Cálculo de Probabilidades. Enunciados.

Cálculo de Probabilidades.
Enunciados.
25 de septiembre de 2006
2
Índice general
1. Espacio de probabilidad
1.1. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Probabilidad condicionada, teorema de Bayes e independencia . . . . . . . . . . .
2. Variables y vectores aleatorios
2.1. Variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Vector aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Independencia de variables aleatorias . . . .
2.4. Distribuciones condicionadas . . . . . . . .
2.5. Función de una o varias variables aleatorias
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3. Esperanza
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3.1. Esperanza de una variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2. Esperanza de un vector aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3. Esperanza condicionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4. Convergencia de sucesiones de variables
4.1. Tipos de convergencia . . . . . . . . . .
4.2. Leyes de los Grandes Números . . . . .
4.3. Función caracterı́stica . . . . . . . . . .
4.4. Teorema Central de Lı́mite . . . . . . .
4.5. Función generatriz de momentos . . . .
aleatorias
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5. Exámenes previos
5.1. 1 de septiembre de 2004
5.1.1. Castellano . . . .
5.1.2. Valenciano . . .
5.2. 3 de febrero de 2004 . .
5.2.1. Castellano . . . .
5.2.2. Valenciano . . .
5.3. 3 de septiembre de 2005
5.3.1. Castellano . . . .
5.3.2. Valenciano . . .
5.4. 8 de junio de 2004 . . .
5.4.1. Castellano . . . .
5.4.2. Valenciano . . .
5.5. 9 de febrero de 2005 . .
5.5.1. Castellano . . . .
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ÍNDICE GENERAL
5.5.2. Valenciano
5.6. 21 de junio de 2005
5.6.1. Castellano .
5.6.2. Valenciano
5.7. 6 de junio de 2006
5.7.1. Castellano .
5.7.2. Valenciano
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Capı́tulo 1
Espacio de probabilidad
1.1.
Probabilidad
Problema 1 Juego de dados tradicional chino que se juega durante la celebración del año nuevo. En este juego se lanzan 6 dados. Según parece un lanzamiento con dos pares gana a un
lanzamiento con un par. ¿Cuál es la probabilidad de cada uno de estos sucesos? En otras palabras, encuentra la probabilidad de obtener un par en un lanzamiento de 6 dados y la probabilidad
de obtener dos pares en un lanzamiento de 6 dados.
Problema 2 (Problema de los cumpleaños) En una reunión hay n personas. ¿Cuál es la
probabilidad de que dos de ellas tengan el mismo cumpleaños?
Problema 3 (Pitman, página 9) Elegimos una palabra al azar de esta frase. Se pide:
1. ¿Qué probabilidad tenemos de que la palabra tenga al menos cuatro letras?
2. ¿Y de que la palabra tenga al menos dos vocales?
3. ¿Y de que tenga al menos dos letras y al menos dos vocales?
Problema 4 (Muestreo con y sin reemplazamiento) Veamos un experimento que corresponde a lo que se conoce como muestreo con reemplazamiento Una caja contiene una serie de
papeletas marcadas con los números 1, . . . , n. Elegimos al azar una papeleta de la caja. Vemos
su número y la devolvemos a la caja. Determinar las probabilidades de los siguientes sucesos.
1. La primera papeleta tiene el número 1 y la segunda el número 2.
2. Los números de las dos papeletas son números enteros consecutivos, esto es, la primera
papeleta tiene un número una unidad inferior a la segunda.
3. El segundo número extraido es mayor que el primero.
Supongamos ahora que no reemplazamos la primera papeleta en la caja. En consecuencia la
segunda papeleta ha de ser distinta a la primera. Se pide responder a las tres preguntas anteriores
en esta nueva situación.
Problema 5 Supongamos que barajamos una baraja de 52 cartas y tomamos las dos cartas que
han quedado en la parte superior del mazo.
5
6
CAPÍTULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD
1. ¿Cuántos pares ordenados de cartas podemos obtener como resultado? En lo que sigue
vamos a asumir que cada uno de estos pares tiene la misma probabilidad de producirse.
2. ¿Qué probabilidad tenemos de que la primera carta sea un as?
3. ¿Qué probabilidad tenemos de que la segunda carta sea un as?
4. ¿Y de que ambas cartas sean ases?
5. ¿Y de que al menos tengamos un as entre las dos cartas?
Problema 6 Tenemos diez puntos colocados de forma equidistante en la circunferencia de un
cı́rculo y elegimos aleatoriamente tres de entre esos diez puntos. Se pide:
1. Si A y B son dos puntos particulares adyancentes, ¿qué probabilidad tenemos de que A y
B estén entre los puntos seleccionados?
2. ¿Qué probabilidad tenemos de que entre los tres puntos seleccionados aleatoriamente tengamos como mı́nimo un par de puntos adyacentes?
Problema 7 Se dispone de n1 cubos blancos y n2 cubos rojos. Se los ordena al azar en compartimentos numerados de 1 a n1 + n2 .
1. ¿Cuál es el número N de disposiciones distintas posibles?
2. Calcular la probabilidad de que K cubos blancos determinados se encuentren en lugares
fijados.
Problema 8 (Examen 9-2-2005) ¿Cuál es la probabilidad de que una mano de póquer contenga sólo una pareja?
Nota: una baraja de póquer tiene cuatro palos y de cada palo hay 13 cartas. En una mano se
sirven cinco cartas.
Problema 9 (Poker) La baraja francesa consta de 52 cartas distribuidas en cuatro palos o
colores: tréboles, diamantes, corazones y picas. Cada uno de estos palos está compuesto por 13
cartas: uno o as, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez y las tres figuras, que
se llaman valet (V, equivalente al Bube alemán, al Jack inglés, e incluso puede asimilarse a
la Sota española), Dame (D, equivalente a la Dame alemana y a la Queen inglesa) y Roi (R,
equivalente al König alemán, al King inglés, y también al Rey de la baraja española). En una
mano de poker se reparten 5 cartas a cada jugador. Se pide hallar la probabilidad de cada uno
de estos sucesos:
1. Tener escalera de color (5 cartas consecutivas del mismo palo).
2. Tener poker (4 cartas iguales x x x x y).
3. Tener un full (un trı́o y una pareja x x x y y).
4. Tener 5 cartas del mismo palo.
5. Tener una escalera (5 cartas consecutivas).
6. Tener un trı́o (x x x y z)
7. Tener dobles parejas (x x y y z).
1.1. PROBABILIDAD
7
8. Tener una pareja (x x y z w).
Problema 10 Lanzamos dos dados. Determinar la probabilidad de los siguientes sucesos:
1. El máximo de los dos valores que obtenemos es menor o igual a 2.
2. El máximo de los dos valores es menor o igual a 3.
3. El máximo de los dos números es igual a 3.
4. Repite los dos apartados anteriores sustituyendo 3 por x donde x varı́a entre 1 y 6.
5. Si denotamos por p(x) con x = 1, . . . , 6 las probabilidades calculadas en el apartado anteP6
rior comprueba que i=1 p(x) = 1.
Problema 11 (Una carrera de tortugas) En la carrera de las grandes tortugas compiten
cuatro animales. Para darle un poco de animación a la carrera, los cuatro propietarios deciden
introducir los nombres de las tortugas en un sombrero y cada uno de los propietarios elige
aleatoriamente un nombre sin reemplazamiento. Cada propietario está obligado a apostar por
la tortuga que le ha correspondido en el sorteo. Se pide:
1. Determinar la probabilidad de que todos los propietarios apuesten por sus tortugas.
2. Ningún propietario apueste por su propia tortuga.
3. El desafortunado propietario A elija a la tortuga Berzine que siempre pierde.
4. A apueste por la tortuga de B y B por la tortuga de A.
Problema 12 (Examen 2-3-2004) El holandés Christian Huygens publicó en 1657 uno de
primeros libros sobre Probabilidad que se conocen, De Ratiociniis in Ludo Aleae (Del Razonamiento en los Juegos de Azar), en el que planteaba una serie de problemas. El que se conoce
como segundo problema de Huygens lo enunciamos a continuación
Tres jugadores A, B y C participan en el siguiente juego. Una urna contiene a bolas blancas
y b negras. Los jugadores, en el orden ABCABC . . ., extraen una bola con reemplazamiento
hasta que uno de ellos obtiene una bola blanca y gana. Encontrar la probabilidad de ganar para
cada jugador.
Problema 13 Hemos cuadriculado una cierta zona en seis columnas y cuatro filas. Denotamos
por C(i, j) la celda en la fila i y columna j. Considerad el siguiente juego. Tenemos una ficha
colocada en el rectángulo marcado con C(0, 0). La ficha la movemos a la derecha o hacia arriba
desde la celda inicial C(4, 1) a la celda final C(1, 6). Se pregunta:
1. ¿Cuántos posibles caminos hay moverse desde C(4, 1) hasta C(1, 6)?
2. Si el jugador en su camino pasa por la celda C(2, 5) recibe un premio. Supongamos que
cada camino tiene la misma probabilidad, ¿cuál es la probabilidad de que el jugador pase
por C(2, 5) en su camino de C(4, 1) a C(1, 6)?
Problema 14 (Aditividad finita y numerable) Demostrar que una medida de probabilidad es finitamente aditiva.
Problema 15 Comprobar que la definición de probabilidad de Laplace verifica los axiomas de
Kolmogorov. En definitiva, que es una medida de probabilidad.
8
CAPÍTULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD
Problema 16 (Krief y Levy, página 81) Tenemos el espacio de probabilidad (Ω, A, P ). Se
pide:
1. Probar que si A, B y C son tres sucesos en este espacio se tiene que:
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (B ∩ C) − P (A ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C).
2. Sean A1 , . . . , An sucesos en (Ω, A, P ). Demostrar la desigualdad siguiente:
P (A1 ∪ . . . ∪ An ) ≤
n
X
P (Ai ).
i=1
¿En qué caso la desigualdad anterior es una igualdad?
Problema 17 (Krief y Levy página 81) Sea (Ω, A, P ) un espacio de probabilidad. Se denomina diferencia simétrica de dos sucesos A y B al suceso A△B = (A ∩ B c ) ∪ (Ac ∩ B).
1. Probar que si tenemos los tres sucesos A, B y C entonces
P (A△C) ≤ P (A△B) + P (B△C).
2. Para sucesos A, B, C y D se verifica
P (A ∪ B)△(C ∪ D) ≤ P (A△C) + P (B△D).
Problema 18 (Un camino aleatorio culé) El dı́a 27 de julio de 1997 se celebraron elecciones a la presidencia del Barça. Habı́a sólo dos candidatos, el señor Fernández y el señor
Núñez, siendo este último el ganador. Un socio con veleidades probabilı́sticas se hizo la siguiente pregunta: ¿habrá ido el señor Núñez por delante del señor Fernández a lo largo de todo el
escrutinio? El señor Núñez obtuvo 24025 votos y el señor Fernández 5209.
1.2.
Probabilidad condicionada, teorema de Bayes e independencia
Problema 19 Sean A y B dos sucesos. Obtener la probabilidad de A ∩ B si ha ocurrido A o
si ha ocurrido A ∪ B. Comentar el resultado.
Problema 20 (La paradoja del caballero De Meré) En un juego consistente en lanzar
repetidamente un par de dados, encontrar el menor número n de lanzamientos para que la
probabilidad de obtener al menos un doble seis sea mayor que 0,5.
Comentarios
El origen de la paradoja está en la pregunta que Antoine Gombauld, caballero De Meré, planteó a
Pascal Observaba De Meré una discrepancia entre la realidad, deducida de su larga experiencia
como jugador, y una antigua regla muy extendida entre los jugadores que afirmaba que n = 24.
Esta errónea regla tenı́a su origen en la creencia de un comportamiento lineal de las probabilidades. Se sabı́a que si los lanzamientos eran de un solo dado y se perseguı́a la obtención de
un seis, n = 4, pues p3,1 = 0,4213 y p4,1 = 0,5177. Se razonaba a continuación mediante una
sencilla regla de tres: 4 es a 6 como 24 a 36.
1.2. PROBABILIDAD CONDICIONADA, TEOREMA DE BAYES E INDEPENDENCIA 9
Problema 21 A y B juegan a un juego en el que A tiene una probabilidad p de ganar una
partida. El vencedor es aquel que gana dos partidas consecutivas. Encontrar el valor de p si se
sabe que cuando A pierde la primera partida, las probabilidades de ganar el juego para A y para
B son iguales.
Problema 22 (Jugando con un tetraedro) Tenemos un tetraedro un poco extraño. Una
cara es de color rojo, la otra de color azul y una tercera de color verde. La cuarta y última
cara tiene tres partes coloreadas respectivamente de rojo, azul y verde. Lanzamos el tetraedro y
nos fijamos en el color de la cara en que se apoya el tetraedro. Consideramos los sucesos Ar
consistente en que se apoya en una cara con el color rojo. Definimos Aa y Av analágomente
sustituyendo el color rojo por el azul y el verde. ¿Son independientes dos a dos los sucesos
aleatorios Ar , Aa y Av ? ¿Son independientes los tres sucesos?
Problema 23 Con objeto de estudiar la efectividad de un nuevo remedio contra el dolor de
cabeza una gran muestra formada por n personas ha sido seleccionada. Puesto que se piensa
que la reacción de una persona al medicamento puede estar relacionada con el sexo, los datos
que se tomaron fueron especı́ficos al sexo. La siguiente tabla resume los resultados obtenidos:
H
M
E
a
c
Ec
b
d
donde E = { el medicamento ha sido efectivo }, E c = { el medicamento no ha sido efectivo },
H = { hombre }, M = { mujer } y a + b + c + d = n. Es decir, el número de mujeres para las
cuales ha sido efectivo el medicamento es c y ası́ con el resto de la tabla.
1. Basándose en estos datos, determinar (i) P(H), (ii) P(E), (iii) P(H | E), (iv) P(E | H).
2. ¿Cuando son independientes los sucesos E y H? Demostrar que si ad − bc = 0, E y M
son sucesos independientes.
3. Si E y M son independientes, decimos que el efecto medicamento y el factor sexo son
independientes. ¿Por qué podemos hacer esta afirmación?
Problema 24 Demostrar que si B1 , . . . , Bn es una partición de B (es decir, son disjuntos y
∪ni=1 Bi = B), entonces
P(A | B) = P(A | B1 )P(B1 | B) + . . . + P(A | Bn )P(Bn | B).
Problema 25 Consideremos un espacio de probabilidad (Ω, A, P ). Se pide:
1. Demostrar que si A y B son sucesos independientes también lo son A y B c ; Ac y B; Ac
y Bc.
2. Tres sucesos A, B y C se dicen independientes si las tres parejas (A, B), (A, C) y (B, C)
están constituidas por sucesos independientes, y si
P (A ∩ B ∩ C) = P (A) · P (B) · P (C).
Se pide comprobar que las ternas (Ac , B, C), (Ac , B c , C) y (Ac , B c , C c ) son sucesos mutuamente independientes si A, B y C lo son.
3. Demostrar, con un ejemplo, que aunque las parejas (A, B), (A, C) y (B, C) estén constituidas por sucesos independientes, no tiene porqué ocurrir lo mismo con la terna (A, B, C).
10
CAPÍTULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD
Problema 26 (Krief y Levy, página 82) Se consideran cuatro números reales a, b, c y d
comprendidos entre 0 y 1. Determinar las condiciones necesarias y suficientes que deben verificar
estos cuatro números para que se pueda definir un espacio probabilı́stico (Ω, A, P ) y dos sucesos
A y B en este espacio verificando que: P (A|B) = a, P (A|B c ) = b, P (B|A) = c y P (B|Ac ) = d.
Problema 27 Hay sucesos que son independientes de sı́ mismo. Por ejemplo, el suceso vacı́o
∅ verifica que P (∅ ∩ ∅) = P (∅) = 0 y por lo tanto es independiente de sı́ mismo. ¿Qué ha de
verificar un suceso para que sea independiente de sı́ mismo?
Problema 28 Dos jugadores A y B juegan a un juego en el que cada uno de ellos puede
efectuar n lanzamientos de dos dados, siendo A quien comienza. Las reglas del juego son las
siguientes:
Si A obtiene una suma 6 con los dados antes de que B haya obtenido una suma 7, A gana
el juego.
Si es B quien obtiene el 7 antes de que A haya obtenido el 6, es B quien gana.
El juego termina en empate cuando ambos han agotado su n lanzamientos.
Encontrar las expresiones de pA (n), pB (n) y pE (n) que denotan, respectivamente, que el ganador
es A, el ganador es B o el juego termina en empate. Calcular sus lı́mites cuando n → ∞.
Problema 29 Sean A y B dos sucesos incompatibles con probabilidad distinta de cero. ¿Cuál
es la probabilidad de que A ocurra antes que B si el experimento se repite indefinidamente?
Problema 30 (El juego de craps) Un jugador lanza dos dados, si la suma del primer lanzamiento es 7 u 11 gana, si la suma es 2, 3 o 12 pierde y si la suma es cualquier otro número
continua lanzando hasta que aparezca una suma 7 o la suma que inicialmente obtuvo. Si aparece
la suma 7 antes que la suma inicial pierde, en caso contrario gana. Calcular la probabilidad de
que gane el juego.
Problema 31 (El segundo problema de Huygens) El holandés Christian Huygens publicó en
1657 uno de primeros libros sobre Probabilidad que se conocen, De Ratiociniis in Ludo Aleae
(Del Razonamiento en los Juegos de Azar), en el que planteaba una serie de problemas. El que
se conoce como segundo problema de Huygens lo enunciamos a continuación
Tres jugadores A, B y C participan en el siguiente juego. Una urna contiene a bolas blancas
y b negras. Los jugadores, en el orden ABCABC . . ., extraen una bola con reemplazamiento
hasta que uno de ellos obtiene una bola blanca y gana. Encontrar la probabilidad de ganar para
cada jugador.
Problema 32 (El problema de los puntos o del reparto de la apuesta) Dos jugadores
A y B juegan a un juego consistente en un número indeterminado de partidas. La probabilidad
de ganar en cada partida es p para A y 1 − p para B. Aquel de los dos que consigue antes vencer
en r partidas gana el juego y la apuesta que ambos hicieron. Si el juego se interrumpe antes de
finalizar, ¿cómo se debe repartir la apuesta?
Problema 33 Utilizando argumentos probabilı́sticos, probar la igualdad (A > a)
1+
(A − a) . . . 2 · 1
A
A − a (A − a)(A − a − 1)
+
+ ···
=
A−1
(A − 1)(A − 2)
(A − 1) . . . (a + 1)a
a
Sugerencia.- Una urna con A bolas de las cuales a son blancas, extracciones sucesivas sin
reemplazamiento, primera bola blanca, etc.
1.2. PROBABILIDAD CONDICIONADA, TEOREMA DE BAYES E INDEPENDENCIA 11
Problema 34 ( ) Se lanza un dado una vez, si sale 1 se saca una bola de la urna I, si sale 2
o 3 se saca de la urna II, y en otro caso se saca de la urna III. La urna I tiene 5 bolas blancas,
3 verdes y 2 rojas; la urna II tiene 1 blanca 6 verdes y 3 rojas; la III tiene 3 blancas, 1 verde y
6 rojas. Determina las probabilidades siguientes:
1. que se elija una bola roja
2. que se haya seleccionado la urna II si ha salido roja.
Problema 35 Proporcionamos a A un trozo de papel para que escriba un signo + o un signo
−, sabiendo que escribe el primero con probabilidad 1/3. El papel pasa a B, quien lo deja
como está o cambia el signo antes de pasarlo a C. A continuación C, que puede o no haber
cambiado el signo, lo pasa a D, quien finalmente nos lo devuelve tras haber introducido o no
algún nuevo cambio. Si comprobamos que el papel tiene escrito un signo + y sabemos que la
probabilidad de que B, C y D cambiaran el signo es 2/3, obtener la probabilidad de que A
escribiera originalmente un signo +.
Problema 36 Un aparato de diagnóstico automático emite un diagnóstico basado en el resultado de n análisis de un mismo paciente. Cada análisis, independientemente de los restantes,
puede dar un resultado erróneo con probabilidad p. La probabilidad de un buen diagnóstico,
condicionada al número de análisis correctos, es una función creciente de dicho número, g(m).
Durante una mañana la máquina ha diagnosticado a k pacientes. Encontrar la probabilidad
del suceso A ={al menos un paciente está mal diagnosticado}. Particularizar el resultado para
g(m) = m/n.
Problema 37 Un taxi se ve involucrado en un accidente nocturno. En la ciudad hay dos
compañı́as de taxis, los taxis Negros y los taxis Blancos. Se sabe que el 85 % de los taxis de
la ciudad son Negros y el 15 % restante son Blancos. Un testigo del accidente afirma que el
taxi involucrado era Blanco y la fiabilidad de su testimonio es del 80 %, es decir, es capaz de
identificar correctamente el color del taxi el 80 % de las veces.
1. Sin ningún cálculo previo, ¿piensas que es más probable que el taxi accidentado fuera el
Negro o el Blanco?
2. Calcula la probabilidad de que el taxi accidentado fuera el Blanco y compara ambas respuestas.
3. Supongamos que para 0 ≤ p ≤ 1 el 100p % de los taxis son Blancos y que la fiabilidad
del testigo continúa siendo del 80 %. Estudia la sensibilidad a los datos de la respuesta
anterior viendo como varı́a ésta en función de p. ¿A partir de qué valor de p la probabilidad
de que haya sido el taxi Blanco el accidentado supera 0.5?
4. El análisis anterior puede completarse permitiendo que la fiabilidad del testigo sea variable,
100q %, con 0 ≤ q ≤ 1. Determina la región dentro del cuadrado
{(p, q) : 0 ≤ p ≤ 1, 0 ≤ q ≤ 1}
en la que la probabilidad de que haya sido el taxi Blanco el accidentado supera 0.5.
Cuando en todo cuanto precede nos referimos a la probabilidad de que haya sido el taxi Blanco
se sobrentiende que dado que el testigo afirma que era Blanco.
12
CAPÍTULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD
Problema 38 (El coche y las cabras) En un concurso de TV hay tres puertas, una de ellas
esconde un coche y las otras dos sendas cabras. El concursante elige una de las puertas y obtiene
como premio aquello que la puerta oculta, pero la puerta permanece cerrada y el presentador,
que conoce lo que hay detrás de cada puerta, abre una de las otras dos puertas y aparece una
cabra (lógicamente el presentador nunca abre la puerta que oculta el coche). El presentador
se dirige entonces al concursante y le permite cambiar su elección, ¿qué le conviene hacer al
concursante?
Este concurso tuvo gran éxito a principios de los 90 en los USA y una conocida columnista
de la revista Parade Magazine, Marylin vos Savant publicó que cambiando su elección el concursante doblaba su probabilidad de ganar el coche, pues ésta pasaba del 1/3 inicial a 2/3. Su
afirmación era correcta. Compruébalo.
Problema 39 El color de las flores de una cierta planta depende de dos genes, uno que recibe
del padre y el otro de la madre. Si los dos genes son idénticos entonces la flor tiene ese color;
sin embargo, con genes diferentes la flor tiene bandas con cada uno de los dos colores. Los genes
presentes en la población corresponden a los colores azul, amarillo y verde y su proporción en
la población es p, q y r (de modo que p + q + r = 1). Seleccionamos los padres de una planta
aleatoriamente dentro de la población y consideramos: el suceso A consistente en que las flores
del hijo tienen el color azul; el suceso B consistente en que las flores tengan más de un color.
Se pide:
1. Determinar la probabilidad de los dos sucesos.
2. Demostrar que los dos sucesos son independientes si p =
2
3
y q = r = 16 .
3. ¿Son estos los únicos valores de p, q y r que hacen a los sucesos A y B independientes?
Problema 40 Un test para diagnosticar cierta enfermedad tiene una sensibilidad del 95 % y
una especificidad del 99 %. Si la enfermedad en cuestión tiene una prevalencia del 0.5 %, ¿cuál
es el valor predictivo del test?
Problema 41 Supongamos una clase con n estudiantes. Uno de ellos conoce una historia sobre
Jesulı́n. Se la cuenta a uno de sus compañeros elegido al azar. A su vez este segundo estudiante
vuelve a contarla a otro compañero diferente del que se la ha contado elegido al azar. El rumor
sigue propagándose de este modo. En cada ocasión la persona cuenta la historia a otra del grupo
elegida al azar excluyendo a la persona que le ha informado. ¿Cuál es la probabilidad de que la
historia se cuente k veces sin que se la cuenten dos veces al mismo individuo?
Sugerencia:definid los sucesos Ai con i = 1, . . . , k consistentes en que la historia no se
repite la i-ésima vez que se cuenta. A partir de estos sucesos definir el suceso de interés.
Problema 42 Un sistema compuesto por n componentes trabaja en paralelo si funciona cuando
al menos una componente funciona. Si la componente i funciona independendientemente de las
demás con probabilidad pi para i = 1, . . . n , ¿cuál es la probabilidad de que el sistema funcione?
Problema 43 Ha desaparecido un avión y se cree que es igualmente probable que se encuentre
en cualquiera de las regiones R1 , R2 o R3 . Sea 1−αi la probabilidad de que se encuentre el avión
mientras se busca en la región i (en la práctica estas probabilidades dependen de las condiciones
geográficas y del entorno de las regiones). ¿Cuál es la probabilidad de que el avión se encuentre
en la región i dado que la búsqueda en la región 1 ha sido infructuosa?
Problema 44 Si se lanzan dos dados equilibrados
1.2. PROBABILIDAD CONDICIONADA, TEOREMA DE BAYES E INDEPENDENCIA 13
1. ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos sea un 6 dado que los dos números
que han salido son diferentes?
2. ¿cuál es la probabilidad de que el primero de ellos sea un 6 sabiendo que la suma de los
dos números que han salido es i? Hállala para todos los valores de i entre 2 y 12.
Problema 45 Es el doble de probable desarrollar un embarazo ectópico para una embarazada
fumadora que para una embarazada no fumadora. Si el 32 % de las mujeres en edad fértil son
fumadoras, ¿qué porcentaje de mujeres con embarazos ectópicos son fumadoras?
Problema 46 Supongamos que el tiempo (seco o lluvioso) mañana será el mismo que el de hoy
con probabilidad p. Si el tiempo el 1 de enero es seco, demuestra que Pn , que es la probabilidad
de que sea seco n dı́as después, satisface:
Pn = (2p − 1)Pn−1 + (1 − p), n ≥ 1
P0 = 1.
Demuestra que
Pn =
1 1
+ .(2p − 1)n
2 2
Problema 47 Tres prisioneros A, B y C son informados por su carcelero de que se ha elegido
al azar a uno de ellos para ser ejecutado y que los otros dos van a ser liberados. El prisionero A
le pide al carcelero que le diga en privado cuál de sus compañeros va a ser liberado, asegurándole
que no pasa nada porque le dé esa información puesto que él sabe que al menos uno de los otros
dos quedará libre. El carcelero no quiere contestar la pregunta porque dice que si A supiera cuál
de sus dos compañeros va a ser liberado entones su propia probabilidad de ser ejecutado subirı́a
de 31 a 12 porque entonces él serı́a uno de los dos que podrı́a ser ejecutado. ¿Qué piensas del
razonamiento del carcelero?
Problema 48 A y B se enfrentan en duelo. Las reglas del duelo son que ambos tienen que
recoger el arma y disparar al otro simultáneamente. Si uno o ambos resultan heridos, el duelo
se acaba. Si ambos fallan repiten el proceso. Supongamos que los resultados de los disparos son
independientes y que un disparo de A alcanza a B con probabilidad pA y que un disparo de B
alcanza a A con probabilidad pB . ¿Cuál es
1. la probabilidad de que A no resulte herido;
2. la probabilidad de que ambos duelistas resulten heridos;
3. la probabilidad de que el duelo acabe después de n rondas de disparos;
4. la probabilidad de que el duelo acabe después de n rondas de disparos dado que A no ha
sido herido;
5. la probabilidad de que el duelo acabe después de n rondas de disparos dado que ambos
duelistas han sido heridos?
Problema 49 Supongamos que tenemos 10 monedas de manera que si se lanza la i-ésima moi
neda sale care cara con probabilidad 10
para i = 1, . . . , 10. Cuando se selecciona aleatoriamente
al azar una moneda y se lanza sale cara, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda seleccionada
fuese la quinta?
14
CAPÍTULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD
Problema 50 Dos armarios en apariencia idénticos tienen dos cajones. El armario A contiene
una moneda de plata en cada cajón y el armario B tiene una moneda de plata en un cajón y
una moneda de oro en el otro cajón. Se elige al azar un armario, se abre uno de los cajones y
se encuentra una moneda de plata, ¿cuál es la probabilidad de que haya una moneda de oro en
el otro cajón?
Problema 51 Un modelo simplificado para el cambio del precio de una acción en bolsa supone
que cada dı́a el precio de la acción aumenta 1 unidad con probabilidad p o baja 1 unidad con
probabilidad 1 − p. Los cambios en dı́as diferentes se consideran independientes.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que después de dos dı́as el precio sea el mismo?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que después de dos dı́as el precio haya aumentado en 1 unidad?
3. Dado que al cabo de tres dı́as el precio de la acción ha aumentado en 1 unidad, ¿cuál es
la probabilidad de que subiera el primer dı́a?
Problema 52 Una baraja de poker (52 cartas) se divide al azar en 4 montones de 13 cartas
cada uno. Calcula la probabilidad de que cada montón contenga exactamente un as.
Ayuda Define los sucesos Ei , para i = 1, 2, 3, 4 como sigue y usa la regla de la multiplicación:
E1 = {el as de picas está en cualquiera de los montones}
E2 = {el as de picas y el as de corazones están en montones diferentes}
E3 = {los ases de picas, corazones y diamantes están en montones diferentes}
E4 = {los 4 ases están en montones diferentes}
Problema 53 Hay 12 bolas en una urna. Tres jugadores A, B y C extraen sucesı́vamente una
bola de la urna (primero A, después B y a continuación C). El ganador es el primero que extrae
una bola blanca. Halla las probabilidades de ganar para cada jugador si
1. Cada bola se reemplaza después de su extracción.
2. Las bolas extraidas no se reintroducen en la urna.
Problema 54 La probabilidad de ganar en un lanzamiento de dados es p. A empieza y si falla
le pasa los dados a B, que intenta ganar en su turno. Continúan tirando los dados sucesı́vamente
hasta que uno de ellos gana. ¿Cuáles son las probabilidades de ganar de cada uno de ellos ? ¿Y
si fueran k jugadores?
Problema 55 Se busca un paraguas que, con probabilidad p7 , se encuentra en cualquiera de
los siete pisos de un inmueble. Se han explorado en vano los seis primeros pisos. ¿Cuál es la
probabilidad de que el paraguas se encuentre en el séptimo piso?
Problema 56 (Krief y Levy, página 87) Una urna contiene bolas blancas y bolas negras.
Se efectúa una sucesión de n extracciones en la urna. Supongamos que la probabilidad de que
1
la k-ésima bola sacada sea blanca, cuando las k − 1 bolas precedentes lo fueron, es igual a k+1
.
Calcular la probabilidad de que las n primeras bolas sacadas sean blancas.
Problema 57 Una bola marcada puede estar en una cualquiera de las dos urnas que tenemos
disponibles, con probabilidades p y 1 − p, respectivamente. La probabilidad de extraer la bola de
la urna en la que está alojada es r (r 6= 1). ¿Cuál es la mejor forma de utilizar n extracciones
con reemplazamiento, de cualquiera de las dos urnas, para que la probabilidad de extraer la bola
sea máxima?
1.2. PROBABILIDAD CONDICIONADA, TEOREMA DE BAYES E INDEPENDENCIA 15
Problema 58 Disponemos de 3 cajas de 20 piezas cada una. El número de piezas que reúnen
las condiciones de calidad exigidas son, respectivamente, 20, 15 y 10. De una de las cajas elegida
al azar se extrae una pieza que resulta ser buena. Se devuelve a la caja y se extrae una segunda
pieza que también resulta buena. ¿Cuál es la probabilidad de que la caja elegida haya sido la
tercera?
Problema 59 Dos especies muy parecidas de champiñones (especies I y II) son difı́ciles de
distinguir sin la ayuda de un microscopio. Un método de campo habitualmente utilizado consiste
en observar la presencia o ausencia de un anillo en el champiñón. El 90 % de los individuos de
la especie I y el 20 % de los de la especie II tienen el anillo. Se sabe también que en la zona en
que se está trabajando el 70 % de los champiñones son de la especie I. Se pide:
1. Supongamos que el recolector encuentra un champiñón con un anillo y decide que es de
la especie I. ¿Con qué probabilidad está en lo cierto?
2. Si todos los champiñones con anillo son clasificados como de la especie I y los que no
lo tienen como de la especie II, ¿qué proporción de champiñones estará correctamente
clasificado?
Problema 60 (Krief y Levy, página 85) Dos personas escriben al azar un número entero
de dos cifras (comprendidas entre 10 y 99).
1. Se repite la experiencia n veces y se supone que los resultados son mutuamente independientes. ¿Qué probabilidad tenemos de que las dos personas escriban, una vez al menos,
el mismo número? Denotemos esta probabilidad por p(n).
2. Calcular p(100).
3. ¿Cuántas veces harı́a falta repetir la experiencia para que p(n) sea igual al 0,99?
Problema 61 Un jugador dispone de nueve dados: dos dados de tipo A, tres dados de tipo B
y cuatro dados de tipo C. La tabla siguiente indica, para cada tipo de dado, el número de caras
que llevan el número i (con i = 1, . . . , 6).
A
B
C
1
2
2
2
2
1
2
2
3
0
0
0
4
1
1
2
5
1
0
0
6
1
1
0
El jugador elige al azar uno solo de estos dados y hace 421 en tres tiradas. ¿Cuáles son las
probabilidades respectivas de que haya jugado con un dado del tipo A, del tipo B o del tipo C?
Problema 62 Se dispone de dos dados A y B. El dado A tiene cuatro caras rojas y dos caras
blancas. El dado B tiene dos caras rojas y cuatro caras blancas. Se lanza una moneda: si se
obtiene cruz se decide jugar únicamente con el dado A; si se obtiene cara se decide jugar
únicamente con el dado B. Se pide calcular:
1. La probabilidad de obtener roja.
2. La probabilidad de obtener roja la tercera tirada sabiendo que ya se ha obtenido ese color
en las dos primeras tiradas.
3. La probabilidad pn de haber utilizado el dado A sabiendo que se ha obtenido roja en las n
primeras tiradas.
16
CAPÍTULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD
Problema 63 (El problema de las coincidencias) Supongamos que 4 invitados llegan a
una casa y dejan el sombrero en el vestı́bulo. Si a la salida los recuperan de modo aleatorio,
calcular la probabilidad de que ninguno de ellos reciba su propio sombrero. Resolver el mismo
problema suponiendo que en lugar de cuatro invitados tenemos n invitados.
Problema 64 Repetimos indefinidamente una prueba en la que la probabilidad de éxito es
siempre la misma, p, siendo los resultados de las pruebas independientes unos de otros (se trata
de una sucesión de pruebas de Bernoulli). Obtener la probabilidad de que a éxitos ocurran antes
que b fracasos.
Problema 65 (La paradoja de la urna vacı́a) Disponemos de una urna infinitamente grande y de una colección infinita de bolas numeradas. Procedemos a depositar las bolas en la urna
de tres formas distintas.
1. A las 5 de la tarde menos 1 minuto introducimos las 10 primeras extrayendo la que lleva el
número 10 (supongamos que la introducción y la sucesiva extracción consumen un tiempo
0). A las 5 menos 21 minuto depositamos las 10 bolas siguientes y extraemos la que lleva
el número 20. A las 5 menos 41 las 10 siguientes extrayendo a continuación la que lleva
el número 30. Y ası́ sucesivamente.
2. El segundo procedimiento es análogo al anterior, pero las bolas que se extraen en cada en
ocasión son las numeradas 1, 2, 3, .....
3. En el tercer procedimiento las bolas se introducen como en los dos anteriores pero en cada
decena la extracción se efectua al azar.
¿Cuantas bolas habrá en la urna a las 5 de la tarde según el procedimiento empleado?
Problema 66 (Krief y Levy, página 88) Se considera un conjunto de N + 1 urnas numeradas. Cada urna contiene N bolas rojas o blancas. En concreto la urna k contiene k − 1 bolas
blancas y N − k + 1 bolas rojas. Se escoge al azar una urna y se toman n bolas devolviendo a
la urna cada bola extraı́da antes de sacar la siguiente.
1. Determinar la probabilidad de que todas las bolas extraı́das sean blancas.
2. Siempre en la hipótesis de extracciones con reeemplazamiento, determinar la probabilidad
de que la n + 1-ésima bola extraı́da sea blanca sabiendo que las n bolas extraı́das anteriormente han sido blancas. Dar valores aproximados de estas probabilidades en el caso
en que N es grande.
Capı́tulo 2
Variables y vectores aleatorios
2.1.
Variable aleatoria
Problema 67 Los autobuses llegan a la estación de Salat a intervalos de 10 minutos empezando
desde las 12 : 00. Un hombre llega a la parada un número aleatorio de minutos X después de
las 12 : 00 si la función de distribución de X es:

 0 si x < 0
x
si 0 ≤ x ≤ 60
F (x) =
 60
1 si x > 60
¿Cuál es la probabilidad de que espere menos de 5 minutos?
Problema 68 Comprueba que la función fY (y) = 12 si y ∈ (−1, 1) (0 en otro caso) es una
densidad de probabilidad de una variable aleatoria Y . Halla la función de distribución de dicha
variable aleatoria.
Problema 69 La función de probabilidad de una variable aleatoria X viene dada por fX (i) =
i
c λi! para i = 0, 1, . . ., donde λ es una constante positiva. Halla P (X = 0) y P (X > 2)
Problema 70 Se eligen dos bolas al azar sin reemplazamiento de una urna que contiene 8
bolas blancas, 4 bolas negras y 2 de color naranja. Supongamos que ganamos 2 euros por cada
bola blanca elegida y perdemos 1 euro por cada bola blanca elegida. Sea X la variable que denota
nuestras ganancias. Halla la función de cuantı́a (o probabilidad) de X.
Problema 71 La función de distribución de X viene dada por:

0
si x < 0







x

si 0 ≤ x < 1

4




x−1
1
si 1 ≤ x < 2
F (x) =
2 + 4





11

si 2 ≤ x < 3

12






1
si x ≥ 3
1. Halla P (X = i) para i = 1, 2, 3
17
18
CAPÍTULO 2. VARIABLES Y VECTORES ALEATORIOS
2. Halla P ( 12 < X < 32 )
Problema 72 La función de distribución de X viene dada por:

0 si x < 0







1

si 0 ≤ x < 1

2







 53 si 1 ≤ x < 2
F (x) =

4

si 2 ≤ x < 3

5






9

si 3 ≤ x < 3,5

10






1 si x ≥ 3,5
Halla la función de cuantı́a de X.
Problema 73 Un vendedor de enciclopedias ha concertado dos citas con dos posibles compradores. Conseguirá vender una enciclopedia en la cita con el primer cliente con una probabilidad
de 0,3 y lo logrará en la cita con el segundo con una probabilidad de 0,6 (independientemente
de lo que haya sucedido con el primero). Si vende la enciclopedia de lujo ingresa 1000 euros
mientras que si vende la “normal” ingresa 500 euros. Supongamos que es igualmente probable
que venda cualquiera de las dos enciclopedias. Halla la función de cuantı́a de X que representa
el total de los ingresos del vendedor.
Problema 74 Cinco números distintos se distribuyen al azar entre 5 jugadores numerados del
1 al 5. Cuando dos jugadores comparan sus números el que lleva el número más alto es el
ganador. Inicialmente los jugadores 1 y 2 comparan sus números, el ganador se compara con
el jugador 3, y ası́ sucesivamente. Denotamos por X el número de veces que gana el jugador 1.
Halla P (X = i) para i = 1, 2, 3, 4.
Problema 75 Una moneda no correcta con probabilidad de cara p y probabilidad de cruz 1 − p
es lanzada hasta que aparece una cara o tres veces, lo que ocurra antes. Si X es el número de
lanzamientos que se realizan, se pide determinar la distribución de X.
Problema 76 (Examen 9-2-2005) Probar que para cualquier función de densidad de probabilidad se verifica
Z +∞
1
lı́m x
f (z)dz = 0.
x→+∞
z
x
Problema 77 ¿Para qué valores de la constante C las funciones siguientes son funciones de
cuantı́a sobre los enteros positivos?
1. Geométrica f (x) = C2−x
2. Logarı́tmica f (x) = C 2 x
−x
3. Inversa cuadrado f (x) =
C
x2
x
4. Poisson modificada f (x) = C 2x!
19
2.1. VARIABLE ALEATORIA
Problema 78 El responsable de una tienda de electrónica compra cierta clase de piezas en
lotes de tamaño 10. Su polı́tica consiste en inspeccionar 3 al azar de cada lote y aceptarlo sólo
si las 3 funcionan correctamente. Si una quinta parte de los lotes contiene 4 piezas defectuosas
y los demás sólo una pieza defectuosa, ¿qué proporción de lotes rechazará?
Problema 79 Para una distribución hipergeométrica halla
H(N, n, r)?
P (X=k+1)
P (X=k) .
¿Cuál es la moda de una
Problema 80 (Examen 9-2-2005) Una urna contiene n papeletas numeradas de 1 a n inclusive. Extraemos r al azar. Sea X el número mayor obtenido si las papeletas se reemplazan
después de cada extracción y sea Y el número mayor si las papeletas no se reemplazan en la
urna. Determinar las funciones de distribución, las funciones de cuantı́a (o probabilidad) y
demostrar que
FY (k) < FX (k) para 0 < k < n.
(2.1)
Problema 81 En un proceso de fabricación de hilados se producen roturas del hilo de manera
aleatoria a lo largo del tiempo. Es importante conocer cuando y cómo pueden producirse dichas
roturas. Supongamos que un trabajador controla 800 husos y que la probabilidad de rotura del
hilo en cada bobina, durante un cierto intervalo de tiempo τ , es p = 0,005. Encontrar el número
de roturas más probable y la probabilidad de que se produzcan a lo sumo 10 roturas.
Problema 82 Samuel Pepy, contemporáneo de Isaac Newton, sabı́a que al lanzar 6n dados el
número esperado de seises era n. A partir de este resultado deducı́a que los sucesos An ={al
menos n seises al lanzar 6n dados}, n = 1, 2, 3, tenı́an todos igual probabilidad. Isaac Newton
hubo de sacarlo de su error.1
Problema 83 Sea X el número de pruebas de Bernoulli necesarias para obtener un éxito y un
fracaso. Determinar la distribución de probabilidad de X.
Problema 84 Una moneda de 1 cm de diámetro se lanza y cae dentro de una lata cilı́ndrica
cuyo fondo tiene 5 cm de diámetro (la moneda cae plana, no de canto).
1. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda cubra el centro del fondo de la lata?
2. Supongamos que en lugar de usar una lata cilı́ndrica se tira en una caja cuyo fondo es un
cuadrado cuyos lados miden 5 cm, ¿cuál es ahora la probabilidad de que la moneda cubra
el centro del fondo de la lata?
Problema 85 Un testigo experto en un juicio sobre una supuesta paternidad testifica que la
longitud en dı́as de un embarazo (es decir desde el momento de la concepción hasta el momento
del parto) se distribuye aproximadamente según una Normal con parámetros µ = 270 y σ = 10.
El presunto padre puede demostrar que estuvo fuera del paı́s durante un perı́odo de tiempo que
empezaba 290 dı́as antes del nacimiento del niño y que acababa 240 dı́as antes del nacimiento.
Si el acusado fuese realmente el padre de la criatura, y suponiendo que es verdad lo que asegura
el experto ¿cuál serı́a la probabilidad de que la madre tuviera un embarazo tan largo o tan corto
?
1 El problema, que es de fácil solución y puede incluso parecer ingenuo a algún lector, se recoge aquı́ por su
interés histórico y también porque el autor de esta colección ha tenido ocasión de comprobar que los émulos
actuales de Samuel Pepy son todavı́a numerosos
20
CAPÍTULO 2. VARIABLES Y VECTORES ALEATORIOS
Problema 86 La mediana de una variable aleatoria contı́nua con función de distribución F
es aquel valor m tal que F (m) = 12 . Es decir es igual de probable que una variable aleatoria sea
mayor que su mediana como que sea menor que ella.
La moda de una variable aleatoria contı́nua con función de densidad f es el valor de x para
el que f (x) alcanza su máximo.
Halla la mediana y la moda de X si X se distribuye
1. U (a, b)
2. N (µ, σ)
3. Exp(λ)
Problema 87 Un bit es trasmitido repitiéndolo n veces. El mensaje es interpretado asignando
el valor que más veces se recibe. Por ejemplo: si n = 5 y el mensaje recibido es 10010 entonces
concluimos que se envió un 0 (se repite 3 veces frente a las dos veces que se repite el 1).
Suponiendo que n es un número impar y que cada bit del mensaje es transmitido correctamente
con probabilidad p, independientemente de los demás bits, determina la probabilidad de que el
mensaje sea recibido correctamente (se reciba el bit que se trasmitió).
Problema 88 Consideremos la distribución Beta con parámetros a y b. Demuestra que
1. cuando a > 1 y b > 1, la densidad es unimodal, es decir tiene una única moda que es
a−1
;
m = a+b−2
2. cuando a ≤ 1, b ≤ 1 y a + b < 2, la densidad es o bien unimodal con moda en 0 o en 1 o
bien tiene forma de U con modas tanto en 0 como en 1;
3. cuando a = 1 = b, todos los puntos de [0, 1] son modas.
Problema 89 Un fabricante de bolas para rodamientos somete su producto al siguiente proceso
de control de calidad. Las bolas son aceptadas si no pasan a través de un agujero de diámetro
d1 , pero sı́ lo hacen a través de otro de diámetro d2 , d2 > d1 . Se sabe que el diámetro D de las
bolas es aleatorio con una distribución N (µ, σ 2 ), µ = (d1 + d2 )/2 y σ = (d2 − d1 )/4. ¿Cuál es
la probabilidad de rechazar una bola?
Problema 90 El tiempo que tardan en ser atendidos los clientes del servicio de caja de cierta
sucursal bancaria es una variable aleatoria T ∼ Exp(λ), con λ = 0,2. Durante una mañana
han llegado 10 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que a lo sumo 3 de ellos hayan tardado más
de 6 minutos en ser atendidos? (Suponemos que los clientes son atendidos independientemente
unos de otros).
Problema 91 (Los sorteos de La Primitiva) Un asiduo de La Primitiva anda un tanto
preocupado al comprobar que en los 18 últimos sorteos hay algunos números que no han sido
extraı́dos. Piensa que las 108 extracciones (18 × 6) suponen un poco más del doble de 49 y
que por tanto cada número deberı́a haber aparecido, aproximadamente, unas dos veces. ¿Y si el
sorteo no fuera correcto? ¿Habrá números más probables que otros?
Problema 92 Un comerciante vende semillas en paquetes de 50. Supongamos que cada semilla
germina con una probabilidad de 0,99 independientemente de las demás. El comerciante promete
cambiar al comprador cualquier paquete que contenga 3 o más semillas que no germinen. ¿Cuál
es la probabilidad de que el comerciante tenga que cambiar más de 40 paquetes de los 4000 que
ha vendido?
21
2.2. VECTOR ALEATORIO
Problema 93 En una ciudad se va a someter a tratamiento a los niños de seis años más
bajos que cierta talla. En esta ciudad hay 6580 niños de esta edad, y su estatura sigue una
distribución normal de 119 cm de media y 4 cm de desviación tı́pica. Se va a realizar una
campaña informativa indicando una talla por debajo de la cual se ha de tratar a los niños. Los
servicios de endocrinologı́a de la ciudad solo pueden atender a 750 niños. Se pregunta:
1. ¿Qué talla en cm deberá indicar la campaña?
2. ¿En cuantos niños se verá desbordado el servicio de endocrinologı́a si la campaña indica
por error un cm más?
2.2.
Vector aleatorio
Problema 94 Lanzamos tres veces consecutivas una moneda y definimos las variables aleatorias X ={número de caras en los dos primeros lanzamientos} e Y ={número de caras en
los dos últimos lanzamientos}. Obtener la distribución de probabilidad conjunta de X e Y , sus
marginales y el coeficiente de correlación entre ambas.
Problema 95 Sean X1 , X2 , . . . , Xn variables aleatorias con función de distribución conjunta
F y con funciones de distribución marginales F1 , F2 , . . . , Fn . Demostrar que
1−
n
X
i=1
[1 − Fi (xi )] ≤ F (x1 , x2 , . . . , xn ) ≤ mı́n Fi (xi ).
1≤i≤n
Problema 96 Los 4 tipos de sangre principales se presentan en la población de los EEUU de
acuerdo con los siguientes porcentajes:
Tipo
Porcentaje
A
42 %
B
10 %
AB
4%
0
44
1. Si se eligen al azar a dos personas de esta población, ¿cuál es la probabilidad de que su
sangre sea del mismo tipo?
2. Si se eligen cuatro personas al azar, sea P (k) la probabilidad de que haya exactamente k
tipos sanguı́neos diferentes. Halla P (k) para k = 1, 2, 3 y 4.
Problema 97 Escogemos aleatoriamente un punto del interior de un disco de radio R. Sea X
la distancia del punto elegido al centro del disco. Halla la función de distribución de X.
2.3.
Independencia de variables aleatorias
Problema 98 Consideremos el espacio de probabilidad (Ω, A, P ) y sean A1 y A2 dos sucesos.
Definimos X1 = 1A1 y X2 = 1A2 , las funciones caracterı́sticas asociadas. Demostrar que X1 y
X2 son independientes si y sólo si A1 y A2 lo son.
Problema 99 Dos personas lanzan, cada una de ellas, n veces una moneda. Obtener la probabilidad de que ambas obtengan el mismo número de caras.
Problema 100 Tenemos dos lı́neas de comunicación telefónica paralelas de longitud l, separadas por una distancia d < l. Sabemos que, al azar y de manera independiente, se producen
sendas roturas a lo largo del recorrido de cada una de ellas. Encontrar la probabilidad de que la
distancia R entre ambas roturas no sea superior a c.
22
CAPÍTULO 2. VARIABLES Y VECTORES ALEATORIOS
Problema 101 Elegimos al azar dos puntos, X e Y , en el intervalo [0, a]. Calcular la función
de distribución de la distancia entre ellos.
Problema 102 Sea {Xk }k≥1 una colección de variables aleatorias independientes U(0,1). Sea
0 < x < 1, definimos N = mı́n{n ≥ 1 : X1 + X2 + · · · + Xn > x}. Encontrar P (N > n).
Problema 103 Se escogen al azar dos números a y b, a en el intervalo [1, 3] y b en el intervalo
[−1, 1] . Halla la probabilidad de que la ecuación x2 + ax + b = 0 tenga dos raı́ces reales.
Problema 104 Escogemos dos números al azar entre 0 y 1.¿Cuál es la probabilidad de que el
primero sea mayor o igual que el cuadrado del segundo y al mismo tiempo que el segundo sea
mayor o igual que el cuadrado del primero?
Problema 105 Tenemos una urna con 12 bolas numeradas de 1 a 12. Extraemos dos bolas y
denotamos por X1 y X2 los valores que observamos en la primera y en la segunda extracción.
Sea X la variable definida como el máximo de las dos extracciones. Se pide:
1. Determinar la función de distribución de la variable X si suponemos que las dos extracciones se realizan con reemplazamiento.
2. Determinar la función de distribución de la variable X si suponemos que no hay reemplazamiento entre las dos extracciones.
Problema 106 (Examen 11-2-2000) Las puntuaciones obtenidas por los estudiantes del centro A en las pruebas de selectividad se distribuyen N (µ = 6,25, σ 2 = 1), mientras que las de los
estudiantes del centro se distribuyen N (6, 1,5). Elegimos al azar 2 estudiantes del centro A y 3
del centro B. Se pide:
1. la probabilidad de que la puntuación media de los 2 estudiantes de A sea superior a la
puntuación media de los 3 de B, y
2. la probabilidad de que al escoger al azar uno de los 5 estudiantes, su nota sea superior a
6,5.
Problema 107 Sean {Xk , k = 1, . . . , n} variables aleatorias i. i. d. con distribución U (0, 1).
Tomemos 0 < x < 1 y definamos
N = mı́n{n ≥ 1; X1 + X2 + · · · + Xn > x}.
Encontrar P (N > n).
Problema 108 Un grupo de 10 personas han quedado para comer entre las 12 : 00 y las 12 : 15.
Cada persona llega al restaurante independientemente de las demás y según una distribución
uniforme en el intervalo de tiempo anterior.
1. Eva y Marı́a son dos miembros del grupo. Halla la probabilidad de que Eva llegue al menos
dos minutos antes que Marı́a.
2. Halla la probabilidad de que la primera persona en llegar aparezca antes de las 12 : 05 y
de que la última llegue después de las 12 : 10.
Problema 109 Inyectamos a unos ratones microorganismos del tipo A y B en igual proporción.
Se supone que los microorganismos efectivos de cada tipo se distribuyen independientemente con
arreglo a una misma distribución de Poisson de parámetro λ. Un ratón sobrevive si y sólo si
no hay microorganismos efectivos en la dosis inyectada. A los ratones muertos se les examina
para ver si contenı́an microorganismos de uno o de los dos tipos. Encontrar la probabilidad de
que un ratón muerto contenga microorganismos de un solo tipo.
2.4. DISTRIBUCIONES CONDICIONADAS
2.4.
23
Distribuciones condicionadas
Problema 110 Elegimos un número aleatorio X de la siguiente forma: lanzamos repetidamente una moneda hasta que nos muestre la primera cara, si el número lanzamientos que hemos
necesitado es N , elegimos aleatoriamente un entero k en 1, 2, . . . , 10N , valor que asignamos a
X. Encontrar la distribución de probabilidad de X.
Problema 111 Sobre un cı́rculo cuyo radio R es aleatorio con función de densidad
 2
r


, r ∈ [0, 3];
9
fR (r) =


0
en el resto,
elegimos un punto al azar. Si X designa la distancia del punto al origen, obtener la función de
distribución y la función de densidad de X|R = r.
Problema 112 Consideremos la siguiente función
yx e−y
x! , si y ≥ 0, x = 0, 1, . . .
fX|Y (x|y) =
0,
en el resto.
a) Demostrar que para cada y fijo, fX|Y (x|y) es una función de probabilidad (la de X condicionada a Y = y).
b) Si Y ∼ Exp(λ), con λ = 1, encontrar la densidad conjunta de X e Y .
c) Comprobar que la marginal de X viene dada por
 1
 2x+1 , x = 0, 1, . . .
fX (x) =

0,
en el resto.
Problema 113 Las variables aleatorias X e Y tienen una distribución conjunta uniforme
en el interior del triángulo T de vértices (0,0), (2,0) y (1,2). Calcular P (X < 1, Y < 1) y
P (Y < 1|X < 1,5).
Problema 114 Calcular la probabilidad de poder formar un triángulo con dos puntos elegidos
en el intervalo [0, 1] según los distintos métodos que se enumeran a continuación.
1. Los dos puntos se eligen al azar en el intervalo.
2. Elegimos primero un punto al azar y a continuación elegimos el segundo punto, también
al azar, pero sobre el trozo mayor.
3. Elegimos un punto al azar y a continuación uno de los trozos, elegido al azar, lo dividimos
en dos partes iguales. Calcular, para este método, la probabilidad de que el triángulo sea
obtuso.
Problema 115 (Examen 21-6-2005) En una urna hay una bola roja. Extraemos tres cartas
de una baraja francesa (52 cartas repartidas en 4 palos) y añadimos a la urna tantas bolas verdes
como ases hayamos extraı́do. A continuación lanzamos 2 veces una moneda cuya probabilidad
de cara es p = 1/5 y añadimos tantas bolas rojas como cruces hayamos obtenido. Finalmente
llevamos a cabo 2 extracciones con reemplazamiento de la urna. Si X es el número de bolas
verdes añadidas a la urna e Y el número de bolas rojas añadidas a la urna,
24
CAPÍTULO 2. VARIABLES Y VECTORES ALEATORIOS
1. Obtener la función de probabilidad de X.
2. Obtener la función de probabilidad de Y .
3. Si las dos bolas extraı́das con reemplazamiento son rojas, ¿cuál es la probabilidad de no
haber obtenido ningún as al extraer las 3 cartas de la baraja francesa?
2.5.
Función de una o varias variables aleatorias
Problema 116 Sea X una variable aleatoria cuya densidad viene dada por

0,
si x < 0,





1
si 0 ≤ x ≤ 1,
fX (x) =
2,




 1
2x2 , si x > 1.
Encontrar la densidad de Y = 1/X.
Problema 117 Se traza aleatoriamente una linea recta a través del punto (0, l). Encontrar la
densidad de probabilidad de la abcisa en el origen, X, de dicha recta.
Problema 118 Sea λ el número de células por unidad de área en una preparación celular. Puede demostrarse que la distancia, D, de una célula a su vecino más próximo tiene por densidad
de probabilidad,
2
2πλde−λπd , d > 0
fD (d) =
0,
en el resto.
El área del mayor disco libre (sin contactos) centrado en una célula es A = πD2 . Encontrar la
densidad de probabilidad de A.
Problema 119 Las variables X e Y son independientes y continuas. Sea U una variable dicotómica, independiente de ambas con P (U = 1) = P (U = −1) = 1/2. Definimos S = U X y
T = U Y . Comprobar que S y T son dependientes, pero S 2 y T 2 son independientes.
Problema 120 Sean X e Y variables aleatorias independientes tales que X ∼ Gamma(α1 , β)
e Y ∼ Gamma(α2 , β). Demostrar que las variables X + Y y X/(X + Y ) son variables aleatorias
independientes.
Problema 121 Tenemos X1 , . . . , Xn variables aleatorias independientes tales que Xj tiene
una distribución
binomial negativa con parámetros rj y p con j = 1, .P
. . , n. Demostrar que
Pn
n
Sn = j=1 Xj tiene una distribución binomial negativa con parámetros j=1 rj y p.
Problema 122 Tenemos X1 , . . . , Xn variables aleatorias independientes tales que Xj tiene
una distribución geométrica con parámetro pj . Sea Nn = mı́n{X1 , . . . , Xn }. Demostrar que la
variable Nn tiene una distribución geométrica con parámetro
p=1−
n
Y
j=1
(1 − pj ).
(2.2)
2.5. FUNCIÓN DE UNA O VARIAS VARIABLES ALEATORIAS
25
Problema 123 (Rohatgi, página 211) Sean X1 , X2 , . . . una sucesión de variables aleatorias
independientes
Pen idénticamente distribuidas (i.i.d.) con distribución exponencial con parámetro
β. Sea Sn = k=1 Xk la n-ésima suma parcial, con n = 1, 2, . . . y supongamos t > 0. Si Y es
el número de valores de Sn en el intervalo [0, t] entonces Y sigue una distribución de Poisson
con parámetro t/β.
Problema 124 (Examen 3-9-2005) Cuando una corriente de I amperios pasa a través de
una resistencia de R ohmios, la potencia generada viene dada por W = I 2 R vatios. Supongamos
que I y R son variables aleatorias independientes con densidades

 6x(1 − x), si 0 ≤ x ≤ 1;
fI (x) =

0,
fuera.
y
fR (y) =
Hallar la densidad de W .

 2y, si 0 ≤ y ≤ 1;

0,
fuera.
Problema 125 Demostrar que si tenemos variables aleatorias
Pn independientes X
P1 ,n. . . , Xn tales
que Xj ∼ Gamma(αj , β) con j = 1, . . . , n entonces Sn = j=1 Xj ∼ Gamma( j=1 αj , β).
Problema 126 (Rohatgi, página 213) Si X e Y son variables aleatorias exponenciales con
parámetro β entonces Z = X/(X + Y ) sigue una distribución uniforme en el intervalo [0, 1].
Problema 127 (Rohatgi, página 215) Sean X e Y variables aleatorias independientes con
distribución Gamma(α1 , β) y Gamma(α2 , β) respectivamente. Demostrar que X/(X + Y ) sigue
una distribución beta con parámetros α1 y α2 .
Problema 128 (Examen 8-6-2004) Consideremos el siguiente procedimiento:
1. Generamos U con distribución uniforme en [0, 1].
2. Tomamos Y = − λ1 ln(1 − U ) siendo ln el logaritmo neperiano y λ una constante positiva.
3. Tomamos X = [Y ] donde [Y ] es la parte entera por exceso de Y .
Se pide:
1. La distribución de probabilidad de la variable aleatoria Y .
2. La función de probabilidad de la variable X. Comprobar que tiene una distribución geométrica.
Problema 129 Sean X, Y, Z variables aleatorias i. i. d. con distribución U (0, 1). Encontrar la
densidad conjunta de XY y Z 2 y calcular P (XY ≤ Z 2 ).
26
CAPÍTULO 2. VARIABLES Y VECTORES ALEATORIOS
Capı́tulo 3
Esperanza
3.1.
Esperanza de una variable aleatoria
Problema 130 Dos jugadores A y B juegan al siguiente juego: lanzan una moneda hasta que
aparece una cara. Si la cara aparece en el k-ésimo lanzamiento el jugador B paga al jugador A
k monedas. ¿Cuantas monedas deberá pagar el jugador A antes de iniciarse el juego para que
éste sea equilibrado?
Problema 131 En dos lados distintos de un cuadrado unidad elegimos al azar e independientemente los puntos X e Y . Si por D designamos la distancia entre ellos, calcular E(D2 ) en las
dos situaciones posibles descritas en la figura.
Y
D
Y
D
X
X
Problema 132 Sean X e Y variables aleatorias independientes. Demostrar que si X y X − Y
son independientes, entonces X es una variable aleatoria degenerada.
Problema 133 Sea X una variable aleatoria discreta con soporte DX = {x1 , x2 , . . . , xm }.
Calcular
E(X n+1 )
.
lı́m
n→∞ E(X n )
Problema 134 Dos puntos se eligen al azar sobre un segmento de longitud a. Encontrar la
esperanza y la varianza de la distancia entre ellos.
Problema 135 (Si hay cumpleaños no se trabaja) En algunos paı́ses socialistas y en algún
momento de su historia se estableció una ley laboral por la que en las factorı́as e instituciones
27
28
CAPÍTULO 3. ESPERANZA
estatales se trabajaba todos los dı́as de la semana. La excepción a esta regla era que algunos
de los trabajadores cumpliera años, ese dı́a nadie trabajaba. Suponiendo un año no bisiesto y
que los cumpleaños se distribuyen equiprobablemente a lo largo del año, encontrar el número de
trabajadores para que el número esperado de hombres-dı́a trabajados sea máximo.
Problema 136 Elegimos al azar un número del 1 al 10. Hemos de adivinarlo mediante preguntas cuya respuesta sea sı́ o no. Calcular el número esperado de preguntas que debemos hacer
si,
1. la pregunta i-ésima que hacemos es ¿se trata del número i?, o
2. con cada pregunta intentamos eliminar la mitad de los números restantes.
Problema 137 Un vendedor de periódicos compra cada ejemplar a 10 céntimos y los vende
a 15 céntimos. Como no puede devolver los ejemplares no vendidos, trata de saber cuantos le
conviene comprar para maximizar lo que espera ganar cada dı́a. Si las demandas diarias siguen
una distribución B(10, 1/3), ¿cuántos ejemplares debe comprar?
Problema 138 Un vendedor de periódicos compra cada ejemplar a C céntimos de euro y
lo vende a V céntimos de euro (C < V ). Puede devolver los ejemplares no vendidos pero sólo
obtiene R céntimos de euro por ejemplar (R < C). Se trata de saber cuantos le conviene comprar
para maximizar lo que espera ganar cada dı́a. Si la demanda diaria X sigue una distribución
discreta con P (X = k) = pk , k = 0, 1, 2, . . . , n, ¿cuántos ejemplares debe comprar? Aplicar el
resultado para el caso en que V = 100, C = 50, R = 20 y la función de probabilidad viene dada
por
k
0
1
2
3
4
5
6
k
7
8
9
10
11
12
13
P(X=k)
0.05
0.08
0.10
0.15
0.15
0.10
0.08
P(X=k)
0.08
0.05
0.04
0.03
0.03
0.03
0.03
Problema 139 Si X es una variable aleatoria continua con media 0 y varianza σ 2 y función
de distribución F , comprobar que se verifica
F (x) ≥
x2
x2
,
+ σ2
si x > 0
y
F (x) ≤
x2
σ2
,
+ σ2
si x < 0.
Problema 140 Un juego consiste en lanzar un dado repetidas veces. El juego se detiene bien
porque parece un 1, bien porque decidimos detenerlo en cualquier lanzamiento antes de que haya
aparecido el número 1. El premio que recibimos es el número de puntos que muestra la cara del
dado en el ultimo lanzamiento. ¿Cuál es la estrategia más conveniente para obtener el mayor
premio?
Problema 141 Sea X una variable aleatoria no negativa con función de densidad f . Demostrar que
Z ∞
E(X r ) =
rxr−1 P (X > x)dx.
0
3.1. ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
29
Problema 142 Sea X una variable aleatoria continua con media µ y función de distribución
F . Demostrar que
Z µ
Z ∞
F (x)dx =
(1 − F (x))dx.
−∞
µ
Problema 143 Una caja contiene a bolas blancas y b bolas negras, con a > 0 y b > 0. Se
extrae una bola al azar y si es negra el proceso termina. Si la bola es blanca se reintegra a la
caja junto con otra bola blanca y el proceso continua. Calcular la probabilidad de que el proceso
termine en la k-ésima extracción. Calcular la probabilidad de que el número de extracciones sea
finito. Obtener el número esperado de extracciones.
Problema 144 (Un camino aleatorio en la recta) Un punto se desplaza sobre el eje x a
derecha o izquierda de unidad en unidad. La probabilidad de que se desplace a la derecha es p
y 1 − p de que lo haga a la izquierda. Si la variable X representa la posición del punto después
de n desplazamientos, partiendo de 0, obtener su distribución de probabilidad y calcular E(X)
y var(X).
Problema 145 (Número esperado de parejas restantes) Se trata de un problema propuesto y resuelto por Daniel Bernoulli en el siglo XVIII. Se proponı́a averiguar el número
esperado de parejas que permanecen completas, de un total de N parejas iniciales, después de
la muerte de m sus miembros.
Problema 146 Sea X una variable aleatoria discreta con soporte DX = {x1 , x2 , . . . , xm }.
Calcular
p
lı́m n E(X n ).
n→∞
Problema 147 Se repite indefinida e independientemente un experimento cuyo resultado es
E (éxito), con probabilidad p, o F (fracaso), con probabilidad q = 1 − p. Denotamos por ωn
el resultado de la n-ésima repetición. Sea T la variable que designa el número mı́nimo de
repeticiones necesarias para alcanzar r éxitos consecutivos. Demostrar que P (T = ∞) = 0 y
calcular E(T ).
Problema 148 Si g(x) es una función creciente no negativa de x, probar que
P (X ≥ a) ≤
E(g(X))
.
g(a)
Problema 149 Sea X una variable aleatoria con soporte DX = {0, 1, . . . , n} tal que E(X) =
var(X) = 1. Demostrar que para cualquier natural k,
P (X ≥ k + 1) ≤
1
.
k2
x
Problema 150 Tenemos 10 pares de zapatos y elegimos al azar 4 zapatos. ¿Cuál es la probabilidad de que no hayamos elegido ningún par? Si X es una variable aleatoria que representa el
número de pares elegidos, obtener el número medio de pares entre los 4 zapatos elegidos.
Problema 151 La función de densidad de la variable aleatoria X viene dada por

1

 + cx3 , x ∈] − 1, 1[;
2
f (x) =


0,
en el resto.
30
CAPÍTULO 3. ESPERANZA
1. Determinar los valores de c para que f (x) sea una densidad.
1
2. Calcular, si existen, los momentos de orden 1 y 2 de la variable Y = |X|− 2 .
Problema 152 Definamos la función
f (x) =
ax−(s+1) , si x > r;
0,
si x ≤ r,
con r, s > 0.
1. Determinar a para que f (x) sea una función de densidad de probabilidad.
2. Si la variable aleatoria X tiene por densidad f (x), ¿para què valores de s existirá su
esperanza?
Problema 153 Un autobús tiene en su recorrido 15 paradas. Supongamos que en la primera
parada suben 20 personas. Cada una de ellas elige al azar e independientemente de las otras en
cuál de las 14 paradas restantes quiere bajar.
1. Si Xi es una variable aleatoria que vale 1 si alguna de las personas baja en la parada i y
0 en caso contrario, calcular su distribución de probabilidad.
2. Calcular el número medio de paradas que debe realizar el autobús para que bajen todos los
pasajeros.
Problema 154 Elegimos un punto uniformemente en el cı́rculo centrado en cero y de radio
uno. Supongamos que denotamos por Θ la variable aleatoria que nos da el ángulo aleatorio
asociado a este punto y por X la variable aleatoria que nos da la abscisa del punto. Se pide:
1. ¿Cuál es la distribución de Θ? Hay que obtener tanto la función de densidad como la
función de distribución.
2. Determinar P(Θ ∈ [a, b]) para cualesquiera a y b con 0 ≤ a ≤ b ≤ 2π.
3. Determinar la función de distribución de la variable X.
4. Determinar la función de densidad de la variable X.
5. Calcular E(X).
6. Calcular E(|X|).
Problema 155 Sea X una variable aleatoria con función de densidad
0,
si x ≤ 0,
f (x) =
e−x xn
,
si x > 0,
n!
donde n es un natural. Demostrar que se verifica la siguiente desigualdad
P (0 < X < 2(n + 1)) >
n
.
n+1
Problema 156 En una fila de 15 butacas de un cine se sientan aleatoriamente 7 mujeres y
8 hombres. Por término medio, ¿cuantas parejas de asientos adyacentes están ocupadas por
personas de distinto sexo.
3.1. ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
31
Problema 157 Un rebaño de ovejas es sometido a examen para detectar aquellas que padecen
determinada enfermedad. Sabemos que cada una de ellas la padece con probabilidad p e independientemente de las otras. La detección de la enfermedad requiere un análisis de sangre y
si se mezcla la sangre de n ovejas, basta que una de ellas padezca la enfermedad para que el
análisis dé positivo. Como el rebaño es grande se plantean dos posibles estrategias:
1. examinar los animales uno a uno y llevar a cabo tantos análisis como animales tiene el
rebaño, o
2. examinar a los animales por grupos de n elementos, si el análisis es negativo todos los del
grupo están sanos, pero si es positivo habrá que analizar uno a uno todos los animales del
grupo.
Determinar cuál de las dos estrategias es mejor porque conduce a un número menor de análisis.
Problema 158 Una variable aleatoria toma valores enteros positivos con probabilidades decreciendo en progresión geométrica. Elegir el primer término y la razón de la progresión para que
E(X) = 10, y calcular, bajo dichas condiciones, P (X ≤ 10).
Problema 159 Para simular una moneda correcta a partir de una sesgada en la que la probabilidad de obtener una cara vale α 6= 1/2 podemos proceder como sigue. Lanzamos dos veces la
moneda e interpretamos C+ como cara y +C como cruz. Si no aparece ninguno de estos dos
resultados, repetimos los pares de lanzamientos hasta que aparezca alguno de ellos. Encontrar la
distribución de probabilidad y la esperanza del número de pares de lanzamientos necesarios para
poder tomar una decisión (cara o cruz) y comprobar que, en efecto, se trata de la simulación
de una moneda correcta.
Problema 160 Determinar el valor esperado de la variable X definida en el problema 110.
Problema 161 Sea X una variable aleatoria no negativa. Demostrar que [E(X)]1/2 ≥ E(X 1/2 ).
Problema 162 Sea X el número de pruebas de Bernoulli necesarias para obtener un éxito y
un fracaso. Determinar la distribución de probabilidad de X y calcular E(X) y var(X).
Problema 163 Determinar la media y la varianza de la variable X definida en el problema
83.
Problema 164 (Examen 3-2-2004) Un jugador puede apostar a cualquiera de los números
enteros entre 1 y 6. Entonces lanza 3 dados y si aparece el número que eligió, recibe como
premio su apuesta multiplicada por el número de dados que lo muestran y además le devuelven
lo que apostó. En otro caso pierde su dinero. ¿Cuál es la ganancia esperada de este juego?
Problema 165 (Examen 8-6-2004) La variable aleatoria X, que toma valores en el intervalo [0,2], tiene por densidad la recta que pasa por (2,0) con pendiente negativa. Obtener su
función de densidad f (x) y calcular P (|X − E(X)| ≤ 1/2). ¿Qué cota obtendrı́amos para esta
probabilidad si utilizáramos la desigualdad de Chebychev?
Problema 166 (Examen 8-6-2004) Tenemos una urna con 12 bolas numeradas de 1 a 12.
Extraemos dos bolas y denotamos por X1 y X2 los valores que observamos en la primera y en
la segunda extracción. Sea X la variable definida como el máximo de las dos extracciones. Se
pide:
1. La función de distribución de la variable X si suponemos que las dos extracciones se
realizan con reemplazamiento.
32
CAPÍTULO 3. ESPERANZA
2. La función de distribución de la variable X si suponemos que no hay reemplazamiento
entre las extracciones sucesivas.
3. La media de la variable X en las dos situaciones anteriores.
Problema 167 (Examen 1-9-2004) A partir de las variables aleatorias U1 , . . . , Un , independientes y todas ellas con distribución uniforme en el intervalo [0,1], se obtienen las variables
Yi = −logUi , para i = 1, · · · , n.
a) ¿Qué distribución siguen las variables Y1 , · · · , Yn ? ¿Son independientes?
P
b) Sea Ȳ = n1 ni=1 Yi . Calcular E(Y ), V ar(Y ) y demostrar que,
∀k > 0,
lı́m P (|Y − 1| > k) = 0.
n→∞
c) ¿Qué distribución de probabilidad sigue Y ?
Problema 168 Determinar la media y varianza de la variable X definida en el problema 75.
3.2.
Esperanza de un vector aleatorio
Problema 169 Las variables aleatorias X e Y tienen media 0, varianza 1 y su coeficiente
de correlación es ρ, Encontrar la media y la varianza de Z = X − ρY y sus coeficientes de
correlación con X e Y .
Problema 170 Las variables aleatorias X1 , X2 , . . . , Xm+n , n > m, son independientes e idénticamente
con varianza común, σ 2 , finita. Calcular el coeficiente de correlación de
Pn distribuidas P
m+n
U = i=1 Xi y V = j=m+1 Xj .
Problema 171 Una urna contiene 2n bolas numeradas de 1 a n, de forma que hay ni bolas
con el número i. Si extraemos m sin reemplazamiento y por S denotamos la suma de sus
números, calcular E(S) y var(S).
Problema 172 (Un camino aleatorio en el plano) Un punto se desplaza sobre el plano
con movimientos independientes de manera que en cada movimiento la distancia que recorre es
siempre la misma, por ejemplo una unidad, pero la dirección es aleatoria determinada por un
ángulo cuya orientación respecto la posición del punto se elige al azar en el intervalo [0, 2π]. Si
D es la distancia del punto a su posición original después de n movimientos, calcular E(D2 ).
Problema 173 (Número esperado de coincidencias) Recordemos que el llamado problema de las coincidencias consiste, en una de sus múltiples versiones, en n individuos que al
abandonar una fiesta recogen sus sombreros al azar. Si por X denotamos el número de individuos que han cogido su propio sombrero (coincidencias), calcular E(X) y var(X).
Problema 174 Se realizan n pruebas independientes de un
P experimento que tiene k resultados
posibles A1 , A2 , . . . , Ak con probabilidades p1 , p2 , . . . , pk ,
pi = 1. Sea Y la variable número
de resultados que no han aparecido en ninguna de las n pruebas.
1. ¿Qué distribución tiene cada una de las variables Xj que indica el número de veces que
ha sucedido Aj ?
2. ¿Cuál es el valor esperado de Y ?
3.2. ESPERANZA DE UN VECTOR ALEATORIO
33
3. Comprobar que los valores de p1 , . . . , pk que hacen mı́nima E(Y ) son p1 = p2 = · · · =
pk = 1/k.
Problema 175 Sean X e Y dos variables aleatorias idénticamente distribuidas, obtener cov(X+
Y, X − Y ).
Problema 176 Sean X1 , X2 , . . . una familia de variables aleatorias independientes con la misma media µ y la misma varianza σ2 , y sea Yn = Xn + Xn+1 + Xn+2 . Hallar, para j ≥ 0,
cov(Yn , Yn+j ).
Problema 177 Sea X1 , X2 , . . . una sucesión de variables aleatorias continuas independientes e
idénticamente distribuidas. Sea N ≥ 2 el ı́ndice correspondiente a la variable donde la sucesión
deja de ser decreciente, es decir, X1 ≥ X2 ≥ . . . ≥ XN −1 < XN . Demostrar que E(N ) = e.
Sugerencia.- Obtener primero P (N ≥ n).
Problema 178 Sean X e Y el número de éxitos y fracasos, respectivamente, cuando llevamos
a cabo n pruebas Bernoulli con probabilidad de éxito p. Calcular el coeficiente de correlación
entre ambas, ρXY .
Problema 179 Lanzamos tres veces consecutivas una moneda y definimos las variables aleatorias X ={número de caras en los dos primeros lanzamientos} e Y ={número de caras en
los dos últimos lanzamientos}. Obtener la distribución de probabilidad conjunta de X e Y , sus
marginales y el coeficiente de correlación entre ambas.
Problema 180 Obtener el coeficiente de correlación del vector (X, Y ) definido en el problema
94.
Problema 181 ( ) Sean X e Y dos variables aleatorias indicatrices independientes tales que
P (X = 1) = p y P (Y = 1) = q. Halla E[(X − Y )2 ] en términos de p y q.
Problema 182 ( ) La densidad conjunta de las variables X e Y es
(
c(y 2 − x2 )e−y si −y < x < y , y > 0,
fXY (x, y) =
0
en el resto,
donde c es una constante.
1. Demuestra que Y sigue una distribución gamma y deduce que c = 81 .
2. Halla la densidad de 4Y 3 .
3. Obtén las esperanzas y varianzas de X e Y .
Problema 183 (Un ejemplo de fabricación simple) Un fabricante de bolas de golf está evaluando un nuevo sistema de producción. En este nuevo proceso de fabricación la probabilidad
de una bola defectuosa, que no puede ser vendida, es de 0.05 mientras que en el procedimiento
que actualmente utiliza es de 0.08. Con el procedimiento que utiliza el coste de producción de
cada unidad es de 40 pesetas por bola mientras que en el nuevo el coste de cada bola es de 60
pesetas. Las bolas se venden a 125 pesetas cada una. Si el fabricante desea tener una ganancia
esperada máxima, ¿qué procedimiento de fabricación ha de utilizar?
Problema 184 (Variables discretas simétricas) Supongamos X una variable aleatoria discreta tal que P(X = a − x) = P(X = a + x) para cualquier x. Determinar la esperanza de la
variable X.
34
CAPÍTULO 3. ESPERANZA
Problema 185 (Examen 11-2-2000) Sean
√ U1 y U2 dos variables aletorias independientes
ambas uniformes en [0,1]. Definimos X = U1 e Y = 2XU2 .
1. Obtener la densidad conjunta de (X, Y )
2. Obtener las densidades marginales de X e Y y sus esperanzas.
3. Si W es una variable Bernoulli tal que P (W = 1) = P (0 ≤ Y ≤
√
X), calcular E(W ).
Problema 186 ( ) El peso de un tumor tras un tiempo t, Wt , viene dado por la fórmula
Wt = XetY donde X e Y son variables aleatorias independientes, X sigue una distribución
gamma con media 2 y varianza 1 e Y está uniformemente distribuida en el intervalo (1, 1,5).
Halla E(Wt ) y var(Wt ).
Problema 187 (Krief y Levy, página 221) Sean X, Y y Z tres variables aleatorias. Se
supone que las tres parejas (X, Y ), (Y, Z) y (Z, X) tienen el mismo coeficiente de correlación
r. Probar que se verifica
1
(3.1)
r≥− .
2
Se podrá, en un primer momento, suponer que las variables aleatorias X, Y y Z tienen la
misma varianza.
Problema 188 (Krief y Levy, página 223) Sea X una variable aleatoria continua que admite una función de densidad f (x) y que tiene momentos finitos de los dos primeros órdenes.
Se supone que la función f es par, es decir, que se tiene que para todo x,
f (x) = f (−x).
(3.2)
Probar que:
1. Probar que E(X) = 0.
2. Probar que el coeficiente de correlación r entre X y |X| es nulo. ¿Conclusión?
Problema 189 ( ) Un terremoto de magnitud M libera una cantidad de energı́a X tal que
M = ln X. Para terremotos de magnitud mayor que 3 supón que M − 3 tiene una distribución
exponencial de media 2.
1. Halla E(M ) y V ar(M ) para un terremoto de magnitud mayor que 3
2. Para un terremoto como el del apartado anterior halla la densidad de X
3. Consideremos dos terremotos, que han sucedido independientemente, ambos de magnitud
mayor que 3. ¿Cuál es la probabilidad de que la magnitud del terremoto más pequeño sea
mayor de 4?
Problema 190 Un accidente tiene lugar en un punto X ∼ U (0, L). En el instante del accidente
una ambulancia está en una localización Y también distribuida uniformemente en la carretera
de longitud L. Halla la distancia esperada E(| X − Y |) entre el accidente y la ambulancia.
Problema 191 (Uno de ascensores) Un edificio tiene 10 pisos. 12 personas suben a un ascensor y cada una de ellas elige aleatoriamente el piso en donde quiere bajar (es decir, elige con
la misma probabilidad cada uno de los posibles pisos). Además hace su elección independientemente de los demás. ¿Cuál es el número medio de pisos en los que ha de parar el ascensor con
objeto de que baje una o más personas?
35
3.3. ESPERANZA CONDICIONADA
3.3.
Esperanza condicionada
Problema 192 Una máquina fabrica fibras de longitud aleatoria X. Para medir la desigualdad
entre las longitudes de las fibras fabricadas se utiliza el coeficiente
λ=
a′′ − a′
,
a
donde a = E(X), a′′ = E(X | X > a) y a′ = E(X | X < a). Si X ∼ N (a, σ 2 ), encontrar la
relación entre λ, a y σ.
Problema 193 (Un problema de pastillas. La distribución Hipergeométrica negativa)
Una caja contiene pastillas de dos tipos: grandes y pequeñas. Cada pastilla grande equivale a
dos pequeñas. Cada dı́a el paciente debe tomar una de las pastillas, que elige al azar. Si es
de las grandes la parte en dos, toma una mitad y devuelve la otra a la caja. Si la pastilla es
pequeña la toma sin más. A todos los efectos las mitades devueltas a la caja son consideradas
como pastillas pequeñas. ¿Cuál es el número esperado de pastillas pequeñas que quedarán en la
caja cuando las grandes se hayan terminado?
Problema 194 El número de clientes en la cola de la caja de un supermercado sigue una
distribución de Poisson con parámetro λ. El tiempo que tarda cada cliente en ser atendido
sigue una Exponencial de parámetro λ. Calcular el tiempo medio que debemos esperar en la
cola.
Problema 195 El número de pasajeros que espera el tren en cierta estación en un instante t
es una variable aleatoria Poisson de parámetro λt. Si el tiempo de llegada del tren se distribuye
uniformemente en el intervalo [0, T ], ¿cuál es el número medio de pasajeros que subirá al tren?
Obtener también su varianza.
Problema 196 Un minero atrapado en una mina tiene tres posibles caminos para tratar de
escapar de la mina. El primero le conduce al exterior después de 3 horas. El segundo le conduce
de nuevo al interior de la mina después de un recorrido de 5 horas. El tercero le conduce también
al interior de la mina, pero después de 7 horas de recorrido. Si el minero echa a suertes (igual
probabilidad) el camino por el que tratar de escapar, ¿cuál será el tiempo de medio que tardará en
conseguirlo?
Problema 197 Sea {Xj }j≥1 una sucesión de variables aleatorias uniformes en el intervalo
[0, 1]. Calcular E(N ) siendo


n

 X
Xj > 1 .
N = mı́n n;


j=1
Problema 198 El vector aleatorio (X, Y ) tiene por densidad conjunta

1

 ye−yx, 1 < y < 3, x > 0;
2
fXY (x, y) =


0,
en el resto.
Hallar E(X) y var(X) haciendo uso de E(X|Y ) y de var(X|Y ).
36
CAPÍTULO 3. ESPERANZA
Problema 199 El vector aleatorio (X, Y ) tiene por densidad conjunta

2e−2x


, 0 ≤ x < +∞, 0 ≤ y ≤ x;
x
fXY (x, y) =


0,
en el resto.
Calcular cov(X, Y ).
Sugerencia.- La obtención de E(Y ) puede resultar más sencilla a través de E(Y ) = E[E(Y |X)].
Problema 200 Tenemos un lote de N pastillas y antes de comercializarlo lo sometemos al
siguiente control de calidad. Fijamos un umbral c (c < n) y a continuación tomamos una
muestra de n pastillas del total de N que componen el lote. Sea X la variable aleatoria que nos
da el número de pastillas en mal estado en la muestra, si X ≤ c entonces sustituimos las X
pastillas defectuosas por pastillas en buen estado y comercializamos, sin más inspección, el lote.
En el caso en que X > c entonces se muestrean todas y cada una de las pastillas que componen
el lote y se sustituyen por pastillas en buen estado, comercializándolo a continuación. En este
caso el lote no tiene ninguna pastilla en mal estado. Si la probabilidad de que el proceso de
fabricación produzca una pastilla en mal estado es p, ¿qué número medio de pastillas en mal
estado estamos lanzando al mercado?
Problema 201 Elegimos al azar dos puntos en el intervalo [0, a]. Queremos conocer,
a) Area media del rectángulo que tiene por lados las correspondientes longitudes.
b) Area media de dicho rectángulo si ambos puntos son mayores que a/2.
Problema 202 Un trabajador está encargado del correcto funcionamiento de n máquinas situadas en linea recta y distantes una de otra l metros. El trabajador debe repararlas cuando se
averı́an, cosa que sucede con igual probabilidad para todas ellas e independientemente de una a
otra. El operario puede seguir dos estrategias:
1. acudir a reparar la máquina estropeada y permanecer en ella hasta que otra máquina se
averı́a, desplazándose entonces hacia ella, o
2. situarse en el punto medio de la linea de máquinas y desde allı́ acudir a la averiada,
regresando nuevamente a dicho punto cuando la averı́a está resuelta.
Si X es la distancia que recorre el trabajador entre dos averı́as consecutivas, ¿cúal de ambas
estrategias le conviene más para andar menos?
Problema 203 Sean X e Y dos variables aleatorias. Si E(X|Y ) = 10−Y y E(Y |X) = 7−X/4,
obtener su coeficiente de correlación.
Problema 204 Se pide determinar la media y la varianza de la variable X definida en el
problema 111.
Problema 205 Calcular el coeficiente de correlación entre el mayor y el menor valor obtenidos
al lanzar dos dados.
Problema 206 Obtener el coeficiente de correlación entre las coordenadas de un punto elegido
al azar en el cı́rculo unidad.
3.3. ESPERANZA CONDICIONADA
37
Problema 207 (Examen 8-6-2004) La variable aleatoria X se distribuye exponencialmente
con parámetro Y , que es a su vez una variable aleatoria uniforme en [1, 4]. Obtener la distribución conjunta de X e Y y la esperanza y la varianza de X.
Problema 208 (Examen 1-9-2004) Sea X una variable aleatoria con distribución normal
estándar (con media 0 y varianza 1) y sea I otra variable aleatoria, independiente de X y tal
que P (I = 1) = P (I = 0) = 1/2. Se define la variable aleatoria Y mediante
X,
si I = 1;
Y =
−X, si I = 0.
1. Calcular las probabilidades P (X < 1, Y > 1), P (X < 1) y P (Y > 1). ¿Son independientes
X e Y ? Justifica la respuesta.
2. Demostrar que Y sigue una distribución normal estándar.
3. Calcular E[XY |I = 1] y E[XY |I = 0] y demostrar que Cov(X, Y ) = 0.
Problema 209 (Examen 21-6-2005) Sobre un cı́rculo cuyo radio R es aleatorio con función
de densidad
 2
r


, r ∈ [0, 3];
9
fR (r) =


0
en el resto,
elegimos un punto al azar. Si X designa la distancia del punto al origen, obtener
1. La función de distribución y la función de densidad de X|R = r.
2. La media y la varianza de X.
38
CAPÍTULO 3. ESPERANZA
Capı́tulo 4
Convergencia de sucesiones de
variables aleatorias
4.1.
Tipos de convergencia
Problema 210 Consideremos la variable aleatoria X ∼ U (0, 1) y definamos la sucesión Xn =
L
X/n, n ≥ 1. Comprobar que Xn → Y , siendo Y una variable aleatoria degenerada, P (Y = 0) =
1.
Problema 211 La sucesión de variables aleatorias {Xn }n≥1 tales que P (Xn = 1 − 1/n) =
P (Xn = 1 + 1/n) = 1/2, convergen en ley a la variable aleatoria X tal que P (X = 1) = 1.
¿Tienden sus funciones de probabilidad a una función de probabilidad?
Problema 212 Sean Xj , j = 1, . . . , n, variables aleatorias independientes, todas ellas U (0, 1).
Definimos
Yn = mı́n(X1 , . . . , Xn ),
Zn = máx(X1 , . . . , Xn ),
Un = nYn ,
Vn = n(1 − Zn ).
Demostrar que cuando n → +∞,
P
Yn −→ 0;
L
P
Un −→ U ;
Zn −→ 1;
P
Vn −→ V,
siendo U y V variables aleatorias exponenciales con parámetro λ = 1.
Problema 213 Aplicar el anterior resultado a las variables aleatorias Xj , j = 1, . . . , n, independientes dos a dos y tales que
P (Xj = −aj ) = P (Xj = aj ) =
1
.
2
¿Para qué valores de a es aplicable el resultado?
Problema 214 Consideremos
Pn x ∈ [0, 1] y sea ξn (x)={el n-ésimo dı́gito de su expresión decimal}. Definamos Sn (x) = k=1 ξk (x) y
2Sn (x) − 9n
√
An (y) = x;
<y ,
33n
39
40
CAPÍTULO 4. CONVERGENCIA DE SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS
y sea λ(An (y)) la medida de Lebesgue de An (y). Probar que
Z y
1
u2
√
lı́m λ(An (y)) =
e− 2 du.
n→∞
2π −∞
Problema 215 La variable aleatoria Y se distribuye Exp(1). Definimos
1, si Y < ln n;
Xn =
0, en caso contario.
Obtener la función de distribución de Xn y estudiar la convergencia en ley de las Xn .
Problema 216 Sea T ∼ U (−1/c, 1/c), c > 0, y definamos Y = cT . Para k ∈ N , las variables
aleatorias Xk se definen mediante,

 −1, si −1 < Y < −1/k;
0, si −1/k ≤ Y < 1/k;
Xk =

1, si 1/k ≤ Y < 1.
Demostrar que Xk converge en ley a la variable aleatoria X con función de probabilidad fX (−1) =
fX (1) = 1/2 y fX (x) = 0, x ∈
/ {−1, 1}.
Problema 217 (Examen 1-9-2004) Una empresa que alquila coches con conductor ha observado que el número de kilómetros por dı́a de alquiler que se hacen con un determinado tipo
de vehı́culo sigue una distribución N (200, 5625).
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en 30 dı́as se hagan más de 5.000 kilómetros? ¿Qué hipótesis hay que asumir?
b) La compañı́a revisa el estado del vehı́culo si en un mismo dı́a hace más de 350 km. Calcular
el número esperado de dı́as que la compañı́a puede alquilar el vehı́culo antes de tener que
revisarlo.
4.2.
Leyes de los Grandes Números
Problema 218 Demostrar que la independencia de las variables en la ley débil de los grandes
números puede relajarse exigiendo solamente independencia dos a dos y acotación de las varianzas. Es decir, si Xj , j = 1, . . . , n, verifican que E(Xj ) = µj y var(Xj ) = σj2 son finitas,
entonces
P
X n − µn −→ 0,
donde
n
µn =
1X
µj ,
n j=1
n
Xn =
las Xj son independientes dos a dos y σj2 ≤ M , ∀j.
1X
Xj
n j=1
Problema 219 Sea Sn el número de éxitos en n pruebas Bernoulli con probabilidad de éxito
p en cada prueba. Encontrar una cota para P (|Sn /n − p| ≥ ǫ) que no dependa de p.
Problema 220 Tenemos dos monedas, una correcta y otra con probabilidad de cara p = 3/4.
Elegimos al azar una de las dos y realizamos una serie de lanzamientos. Después de observar el
resultado de un gran número de ellos, ¿podemos saber la moneda elegida? ¿Cuál es el mı́nimo
número de lanzamientos para poder saberlo con una probabilidad de al menos 95 %?
41
4.3. FUNCIÓN CARACTERÍSTICA
4.3.
Función caracterı́stica
Problema 221 Probar que una variable aleatoria X es simétrica sı́ y sólo sı́ su función caracterı́stica es real.
Problema 222 Encontrar la distribución de las variables aleatorias que tiene por función caracterı́stica
X
X
1) φ1 (t) =
ak cos kt,
2) φ2 (t) =
ak eiλk t .
k≥0
4.4.
k≥0
Teorema Central de Lı́mite
Problema 223 Ante la caja de un banco hay 60 personas que esperan recibir su salario, del
que sabemos que es una cantidad aleatoria de media µ = 100 euros y desviación tı́pica σ = 30
euros. Si los salarios son independientes de un asalariado a otro, queremos saber:
1. ¿Cuánto dinero debe tener la caja para, con probabilidad 0,95, poder pagar todos los salarios?
2. si la caja cuenta incialmente con 7,000 euros, ¿cuál es la probabilidad de que al final de
los pagos queden en caja al menos 500 euros?
Problema 224 Una empresa produce 10000 bolas de acero para rodamientos, siendo p = 0,05
la probabilidad de que una bola sea defectuosa. El proceso de producción garantiza que las bolas
son fabricadas independientemente unas de otras. Las bolas defectuosas son arrojadas a un
recipiente cuya capacidad queremos determinar para que, con probabilidad 0.99, quepan en él
todas las bolas defectuosas del proceso.
Problema 225 Las bombillas utilizadas por cierto aparato pueden ser de dos clases, A y B.
Las de la clase A tienen una duración media µA = 2000 horas con devsiación tı́pica σA = 400
horas, mientras que las de la clase B tienen una duración media µB = 1800 horas con desviación
tı́pica σB = 500 horas. Se compran 200 bombillas de la clase A y 150 de la clase B. Calcular
la probabilidad de que la duración media de la muestra de la clase A no supere en más de 100
horas la duración media de la muestra de la clase B.
Problema 226 Un colegio está preparando la fiesta de graduación de sus 500 estudiantes. Se
sabe, por lo ocurrido en otras ocasiones, que el 50 % de los estudiantes vienen acompañados de
sus padres, el 30 % sólo por uno de ellos y el 20 % restante vienen solos. ¿Cuantos asientos hay
que disponer para los padres si queremos que, con una probabilidad superior a 0.95, todos ellos
puedan sentarse?
Problema 227 Disponemos de un dado cargado en el que la probabilidad de obtener cualquiera
de las caras es proporcional a su número de puntos. Jugamos con él pagando 4 euros por jugada
y recibiendo como premio tantos euros como puntos tiene la cara obtenida al lanzarlo. Obtener
la probabilidad aproximada de ir ganando al cabo de 100 jugadas.
Problema 228 Probar con argumentos probabilı́sticos que
e−n
n
X
nk
k=0
k!
n
−→
1
.
2
42
CAPÍTULO 4. CONVERGENCIA DE SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS
Problema 229 La fabricación de zumo de naranja se lleva a cabo por lotes de n envases. La
caducidad en dı́as de cada envase es una variable aleatoria de media µ = 20 y varianza σ 2 = 9.
Obtener la media y la varianza de la caducidad media del lote y calcular el tamaño mı́nimo del
lote para que con probabilidad 0,99 dicha caducidad media supere los 19 dı́as.
Problema 230 (Todavı́a existen las pesetas) Un programa de contabilidad redondea las
cantidades (expresadas en pesetas con una precisión de dos decimales) a la peseta más próxima
de manera que las cantidades con céntimos entre 0 y 49 quitamos los centimos correspondientes
mientras que las cantidades con céntimos entre 50 y 99 lo redondeamos a la unidad superior.
Determinar la probabilidad aproximada que que el error acumulado en 100 transacciones sea
mayor que 5 pesetas (por exceso o por defecto) suponiendo que el número de centimos que nos
aparece en una cantidad cualquiera se distribuye uniformemente en {0, . . . , 99}.
Problema 231 Dos compañı́as aéreas A y B ofrecen el mismo servicio en dos vuelos diferentes
que salen al mismo tiempo (en definitiva, es igualmente probable que un pasajero coja uno de los
vuelos). Supongamos que ambas compañı́as compiten por un grupo de 400 pasajeros potenciales.
La compañı́a A vende un billete a cualquiera que se lo solicita y la capacidad de su avión es
de 230 pasajeros. Determinar la probabilidad aproximada de que A tenga un overbooking (que
algún pasajero tenga la desagradable sorpresa de tener un billete pero no tenga asiento).
Problema 232 (Examen 8-6-2004) Se redondean 20 números al entero más cercano y después se suman. Supongamos que los errores de redondeo son independientes y uniformemente
distribuidos en el intervalo [− 12 , 21 ]. Se pide determinar la probabilidad de que la suma obtenida
difiera de la suma de los 20 números originales en más de 3 unidades.
4.5.
Función generatriz de momentos
Problema 233
1. Halla la función generatriz de momentos de X ∼ P o(λ).
2. Obtén la esperanza y la varianza de X.
3. Demuestra que si Xi ∼ P o(λi ) para i = 1, . . . , k y son variables independientes entonces
Pk
Pk
S = i=1 Xi ∼ P o(λ), siendo λ = i=1 λi .
Problema 234
1. Demuestra que si Xi ∼ Exp(λ) para i = 1, . . . , k y son variables aleatoPk
rias independientes entonces S = i=1 Xi ∼ Ga(k, λ).
2. Halla E(S) y V ar(S).
Problema 235 Sea X1 , . P
. . Xn una muestra aleatoria de una N (µ, σ) demostrar que Xn ∼
n
N (µ, √σn ), siendo Xn = n1 i=1 Xi .
Problema 236 Si Xi ∼ χ2ni para i = 1, . . . , k y son variables aleatorias independientes entonP
P
ces S = ki=1 Xi ∼ χ2n , siendo n = ki=1 ni .
Problema 237 Halla la función generatriz de momentos de X ∼ BN (r, p) y calcular E(X).
Capı́tulo 5
Exámenes previos
5.1.
5.1.1.
1 de septiembre de 2004
Castellano
Problema 238 Supongamos que una caja contiene 5 monedas, cada una de ellas con distinta probabilidad de obtener una cara la lanzarla. Denotamos por pi dicha probabilidad para la
moneda i, i = 1, 2, . . . , 5 y supongamos que p1 = 0, p2 = 1/4, p3 = 1/2, p4 = 3/4 y p5 = 1.
a) Se selecciona al azar una moneda. Si la primera cara se obtiene al cuarto lanzamiento,
¿cuál es la probabilidad de que la i−ésima moneda haya sido la seleccionada?
b) Si se lanza de nuevo la misma moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener una nueva
cara?
c) Si se hubiera obtenido una cruz en el primer lanzamiento, ¿cuál es la probabilidad de
obtener una cara en el segundo lanzamiento?
Problema 239 Sea X una variable aleatoria con distribución normal estándar (con media 0
y varianza 1) y sea I otra variable aleatoria, independiente de X y tal que P (I = 1) = P (I =
0) = 1/2. Se define la variable aleatoria Y mediante
X,
si I = 1;
Y =
−X, si I = 0.
1. Calcular las probabilidades P (X < 1, Y > 1), P (X < 1) y P (Y > 1). ¿Son independientes
X e Y ? Justifica la respuesta.
2. Demostrar que Y sigue una distribución normal estándar.
3. Calcular E[XY |I = 1] y E[XY |I = 0] y demostrar que Cov(X, Y ) = 0.
Problema 240 Una empresa que alquila coches con conductor ha observado que el número
de kilómetros por dı́a de alquiler que se hacen con un determinado tipo de vehı́culo sigue una
distribución N (200, σ = 75).
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en 30 dı́as se hagan más de 5.000 kilómetros? ¿Qué hipótesis hay que asumir?
43
44
CAPÍTULO 5. EXÁMENES PREVIOS
b) La compañı́a revisa el estado del vehı́culo si en un mismo dı́a hace más de 350 km. Calcular
el número esperado de dı́as que la compañı́a puede alquilar el vehı́culo antes de tener que
revisarlo.
Problema 241 A partir de las variables aleatorias U1 , . . . , Un , independientes y todas ellas
con distribución uniforme en el intervalo [0,1], se obtienen las variables Yi = −logUi , para
i = 1, · · · , n.
a) ¿Qué distribución siguen las variables Y1 , · · · , Yn ? ¿Son independientes?
P
b) Sea Ȳ = n1 ni=1 Yi . Calcular E(Y ), V ar(Y ) y demostrar que,
∀k > 0,
lı́m P (|Y − 1| > k) = 0.
n→∞
c) ¿Qué distribución de probabilidad sigue Y ?
5.1.2.
Valenciano
Problema 242 Una caixa conté 5 monedes, cadascuna d’elles amb distinta probabilitat de
mostrar una cara en ser llançada. Si per pi denotem la probabilitat de cara per a la moneda i,
tenim p1 = 0, p2 = 1/4, p3 = 1/2, p4 = 3/4 y p5 = 1.
a) triem una moneda a l’atzar. Si la primera cara apareix en el quart llançament, quina és
la probabilitat de que la i−èsima moneda haja estat la seleccionada?
b) Si llancem una altra vegada la mateixa moneda, quina és la probabilitat d’obtenir una
cara?
c) Si al primer llançament haguérem tret una creu, quina hagués estat la probabilitat d’obtenir
una cara en el segon llançament?
Problema 243 Siga X una variable aleatòria amb distribució normal estándar (mitjana 0 i
variança 1) i siga I una altra variable aleatòria, independent d’X i tal que P (I = 1) = P (I =
0) = 1/2. Definim Y mitjançant
X,
si I = 1;
Y =
−X, si I = 0.
1. Calcular les probabilitats P (X < 1, Y > 1), P (X < 1) i P (Y > 1). Són independents X i
Y ? Justifica la resposta.
2. Demostrar que Y segueix una distribució normal estándar.
3. Calcular E[XY |I = 1] i E[XY |I = 0] i demostrar que Cov(X, Y ) = 0.
Problema 244 Una empresa de lloguer de cotxes amb chófer ha observat que el número de
quilòmetres per dia de lloguer que fa un cert tipu de vehicle segueix una distribució N (200, σ =
75).
a) Quina és la probabilidad de que un d’aquests vehicles faça més de 5.000 quilòmetres en
30 dies? Quina hipòtesi hi ha que assumir?
b) La companyia revisa l’estat del vehicle si en un mateix dia fa més de 350 qm. Calcular el
nombre esperat de dies que la compañı́a pot llogar el cotxe sense haver de revisar-lo .
45
5.2. 3 DE FEBRERO DE 2004
Problema 245 A partir de les variables aleatòries U1 , . . . , Un , independents i totes elles amb
distribució uniforme en l’interval [0,1], obtenim les variables Yi = −logUi , i = 1, · · · , n.
a) Quina distribució segueixen les variables Y1 , · · · , Yn ? Són independents?
Pn
b) Siga Ȳ = n1 i=1 Yi . Calcular E(Y ), V ar(Y ) i demostrar que,
∀k > 0,
lı́m P (|Y − 1| > k) = 0.
n→∞
c) Quina distribució de probabilitat segueix Y ?
5.2.
5.2.1.
3 de febrero de 2004
Castellano
Problema 246 Un jugador puede apostar a cualquiera de los números enteros entre 1 y 6.
Entonces lanza 3 dados y si aparece el número que eligió, recibe como premio su apuesta multiplicada por el número de dados que lo muestran y además le devuelven lo que apostó. En otro
caso pierde su dinero. ¿Cuál es la ganancia esperada de este juego?
Problema 247 Un taxi se ve involucrado en un accidente nocturno. En la ciudad hay dos
compañı́as de taxis, los taxis Negros y los taxis Blancos. Se sabe que el 85 % de los taxis de
la ciudad son Negros y el 15 % restante son Blancos. Un testigo del accidente afirma que el
taxi involucrado era Blanco y la fiabilidad de su testimonio es del 80 %, es decir, es capaz de
identificar correctamente el color del taxi el 80 % de las veces.
1. Calcula la probabilidad de que el taxi accidentado fuera el Blanco, dado que el testigo
afirma que lo era, y compárala con la respuesta del testigo.
2. Supongamos que el 100p % de los taxis son Blancos, con 0 ≤ p ≤ 1, y que la fiabilidad
del testigo continúa siendo del 80 %. Estudia la sensibilidad a los datos de la respuesta
anterior viendo como varı́a ésta en función de p. ¿A partir de qué valor de p la anterior
probabilidad supera 0.5?
3. El análisis anterior puede completarse permitiendo que la fiabilidad del testigo sea variable,
100q %, con 0 ≤ q ≤ 1. Determina la relación que se debe dar entre p y q para que la
probabilidad pedida supere 0.5.
Problema 248 El holandés Christian Huygens publicó en 1657 uno de primeros libros sobre
Probabilidad que se conocen, De Ratiociniis in Ludo Aleae (Del Razonamiento en los Juegos de
Azar), en el que planteaba una serie de problemas. El que se conoce como segundo problema
de Huygens lo enunciamos a continuación.
Tres jugadores A, B y C participan en el siguiente juego. Una urna contiene a
bolas blancas y b negras. Los jugadores, en el orden ABCABC . . ., extraen una bola
con reemplazamiento hasta que uno de ellos obtiene una bola blanca y gana.
Encontrar la probabilidad de ganar para cada jugador.
Problema 249 Elegimos un punto uniformemente en el cı́rculo centrado en cero y de radio
uno. Supongamos que denotamos por Θ la variable aleatoria que nos da el ángulo aleatorio
asociado a este punto y por X la variable aleatoria que nos da la abscisa del punto. Se pide:
46
CAPÍTULO 5. EXÁMENES PREVIOS
1. ¿Cuál es la distribución de Θ? Hay que obtener tanto la función de densidad como la
función de distribución.
2. Determinar P(Θ ∈ [a, b]) para cualesquiera a y b con 0 ≤ a ≤ b ≤ 2π.
3. Determinar la función de distribución de la variable X.
4. Determinar la función de densidad de la variable X.
5. Calcular E(X).
6. Calcular E(|X|).
5.2.2.
Valenciano
Problema 250 Un jugador pot apostar a qualsevol dels enters entre 1 y 6, tots dos inclosos.
Triat el número llança 3 daus, i si algun d’ells mostra el número que ha triat rep com a premi
tantes vegades el que va apostar com daus mostren el número, i a més a més li tornen l’aposta.
¿Quin és el guany esperat en aquest joc?
Problema 251 Un taxi té un accident nocturn en una ciutat on hi ha dues companyes de
taxis, els Negres i els Blancs. Sabem que el 85 % dels taxis són Negres i la resta blancs. Un
testimoni de l’accident, que és capaç d’identificar correctament el color del taxi en el 80 % de
les ocasions, afirma que el taxi era Blanc.
1. Calcula la probabilitat de que el taxi accidentat fos blanc, donat que el testimoni aixı́ ho
afirma, i compara-la amb el que diu el testimoni.
2. Suposem ara que el 100p % dels taxis són Blancs, on 0 ≤ p ≤ 1, i que la fiabilitat del
testimoni continua essent del 80 %. Estudia la sensibilitat de la probabilitat obtinguda a
l’apartat anterior mitjançant la seua variació en funció de p. A partir de quin valor de p
aquesta probabilitat supera 0,5?
3. L’anterior anàlisi pot completar-se permetent que la fiabilitat del testimoni siga variable,
100q %, on 0 ≤ q ≤ 1. Determina la relació que deuen tenir p i q per a que l’esmentada
probabilitat supere 0,5.
Problema 252 L’holandés Christian Huygens va publicar en 1657 un dels primers llibres sobre
Probabilitat, De Ratiociniis in Ludo Aleae (Del Raonament en els Jocs d’Atzar), on proposava
un seguit de problemes. El conegut com a segon problema de Huygens l’enunciem tot seguit.
Tres jugadors A, B i C participen en el següent joc. Una urna té a bolas blanques i
b negres. Els jugadors, en l’ordre ABCABC . . ., trauen una bola amb reemplaçament
fins que un d’ells trau una bola blanca i guanya.
Trobar la probabilitat de guanyar per a cada jugador.
Problema 253 Triem un punt a l’atzar dintre del cercle unitat centrat en zero. Designem
mitjançant Θ i X, respectivament, l’angle aleatori i l’abscissa associats al punt. Es demana:
1. La distribución de Θ (cal obtenir tant la funció de densitat com la funció de distribució).
2. Determinar P(Θ ∈ [a, b]), ∀a, b amb 0 ≤ a ≤ b ≤ 2π.
3. Determinar la funció de distribució de la variable X.
47
5.3. 3 DE SEPTIEMBRE DE 2005
4. Determinar la funció de densitat de la variable X.
5. Calcular E(X).
6. Calcular E(|X|).
5.3.
5.3.1.
3 de septiembre de 2005
Castellano
Problema 254 Tenemos 10 pares de zapatos y elegimos al azar 4 zapatos. ¿Cuál es la probabilidad de que no hayamos elegido ningún par? Si X es una variable aleatoria que representa el
número de pares elegidos, obtener el número medio de pares entre los 4 zapatos elegidos.
Ayuda.- Para el cálculo de E(X) puede ayudar definir variables Xj que valen 1 si el par j ha
sido escogido y 0 en caso contrario.
Problema 255 Cuando una corriente de I amperios pasa a través de una resistencia de R
ohmios, la potencia generada viene dada por W = I 2 R vatios. Supongamos que I y R son
variables aleatorias independientes con densidades

 6x(1 − x), si 0 ≤ x ≤ 1;
fI (x) =

0,
fuera.
y
fR (y) =
Hallar la densidad de W .

 2y, si 0 ≤ y ≤ 1;

0,
fuera.
Problema 256 La variable aleatoria Y se distribuye Exp(1). Definimos

 1, si Y < ln n;
Xn =

0, en caso contario.
Obtener la función de distribución de Xn y estudiar la convergencia en ley de las Xn .
Problema 257 La probabilidad de que un virus informático haya infectado nuestro ordenador
es 0, 1. Si el ordenador está infectado, un sistema antivirus detecta la infección con probabilidad x = 0, 95, mientras que en caso de no infección el sistema detecta falsas infecciones
con probabilidad y = 0, 03. Interesa que el sistema antivirus tenga un elevado valor predictivo={probabilidad de que el ordenador esté infectado cuando el antivirus detecta una infección}.
Calcularlo a partir de los datos anteriores. Si queremos aumentarlo, ¿donde hemos de dirigir
nuestros esfuerzos, a aumentar x o a rebajar y?
5.3.2.
Valenciano
Problema 258 Tenim 10 parelles de sabates i triem a l’atzar 4 sabates. Quina és la probabilitat
de no haver triat cap parella? Si X és la variable aleatòria que representa el número de parelles
que hem triat, obtenir la mitjana del número de parelles entre les 4 sabates que hem triat.
Ajut.- Per al càlcul d’E(X) pot ajudar definir variables Xj que valen 1 si el parell de sabates
j ha estat triat i 0 en cas contrari.
48
CAPÍTULO 5. EXÁMENES PREVIOS
Problema 259 Un corrent d’intensitat I ampers en creuar una resistència de R ohms, genera
una potència de W = I 2 R vats. Suposem que I i R són variables aleatòries independents amb
densitats

 6x(1 − x), si 0 ≤ x ≤ 1;
fI (x) =

0,
fora.
i
fR (y) =
Trobar la densitat de W .

 2y, si 0 ≤ y ≤ 1;

0,
fora.
Problema 260 La variable aleatòria Y te per distribució una Exp(1). Definim

 1, si Y < ln n;
Xn =

0, altrament.
Obtenir la funció de distribució de Xn i estudiar la convergència en llei de les Xn .
Problema 261 La probabilitat de que un virus informàtic infecte el nostre ordinador és 0, 1.
Si l’ordinador està infectat, un sistema antivirus ho detecta amb probabilitat pI|D = 0, 95,
mentre que en caso de no ho haja fet el sistema detecta falses infeccions amb probabilitat 0, 03.
Interesa que el sistema antivirus tinga un alt valor predictiu={probabilitat de que el ordinador
estiga infectat quan l’antivirus ho detecta}. Calcular-lo a partir de les dades anteriors. Si volem
augmentar-lo, què ens convé, augmentar x o rebaixar y?
5.4.
5.4.1.
8 de junio de 2004
Castellano
Problema 262 La variable aleatoria X, que toma valores en el intervalo [0,2], tiene por densidad la recta que pasa por (2,0) con pendiente negativa. Obtener su función de densidad f (x)
y calcular P (|X − E(X)| ≤ 1/2). ¿Qué cota obtendrı́amos para esta probabilidad si utilizáramos
la desigualdad de Chebychev?
Problema 263 Supongamos una clase de n estudiantes. Uno de ellos conoce un rumor que
cuenta a uno de sus compañeros elegido al azar. A su vez este segundo estudiante vuelve a
contarlo a otro compañero elegido al azar y distinto del que se lo ha contado. Este rumor sigue
propagándose del mismo modo. En cada ocasión el estudiante lo cuenta a otro elegido al azar
entre los n del grupo, excluyendo a aquél que se lo contó. ¿Cuál es la probabilidad de contar la
historia k veces sin que se la cuenten dos veces al mismo individuo?
Sugerencia.- Definid los sucesos Ai ={la historia no se le repite de nuevo a alguien que ya
la conoce cuando se cuenta por i-ésima vez}, i = 1, . . . , k. A partir de estos sucesos se puede
definir el suceso de interés.
Problema 264 La variable aleatoria X se distribuye exponencialmente con parámetro Y , que
es a su vez una variable aleatoria uniforme en [1, 4]. Obtener la distribución conjunta de X e
Y y la esperanza y la varianza de X.
5.4. 8 DE JUNIO DE 2004
49
Problema 265 Se redondean 20 números al entero más cercano y después se suman. Supongamos que los errores de redondeo son independientes y uniformemente distribuidos en el intervalo
[− 12 , 12 ]. Se pide determinar la probabilidad de que la suma obtenida difiera de la suma de los
20 números originales en más de 3 unidades.
Problema 266 Consideremos el siguiente procedimiento:
1. Generamos U con distribución uniforme en [0, 1].
2. Tomamos Y = − λ1 ln(1 − U ) siendo ln el logaritmo neperiano y λ una constante positiva.
3. Tomamos X = [Y ] donde [Y ] es la parte entera por exceso de Y .
Se pide:
1. La distribución de probabilidad de la variable aleatoria Y .
2. La función de probabilidad de la variable X. Comprobar que tiene una distribución geométrica.
Problema 267 Tenemos una urna con 12 bolas numeradas de 1 a 12. Extraemos dos bolas y
denotamos por X1 y X2 los valores que observamos en la primera y en la segunda extracción.
Sea X la variable definida como el máximo de las dos extracciones. Se pide:
1. La función de distribución de la variable X si suponemos que las dos extracciones se
realizan con reemplazamiento.
2. La función de distribución de la variable X si suponemos que no hay reemplazamiento
entre las extracciones sucesivas.
3. La media de la variable X en las dos situaciones anteriores.
Segundo parcial: problemas 3, 4, 5 y 6.
Examen final de toda la asignatura: problemas 1, 2, 4 y 5.
5.4.2.
Valenciano
Problema 268 La variable aleatòria X, definida en l’interval en [0, 2], té per densitat la recta
que pasa per (2,0) amb pendent negativa. Obtenir f (x) i calcular P (|X − E(X)| ≤ 1/2). ¿Quina
cota obtindrı́em per aquesta probabilitat si empràrem la desigualtat de Chebychev?
Problema 269 A una classe hi ha n estudiants. Un d’ells coneix un rumor que conta a un
company triat a l’atzar. Aquest segon estudiant el conta a un tercer, distint del que li’l va contar
a ell i triat també a l’atzar. El rumor continua propagant-se d’aquesta forma: un estudiant el
conta a un altre triat a l’atzar i diferent del que li’l va contar a ell. Quina és la probabilitat de
que en contar-lo k voltes el rumor no haja tornat a cap dels estudiants que ja el coneixien?
Suggerència.- Definiu els esdeveniments Ai ={el rumor no es repeteix a cap dels que ja el
coneixen quan es conta per i-èsima volta}, i = 1, . . . , k. Aquests esdeveniments ajuden a definir
l’esdeveniment que ens interessa
Problema 270 La variable aleatòria X té una distribució exponencial amb paràmetre Y , que
és al seu torn una variable aleatòria uniforme sobre [1, 4]. Obtenir la distribució conjunta de X
i Y i la esperança i la variança de X.
50
CAPÍTULO 5. EXÁMENES PREVIOS
Problema 271 S’aproximen 20 números mitjançant l’enter més proper i després se sumem.
Suposem que els errors comesos són independents i uniformes en l’interval [− 21 , 12 ]. Volem
obtenir la probabilitat de que la suma obtinguda s’allunye de la suma dels 20 números originals
més de 3 unitats.
Problema 272 Considerem el següent procés:
1. Generem U amb distribució uniforme en [0, 1].
2. Definim Y = − λ1 ln(1 − U ), on ln és el logaritme neperià i λ una constant positiva.
3. Prenim X = [Y ], la part entera per excés d’[Y ].
Es demana:
1. La distribució de probabilitat de la variable aleatòria Y .
2. La funció de probabilitat de la variable X. Comprovar que té una distribució geomètrica.
Problema 273 En una urna hi han 12 boles numerades de l’1 al 12. En tirem fora dues i
designem per X1 i X2 els valors observats a la primera i a la segona extracció, i per X el
màxim de totes deus extraccions. Es demana:
1. La funció de distribució de la variable X si les dues extraccions són fetes amb reemplaçament.
2. La funció de distribució de la variable X si les dues extraccions són fetes sense reemplaçament.
3. La mitjana de la variable X en tots dos casos.
Segon parcial: problemes 3, 4, 5 i 6.
Examen final de tota la matèria: problemes 1, 2, 4 i 5.
5.5.
5.5.1.
9 de febrero de 2005
Castellano
Problema 274 ¿Cuál es la probabilidad de que una mano de póquer contenga sólo una pareja?
Nota: una baraja de póquer tiene cuatro palos y de cada palo hay 13 cartas. En una mano se
sirven cinco cartas.
Problema 275 Una urna contiene n papeletas numeradas de 1 a n inclusive. Extraemos r al
azar. Sea X el número mayor obtenido si las papeletas se reemplazan después de cada extracción
y sea Y el número mayor si las papeletas no se reemplazan en la urna. Determinar las funciones
de distribución, las funciones de cuantı́a (o probabilidad) y demostrar que
FY (k) < FX (k) para 0 < k < n.
(5.1)
Problema 276 Calcular la probabilidad de poder formar un triángulo con dos puntos elegidos
en el intervalo [0, 1] según el método siguiente: Elegimos un punto al azar y a continuación uno
de los trozos, elegido al azar, lo dividimos en dos partes iguales. Calcular, para este método, la
probabilidad de que el triángulo sea obtusángulo.
Nota: dado un triángulo cuyos lados miden a, b y c y cuyos ángulos opuestos son A, B y C,
respectivamente, se verifica que c2 = a2 + b2 − 2ab cos C.
51
5.6. 21 DE JUNIO DE 2005
Problema 277 Probar que para cualquier función de densidad de probabilidad se verifica
Z +∞
1
f (z)dz = 0.
lı́m x
x→+∞
z
x
5.5.2.
Valenciano
Problema 278 Quina és la probabilitat de que una mà de pòquer tinga sols una parella?
Nota: una baralla de pòquer té quatre pals i de cada pal hi han 13 cartes. En una mà s’en
serveixen 5.
Problema 279 Una urna conté n paperetes numerades de 1 a n tots dos inclosos. En traiem r
a l’atzar. Siga X el major número tret si les extraccions han estat fetes amb reemplaçament, i
siga Y el major número quan les extraccions han estat fetes sense reemplaçament. Determinar
les funcions de distribució, les funcions de quantia (o probabilitat) i demostrar que
FY (k) < FX (k) per a 0 < k < n.
(5.2)
Problema 280 Calcular la probabilitat de poder formar un triangle amb els tres segments
obtinguts en triar dos punts a l’interval [0, 1] d’acord amb el següent mètode: triem un punt a
l’atzar i tot seguit un dels trossos, també triat a l’atzar, el dividim en dos parts iguals. Calcular
també la probabilitat de que el triangle siga obtusangle.
Nota: per a un triangle de costats a, b i c amb angles oposats A, B i C respectivament es
verifica que c2 = a2 + b2 − 2ab cos C.
Problema 281 Probar que per a qualsevol funció de densitat de probabilitat es cert que
Z +∞
1
f (z)dz = 0.
lı́m x
x→+∞
z
x
5.6.
5.6.1.
21 de junio de 2005
Castellano
Problema 282 En una urna hay una bola roja. Extraemos tres cartas de una baraja francesa(52 cartas repartidas en 4 palos) y añadimos a la urna tantas bolas verdes como ases hayamos
extraı́do. A continuación lanzamos 2 veces una moneda cuya probabilidad de cara es p = 1/5
y añadimos tantas bolas rojas como cruces hayamos obtenido. Finalmente llevamos a cabo 2
extracciones con reemplazamiento de la urna. Si X es el número de bolas verdes añadidas a la
urna e Y el número de bolas rojas añadidas a la urna,
1. Obtener la función de probabilidad de X.
2. Obtener la función de probabilidad de Y .
3. Si las dos bolas extraı́das con reemplazamiento son rojas, ¿cuál es la probabilidad de no
haber obtenido ningún as al extraer las 3 cartas de la baraja francesa?
Problema 283 Sea T ∼ U (−1/c, 1/c), c > 0, y definamos Y = cT . Para k ∈ N , las variables
aleatorias Xk se definen mediante,

 −1, si −1 < Y < −1/k;
0, si −1/k ≤ Y < 1/k;
Xk =

1, si 1/k ≤ Y < 1.
52
CAPÍTULO 5. EXÁMENES PREVIOS
Demostrar que Xk converge en ley a la variable aleatoria X con función de probabilidad
fX (−1) = fX (1) = 1/2 y fX (x) = 0, x ∈
/ {−1, 1}.
Problema 284 Definamos la función
f (x) =
ax−(s+1) , si x > r;
0,
si x ≤ r,
con r, s > 0.
1. Determinar a para que f (x) sea una función de densidad de probabilidad.
2. Si la variable aleatoria X tiene por densidad f (x), ¿para què valores de s existirá su
esperanza?
Problema 285 Probar utilizando el Teorema Central del Lı́mite que
e−n
n
X
nk n 1
−→ .
k!
2
k=0
Problema 286 Sobre un cı́rculo cuyo radio R es aleatorio con función de densidad
 2
r


, r ∈ [0, 3];
9
fR (r) =


0
en el resto,
elegimos un punto al azar. Si X designa la distancia del punto al origen, obtener
1. La función de distribución y la función de densidad de X|R = r.
2. La media y la varianza de X.
Problema 287 Un autobús tiene en su recorrido 15 paradas. Supongamos que en la primera
parada suben 20 personas. Cada una de ellas elige al azar e independientemente de las otras en
cuál de las 14 paradas restantes quiere bajar.
1. Si Xi es una variable aleatoria que vale 1 si alguna de las personas baja en la parada i y
0 en caso contrario, calcular su distribución de probabilidad.
2. Calcular el número medio de paradas que debe realizar el autobús para que bajen todos los
pasajeros.
Toda la materia: P1, P2, P3 y P6
Segundo parcial: P2, P4, P5 y P6
5.6.2.
Valenciano
Problema 288 Tenim una urna amb una bola roja. Triem a l’atzar 3 cartes d’una baralla francesa (52 cartes repartides en 4 pals) i afegim a la urna tantes boles verdes com asos hem tret.
Després llancem 2 vegades una moneda que té una probabilitat p = 1/5 de traure cara i afegim
a la urna tantes boles roges com creus hem obtingut. Finalment fem 2 extraccions amb reemplaçament de la urna. Si X i Y representen el números de boles verdes i roges, respectivamente,
que hem afegit a la urna,
53
5.6. 21 DE JUNIO DE 2005
1. Obtenir la funció de probabilitat d’X.
2. Obtenir la funció de probabilitat d’Y .
3. Si las dos boles extretes amb reemplaçament son roges, quina és la probabilitat de no haber
obtingut cap as al triar les 3 cartes de la baralla francesa?
Problema 289 Siga T ∼ U (−1/c, 1/c), c > 0. Definim Y = cT i per a k ∈ N definim la
variable Xk mitjançant,

 −1, si −1 < Y < −1/k;
0, si −1/k ≤ Y < 1/k;
Xk =

1, si 1/k ≤ Y < 1.
Demostrar que Xk convergeix en llei a la variable aleatòria X amb funció de probabilitat
fX (−1) = fX (1) = 1/2 i fX (x) = 0, x ∈
/ {−1, 1}.
Problema 290 Definim la funció
f (x) =
ax−(s+1) , si x > r;
0,
si x ≤ r,
amb r, s > 0.
1. Determineu a per a que f (x) siga una funció de densitat de probabilitat.
2. Si la variable aleatòria X té per densitat f (x), per a quins valors d’ s existirà la seua
esperança?
Problema 291 Emprant el Teorema Central del Lı́mit proveu que
e−n
n
X
nk
k=0
k!
n
−→
1
.
2
Problema 292 Sobre un cercle de radi R, aleatori amb funció de densitat
 2
r


, r ∈ [0, 3];
9
fR (r) =


0
fora,
triem un punt a l’atzar. Si per X designem la distància del punt a l’origen, obtenir
1. La funció de distribució i la funció de densitat de X|R = r.
2. La mitjana i la variància d’X.
Problema 293 Un autobús té 15 parades al llarg del seu recorregut. Suposem que en la primera
parada pugen a l’autobús 20 persones. Cadascuna d’elles tria a l’atzar i independentment de les
altres en quina de les altres 14 parades vol baixar.
1. Si Xi és una variable aleatòria que val 1 si alguna de las persons baixa en la parada i i 0
en cas contrari, calcular la seua distribució de probabilitat.
2. Calcular la mitjana del número de parades que deu fer l’autobús per a que baixen tots els
passatgers.
Tota la matèria: P1, P2, P3 i P6
Segon parcial: P2, P4, P5 i P6
54
CAPÍTULO 5. EXÁMENES PREVIOS
5.7.
5.7.1.
6 de junio de 2006
Castellano
Problema 294 Cuando cierta máquina está bien ajustada el 60 % de las piezas que produce
son de calidad alta, el 30 % son de calidad media y el resto de calidad baja. Cuando se desajusta,
en cambio, el 40 % de las piezas que produce son de calidad alta, el 40 % son de calidad media
y el resto de calidad baja.
1. Supongamos que en un momento dado la máquina está bien ajustada, ¿cuál es la probabilidad de que si se eligen 6 piezas al azar se obtengan 3 de buena calidad y 2 de calidad
media?
2. Supongamos ahora que la máquina está desajustada, ¿cuál es la probabilidad de que si se
eligen 6 piezas al azar se obtengan 2 piezas de cada tipo?
3. Se sabe que esta máquina está bien ajustada el 80 % del tiempo pero en este momento los
responsables no saben si lo está o no. Un estudiante de cálculo de probabilidades propone
que se elijan al azar 5 piezas y que se cuenten cuantas hay de cada tipo. En función del
resultado se puede saber en qué estado se encuentra la máquina. Los responsables de la
máquina aceptan su sugerencia y observan 2 piezas de calidad alta, 2 de calidad media y
una de calidad baja. ¿En qué estado es más verosı́mil que se encuentre la máquina?
Problema 295
1. Estudia la convergencia en ley de {Xn }n≥1 siendo Xn una variable aleatoria uniformemente distribuida en { n1 , n2 , . . . , n−1
n , 1}, para n ≥ 1
2. Comprueba que {Yn }n≥2 converge en probabilidad a una constante, siendo Yn =
Xn ∼ U (0, 1) para n ≥ 2.
Xn
log n ,
Problema 296 Un jugador juega una cantidad inicial de dinero 1e. En cada partida, con igual
probabilidad, duplica su dinero o lo reduce a la mitad. Después de jugar n partidas ¿cuál es la
ganancia esperada del jugador?
Problema 297 Consideramos X una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo [0, π]. Determinar la función de densidad de la variable Y = sen(X).
Problema 298 Sean X, U y W variables aleatorias independientes con distribución uniforme
en [0, 1]. Definimos Y = XU +(1−X)W . Determinar EY y var(Y ). ¿Tiene Y una distribución
uniforme en [0, 1]?
Problema 299 Se ofrece un premio a cualquier persona que cuando lance 600 veces un dado
obtenga un mı́nimo de 125 veces el número 6. Lo intentan 300 individuos. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellos ganen el premio?
Segundo parcial: problemas 2, 3 5 y 6.
Examen final de toda la materia: problemas 1, 2, 4 y 5.
5.7. 6 DE JUNIO DE 2006
5.7.2.
55
Valenciano
Problema 300 Una máquina ben ajustada produeix un 60 % de peces de qualitat alta, un 30 %
de qualitat mitjana i un 10 % de qualitat baixa. Si es desajusta, les proporcions són 40, 40 i 20,
respectivament.
1. Si la màquina està ben ajustada, quina és la probabilitat de que al triar a l’atzar 6 peces
3 siguen d’alta qualitat i 2 de mitjana?
2. Si la màquina està desajustada, quina és la probabilitat de que al triar a l’atzar 6 peces
n’hi hagen 2 de cada tipus?
3. En un moment donat no sabem si la màquina està o no ajustada, tot i que el 80 % del
temps ho està. Per a saber-ho algú ens proposa triar 5 peces a l’atzar i veure quantes
n’hi han de cada tipus i decidir en funció del resultat. Feta la prova trobem 2 peces d’alta
qualitat i 2 de mitjana. En quin és més verosı́mil que es trobe la màquina?
Problema 301
1. Estudia la convergència en llei de {Xn }n≥1 on Xn una variable aleatòria
uniformemente distribuı̈da en { n1 , n2 , . . . , n−1
n , 1}, n ≥ 1
2. Comprova que {Yn }n≥2 convergeix en probabilitat a una constant, essent Yn =
Xn ∼ U (0, 1) n ≥ 2.
Xn
log n ,
Problema 302 Un jugador juga una quantitat inicial c. En cada partida, amb igual probabilitat, la quantitat jugada es duplica o es redueix a la meitat. Després de jugar n partides, quin
és el guany esperat del jugador?
Problema 303 Considerem X una variable aleatòria amb distribució uniforme en l’interval
[0, π]. Determinar la funció de densitat de la variable Y = sin(X).
Problema 304 Les variables aleatòries X, U i W són independents i totes tres U (0, 1). Definim
Y = XU + (1 − X)W . Determinar E(Y ) i var(Y ). Té Y una distribució U (0, 1)?
Problema 305 S’ofereix un premi a qualsevol que en 600 llançaments d’un dau obtinga un
mı́nim de 125 sisos. Ho intentan 300 individus. Quina és la probabilitat de que al menys dos
de’ells guanyen el premi?
Segon parcial: problemes 2, 3 5 i 6.
Examen final de tota la matèria: problemes 1, 2, 4 i 5.