Tercer control de ´Algebra I.

Santiago, Mayo 4 de 2010.
Tercer control de Álgebra I.
Nombre:
1† Determine una Progresión Geométrica cuyo segundo término sea 4, y tal que:
a4
25
=
a6
4
2† Sea (xn ) una progresión aritmética con d = 40 tal que S20 = 650; determine x2n .
3† Una persona ve dos anuncios de empleo para realizar el mismo trabajo durante todos los dı́as de un mes o 30
dı́as. Uno de ellos dice que pagará US$10,000 por el mes de trabajo y el otro dice que pagará diariamente 1
centavo el primer dı́a, 2 centavos el segundo, 4 centavos el tercero y ası́ sucesivamente hasta el último dı́a del
mes. ¿Cuál empleo le resulta más llamativo? ¿Por qué?
4† Una epidemia crece tan rápido que cada dı́a hay el doble de personas contaminadas que habı́a el dı́a anterior. Si
una población se contamina completamente en 19 dı́as, si el primer dı́a hay 2 personas contaminadas. ¿Cuántos
dı́as se demorará si el primer dı́a hay 4 personas contaminadas?
Observaciones
# Solo se aceptarán consultas de redacción dentro de los primeros 10 minutos.
# No se admiten consultas relacionadas con la materia.
# No se permite el uso de apuntes ni libros.
# Duración 60 minutos.
# Preguntas incompletas o sin justificación serán evaluadas con menor puntaje.
# Todas las preguntas tienen una ponderación de 20 puntos.
Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una
oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber.(Albert Einstein)
Profesor
email
: Miguel Ángel Muñoz Jara.
: [email protected]
1
Observación. La solución de los siguientes problemas puede no ser única.
Si encuentra algún ((Herror)) favor comuniquelo vı́a email.
1† Determine una Progresión Geométrica cuyo segundo término sea 4, y tal que
LC
C.
2
a4
25
=
a6
4
Solución. Observe que el término general de la progresón geométrica es:
an = arn−1
Ası́ de las hipotesis del problema se tiene que:
a4
a6
=
⇒
ar3
2
25
⇒r=±
=
ar5
4
5
lge
br
25
4
4
r
I.
= ar = 4 ⇒ a =
a
a2
01
0.
PAUTA.
a) Si r =
2
, la progresón posee término general:
5
n−1
2
5
on
tro
ld
an = 10
e Á
De lo anterior se deduce que existen dos progresiones geométricas que satisfacen las hipotesis del problemas, las
cuales admiten término general:
2
b) Si r = − , la progresón posee término general:
5
n−1
2
an = −10 −
5
rC
2† Sea (xn ) una progresión aritmética con d = 40 tal que S20 = 650; determine x2n .
Solución. Observe que
10(2a + 19d)
⇔
2a + 760
= 65
⇔
a
=−
Te
r
ce
S20 = 650 ⇔
= 650
Pa
ut
a
De lo anterior se deduce que el término general de la progresión es:
Por lo tanto x2n = −
Profesor
email
xn = −
695
+ (n − 1)40
2
695
+ (2n − 1)40.
2
: Miguel Ángel Muñoz Jara.
: [email protected]
2
695
2
01
0.
3† Una persona ve dos anuncios de empleo para realizar el mismo trabajo durante todos los dı́as de un mes o 30
dı́as. Uno de ellos dice que pagará US$10,000 por el mes de trabajo y el otro dice que pagará diariamente 1
centavo el primer dı́a, 2 centavos el segundo, 4 centavos el tercero y ası́ sucesivamente hasta el último dı́a del
mes. ¿Cuál empleo le resulta más llamativo? ¿Por qué?
LC
C.
2
Solución. Observe que si denotamos por xn la cantidada pagada diariemnete en el trabajo del segundo anuncio,
entonces se tiene que:
x1 = 1
x2
=2
..
.
= 2n−1
xn
Es decir el sueldo del segundo anuncio es de US$10.737.418,23.
a
230 − 1
1 + 2 + 4 + ... + 229
=
= 10,737,418, 23
100
100
lge
br
T =
I.
Por lo tanto el total a pagar por un mes de trabajo segun el segundo anuncio es:
4† Una epidemia crece tan rápido que cada dı́a hay el doble de personas contaminadas que habı́a el dı́a anterior. Si
una población se contamina completamente en 19 dı́as, si el primer dı́a hay 2 personas contaminadas. ¿Cuántos
dı́as se demorará si el primer dı́a hay 4 personas contaminadas?
e Á
Solución. Observe que si xn denota el numero total de enfermos el dia n, entonces:
=2
=4
x1 9
= 219
on
tro
ld
x1
x2
..
.
Pa
ut
a
Te
r
ce
rC
Por lol tanto si el primer dia hay 4 personas contaminadas la epidemia tarda 18 dias en contagiar toda la
población.
Profesor
email
: Miguel Ángel Muñoz Jara.
: [email protected]
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