derivadas parciales

Matemáticas Avanzadas – Relación 2
Problemas de cálculo de derivadas parciales
En los problemas del 1 al 8 calcule todas las derivadas parciales de primer orden de la función dada
1.- f ( x, y ) = 5 x 2 y + 2 xy 3 + 3 y 2
2.- f ( x, y ) = ( x + xy + y )3
3.- f (t , s ) =
t2
s3
4.- f ( x, y ) = xye x
5.- f ( x, y ) =
e 2− x
y2
6.- f ( x, y ) =
xy 2
x2 y3 + 1
7.- f (u , v) = u ln(uv)
 x y
+ 
y x
8.- f ( x, y ) = ln 
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
En los problemas del 9 al 12 calcule las derivadas parciales de primer orden f x ( x, y ) y f y ( x, y ) en el
punto dado P0 ( x0 , y0 ) .
9.- f ( x, y ) = 3 x 2 − 7 xy + 5 y 3 − 3( x + y ) − 1; P0 ( −2,1)
10.- f ( x, y ) = ( x − 2 y ) 2 + ( y − 3x) 2 + 5; P0 (0, −1)
11.- f ( x, y ) = xe−2 y + ye − x + xy 2 ; P0 (0, 0)
 y
2
 + ln(2 x − 3 y ) ; P0 (1,1)
x
12.- f ( x, y ) = xy ln 
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
En los problemas del 13 al 18 halle las segundas derivadas parciales (incluidas las parciales cruzadas).
13.- f ( x, y ) = 5 x 4 y 3 + 2 xy
14.- f ( x, y ) =
x +1
y −1
15.- f ( x, y ) = e x
2
y
16.- f (u , v) = ln(u 2 + v 2 )
17.- f ( s, t ) =
s2 + t 2
18.- f ( x, y ) = x 2 ye x
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
19.- Se estima que la producción semanal de cierta planta está dada por la función
Q(x,y)=1200x+500y+x2y-x3-y2
unidades, donde x es el número de trabajadores calificados e y el número de trabajadores no calificados
empleados en la planta. En la actualidad la fuerza laboral consta de 30 trabajadores calificados y 60 no
calificados. Utilice el análisis marginal para estimar el cambio en la producción semanal que resultará de
la adición de 1 trabajador calificado, si el número de trabajadores no calificados permanece invariable.
Calcule también el cambio exacto: Q(31,60)-Q(30,60), ¿la aproximación es adecuada?
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
20.- Un fabricante estima que la producción mensual de cierta fábrica está dada por la función de CobbDouglas
Q(K.L)=50K0,4L0,6
donde K es el gasto de capital en unidades de 1000$ y L es el tamaño de la fuerza laboral, medida en
horas-trabajador.
a) Halle la productividad marginal de capital QK y la productividad marginal de mano de obra QL cuando
el gasto de capital es 750000$ y el nivel de mano de obra es 991 horas-trabajador.
b) ¿Debería estudiar el fabricante la posibilidad de adicionar capital o incrementar la mano de obra para
aumentar la producción?
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
21.- Suponga que la función demanda de harina en cierta comunidad está dada por
D1 ( p1 , p2 ) = 500 +
10
− 5 p2
p1 + 2
mientras que la demanda correspondiente de pan está dada por
D2 ( p1 , p2 ) = 400 − 2 p1 +
7
p2 + 3
donde p1 es el precio en dólares de un kilo de harina y p2 es el precio de una barra de pan. Determine si la
harina y el pan son artículos sustitutos, complementarios o ninguno de los dos.
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
22.- La productividad de cierto país está dada por
Q( K , L) = 90 K 1/ 3 L2 / 3
unidades, donde K es el gasto de capital en unidades de 1 millón de dólares y L es el tamaño de la fuerza
laboral en miles de horas-trabajador.
a) Halle la productividad marginal del capital QK y la productividad marginal de mano de obra QL cuando
el gasto de capital es de 5 495 000 000$ (K=5 495) y el nivel de trabajo es de 4 587 000 horas-trabajador
(L=4 587).
b) ¿Debería el gobierno del país fomentar la inversión de capital o el empleo de mano de obra adicional
para aumentar la productividad tan rápido como sea posible?
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
23.- La utilidad diaria de un tendero por la venta de dos marcas de zumo de naranja es
P ( x, y ) = ( x − 30)(70 − 5 x + 4 y ) + ( y − 40)(80 + 6 x − 7 y )
centavos, donde x es el precio por lata de la primera marca e y es el precio por lata de la segunda marca.
En la actualidad la primera marca vende la lata a 50 centavos y la segunda a 52 centavos. Utilice el
análisis marginal para estimar el cambio resultante en la utilidad diaria si el tendero sube el precio de la
segunda marca en 1 centavo la lata, pero mantiene igual el precio de la primera marca.
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
24.- Cuanto menor sea la resistencia a la circulación en un vaso sanguíneo, menor energía gastará el
corazón al bombear la sangre. Una de las leyes de Poiseuille afirma que la resistencia a la circulación de
la sangre en un vaso sanguíneo satisface
F ( L, r ) =
kL
r4
donde L es la longitud del vaso, r es su radio y k es una constante que depende de la viscosidad de la
sangre.
a) Halle F, FL y Fr en el caso donde L=3’17 cm y r=0’085 cm. Exprese la respuesta en términos de k.
b) Suponga que el vaso sanguíneo anterior se comprime y alarga de manera que su nuevo radio sea 20%
más pequeño que antes y su nueva longitud sea 20% mayor. ¿Cómo afectan estos cambios a la circulación
F(L,r)? ¿Cómo afectan a los valores de FL y Fr?
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
25.- Un distribuidor de bicicletas descubrió que si las bicicletas de 10 velocidades se venden a x dólares la
unidad y el precio de la gasolina es y centavos por galón, cada mes se venderán aproximadamente F(x,y)
bicicletas, donde
F ( x, y ) = 200 − 24 x + 4(0 '1 y + 4)3/ 2 .
Actualmente, las bicicletas se venden a 324$ la unidad y la gasolina a 1’20$ el galón. Utilice el análisis
marginal para determinar el cambio en la demanda de bicicletas cuando el precio de las bicicletas se
mantiene fijo pero el precio de la gasolina disminuye 1 centavo el galón.
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
26.- Un envase de bebida gaseosa es un cilindro de altura H y radio R cm. Su volumen está dado por la
fórmula V=πR2H. Cierto envase tiene 12 cm de altura y 3 cm de radio. Utilice el análisis marginal para
estimar el cambio en el volumen si el radio aumenta en 1 cm mientras que la altura sigue siendo 12 cm.
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
27.- Para el envase de bebida gaseosa del apartado anterior, el área de superficie está dada por
S=2πR2+2πRH. Estime el cambio en la superficie si:
a) El radio aumenta de 3 a 4 cm mientras que la altura permanece en 12 cm.
b) La altura disminuye de 12 a 11 cm mientras el radio permanece en 3 cm.
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
En los problemas 28 a 30, se dan las funciones de demanda para un par de artículos. Utilice las derivadas
parciales para determinar si los artículos son sustitutos, complementarios o ninguno de los dos:
28.- D1 = 2000 + 100 − 25 p2 ; D2 = 1500 −
p1 + 2
29.- D1 = 7 p2 ; D2 =
2
1 + p1
p2
p1 + 7
p1
1 + p22
30.- D1 = 200 p1−1/ 2 p2 −1/ 2 ; D2 = 300 p1−1/ 2 p2 −3/ 2
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
En los problemas 31 a 33 obtenga las derivadas de las siguientes funciones implícitas:
31.- 5 x 6 + 2 x 3 y − y 7 x = 10
32.- x ln( y ) + y 3 = e x
33.-
y
cos( xy )
= x
x2
e
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
En los problemas 34 a 36 obtenga las derivadas parciales zx y zy de las siguientes funciones implícitas:
34.- xz − 2 x 3 yz + y 2 x = e x
35.- ln( z ) x + y 3 = cos( xyz )
36.- ln( xyz ) = z