2
senx =
=
=⎨
−4
−4
⎩1 / 2
El valor del seno siempre está entre -1 y 1, por tanto de los dos valores obtenidos, el único a
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considerar es senx = . (Observar que se verifica senx ≠ 0 y sen2x ≠1)
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© Proyecto de innovación ARAGÓN TRES
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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 3. Trigonometría
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
π
5π
y
son los únicos positivos menores que
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6
1
360º que tienen el seno igual a
, por tanto, las soluciones
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serán esos ángulos y los que se obtienen sumando un número
entero de vueltas a la circunferencia, es decir, las soluciones
son
π
5π
x = + 2kπ y x =
+ 2kπ con k ∈ Z.
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Los ángulos
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