Sucesiones y Progresiones_5

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Módulo 5
Sucesiones y Progresiones
Guı́a de Ejercicios
Índice
Unidad I.
Sucesiones
Ejercicios Resueltos ............................................................................................ pág. 02
Ejercicios Propuestos .......................................................................................... pág. 06
Unidad II.
Sumatorias de sucesiones
Ejercicios Resueltos ............................................................................................ pág. 10
Ejercicios Propuestos .......................................................................................... pág. 13
Unidad III.
Progresiones aritméticas y geométricas
Ejercicios Resueltos ............................................................................................ pág. 14
Ejercicios Propuestos .......................................................................................... pág. 17
1
Unidad I.
Sucesiones
Ejercicios Resueltos
1. En la siguiente secuencia numérica 1 · 2, 2 + 3, 3 · 4, 4 + 5, . . . , el octavo término es
a) 15
b) 17
c) 56
d) 72
e) 90
Solución
1 · 2, 2 + 3, 3 · 4, 4 + 5, 5 · 6, 6 + 7, 7 · 8, 8 + 9
Luego el octavo término es 17.
2. En la siguiente secuencia numérica 3, 7, 15, 31, . . . , la suma del quinto con el sexto
término es
a) 63
b) 94
c) 127
d) 190
e) 318
Solución
20 + 21 = 3
20 + 21 + 22 = 7
20 + 21 + 22 + 23 = 15
20 + 21 + 22 + 23 + 24 = 31
20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 63
20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 = 127
La suma del quinto con el sexto término es 63+127=190.
2
3. Se tiene la sucesión 1, 8, 27, 64, . . . ; al conservarse esta ley de formación el término
enésimo es
a) n
b) 3n
c) 3(n − 1)
d) n3
e) otro término.
Solución
13 = 1, 23 = 8, 33 = 27, 43 = 64, . . .
, n3
4. Se tiene la sucesión 12 , 23 , 43 , 45 , . . .; si se conserva esta ley de formación el enésimo término
es
a) n(n + 1)
b) n(n − 1)
c) n : (n + 1)
d) (n + 1) : n
e) (2n − 1) : (2n + 1)
Solución
1
1
=
,
2
1+1
2
2
=
,
3
2+1
3
3
=
,
4
3+1
4
4
=
,
5
4+1
...
,
n
n+1
5. La ley de formación de una sucesión, siendo n perteneciente a los naturales, es (2n + 2)n.
Entonces, el quinto término es
a) 4
b) 12
c) 30
d) 72
e) 170
Solución
El quinto término es cuando n = 5, entonces
(25 + 2)5 = (32 + 2)5 = 34 · 5 = 170
3
6. Se tiene la sucesión 21 , 23 , 34 , 45 , . . .; al conservarse esta ley de formación la diferencia entre
el término enésimo y el primero es
a)
n−1
2(n+1)
b)
2n−1
2
c) n −
d)
1
2
1
n+1
e) n(n + 1)
Solución
El término enésimo de la sucesión es
el primero es
n
,
n+1
luego la diferencia entre el término enésimo y
1
2n − (n + 1)
n−1
n
− =
=
n+1 2
2(n + 1)
2(n + 1)
7. Una sucesión está expresada por la ley 12 (−1)n + 1, siendo n ∈ N . Entonces, el primero
y el quinto término son, respectivamente
a) 1; 0
b) 0; 1
c) 0; 0
d) 0; −1
e) 1; −1
Solución
El primer y quinto término son cuando n = 1 y n = 5, entonces
n=1:
1
(−1)1
2
+ 1 = − 21 + 1 =
1
2
n=5:
1
(−1)5
2
+ 1 = − 21 + 1 =
1
2
4
8. La ley de formación de una sucesión está dada por
n2 +1
;
n!
a) 2
b)
5
2
c)
5
3
d)
17
24
e)
13
60
Solución
El cuarto término es cuando n = 4, entonces
16 + 1
17
42 + 1
=
=
4!
1·2·3·4
24
5
entonces, el cuarto término es
Ejercicios Propuestos
1. La tabla siguiente muestra el número de baldosas negras n y blancas b. ¿Cuál es la forma
que relaciona n con b
n
b
1
5
2
6
3
7
4
8
...
...
a) b = 5n
b) b = 2n + 3
c) b = n + 4
d) b = n − 4
e) b = 2n + 1
2. En la secuencia 3, 5, 9, 17, . . . el número siguiente es
a) 25
b) 26
c) 29
d) 31
e) 33
3. Los cuadrados de la figura están formados por palos de fósforos tal como se indica en
los diagramas. ¿Cuántos palos de fósforos se necesitan para formar el diagrama número
100?
a) 296
b) 297
c) 299
d) 301
e) 304
6
4. Se tiene la sucesión 2, 4, 6, 8, . . . ; al conservarse esta ley de formación el término enésimo
es
a) n
b) 2n
c) n/2
d) 2(n − 1)
e) otra expresión.
5. Se tiene la sucesión 21 , 23 , 43 , 45 , . . .; al conservarse esta ley de formación el último término
de ella serı́a un valor que tiende a
a) 0
b) 1
c) infinito
d) 1 : (n + 1)
e) n(n + 1)
6. Se tiene la sucesión 2, 32 , 34 , 45 , 65 , . . . ; al conservarse esta ley de formación, el término de
rango n es
a) n
b) n + 1
c) n(n + 1)
d) (n + 1)n−1
e)
2n
2n+1
7
7. Se tienen las dos sucesiones siguientes
i) 12 , 31 , 41 , 15 , . . .
ii) 2, 23 , 34 , 54 , 65 , . . .
Si se conserva la ley de formación de cada una y se multiplican ordenadamente los pares
de términos entre sı́ (1o con 1o , 2o con 2o , . . . , último con último), entonces el producto
de los términos enésimos de las sucesiones es
a) n
b) n(n + 1)
c)
1
n+1
d) n + 1
e)
1
n
8. Se tiene la sucesión 1, 32 , 35 , 47 , 95 , . . . ; al conservarse esta ley de formación, el término de
rango n es
a) (2n + 1)2
b)
n2
n+1
c)
(2n−1)2
n
d)
(2n+1)2
n!
e)
2n−1
n!
8
9. Se tiene la sucesión 1, 94 , 25
, 49 ,
9 16
término queda expresado por
81
,
25
. . . ; al conservarse esta ley de formación, el enésimo
a) (2 − n−1 )2
b)
c)
2+n
n
2−n
n
2
2
d) (1 − n−1 )2
e)
2n+1
n!
2
10. Se tiene la sucesión 53 , 57 , 97 ,
término es
a)
2n−1
2n+1
b)
n−2
2n
c)
n−1
n+1
d)
2n
n+2
e)
n+1
n+3
9
,
11
. . . ; si se conserva esta ley de formación, el enésimo
9
Unidad II.
Sumatorias de sucesiones
Ejercicios Resueltos
1. Expresar como una sumatoria y luego calcular la siguiente suma
4| + 4 + 4 +{z4 + · · · + 4}
50veces
Solución
Como se puede ver se trata de sumar 50 veces 4, lo que es igual a
4| + 4 + 4 +{z4 + · · · + 4} =
50veces
50
X
4 = 50 · 4 = 200
k=1
2. Expresar como una sumatoria la siguiente suma
1 + 4 + 27 + 256 + . . . + 823543
Solución
Como se puede deducir, se trata de sumar números elevados a su misma potencia
1 + 4 + 27 + 256 + . . . + 823543 = 11 + 22 + 33 + 44 + . . . + 77 =
7
X
k=1
3. Calcular la siguiente sumatoria
5
X
3(k 2 + 1)
k=1
Solución
5
X
3(k 2 + 1) = 3
k=1
5
X
(k 2 + 1)
k=1
X
5
= 3
2
k +
k=1
2
5
X
1
k=1
2
2
2
2
= 3 1 +2 +3 +4 +5 +5·1
= 180
10
kk
4. Calcular la siguiente sumatoria
6
X
(k 2 − 3k + 2)
k=1
Solución
6
X
(k 2 − 3k + 2) =
k=1
6
X
k2 − 3
k=1
6
X
k+
k=1
6
X
2
k=1
= (12 + 22 + . . . + 62 ) − 3(1 + 2 + . . . + 6) + 6 · 2
= 91 − 3 · 21 + 12
= 40
5. Calcular la siguiente sumatoria
5
X
k(k + 1)
k=1
4
Solución
5
X
k(k + 1)
k=1
4
=
5
1X
k2 + k
4 k=1
5
5
X
1 X
k
=
k2 +
4 k=1
k=1
1
=
(1 + 4 + 9 + 16 + 25) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5)
4
35
1
= · 70 =
4
2
6. Escribir y luego calcular la sumatoria de los 50 primeros números naturales.
Solución
Utilizando la fórmula apropiada
50
X
k=1
50(50 + 1)
2
50 · 51
=
2
= 25 · 51
= 1275
k =
11
7. Calcular la sumatoria
112
X
(2k − 1)
k=1
Solución
Desarrollando y utilizando la fórmula apropiada
112
X
(2k − 1) = 2
k=1
112
X
k=1
k−
112
X
1
k=1
112 · 113
− 112 · 1
2
= 6328 − 112
= 6216
=
8. Escribir y luego calcular la sumatoria de los cuadrados de los primeros 25 números naturales.
Solución
Utilizando la fórmula conocida
25
X
k=1
25(25 + 1)(2 · 25 + 1)
6
25 · 26 · 51
=
6
= 25 · 13 · 17
= 5525
k2 =
12
Ejercicios Propuestos
1. Expresar como una sumatoria y luego calcular las siguientes sumas.
4+4+4+4+4+4+4+4=
2 + 5 + 8 + 11 + . . . + 44 =
1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 5 + . . . + 10 · 19 =
1 + 4 + 7 + . . . + 43 =
6 + 7 + 8 + 9 + . . . + 20 =
3 · 3 + 6 · 5 + 9 · 7 + . . . + 30 · 21 =
2. Calcular las siguientes sumatorias.
i)
8
X
(3k − 2)
10
X
k−1
ii)
k=1
k=1
10
X
iii)
k+1
(k + 1)2
k=1
3. Aplicar las propiedades de las sumatorias y calcular.
i)
25
X
4
k=1
22
ii)
10
X
7k + 3
5
k=1
iii)
20
X
(k + 1)2 + 7
k=1
4. Usar la fórmula correspondiente y calcular cada una de las siguientes sumatorias.
140
X
i)
(2k − 1)
ii)
k=1
63
X
2
(k + 10)
iii)
k=1
70
X
(5 − 2k)2
k=1
5. Usar las fórmulas conocidas y encontrar a su vez otra fórmula para cada una de las
siguientes sumatorias.
i)
n
X
k=1
2k
ii)
n
X
(k + 1)
k=1
2
iii)
n X
5
k=1
13
4
k −
3
9
2
Unidad III.
Progresiones aritméticas y geométricas
Ejercicios Resueltos
1. Los tres primeros términos de una progresión aritmética son 3; 9; 15. ¿Cuál es el vigésimo
término?
Solución
a=3
d = 9 − 3 = 15 − 9 = 6
n = 20
Luego,
an = a + (n − 1)d
an = 3 + 19 · 6
an = 117
2. Los dos primeros términos de una progresión aritmética son 5 y 2. ¿Cuál es el décimo
término?
Solución
a=5
d = 2 − 5 = −3
n = 10
Luego,
an = 5 + 9 · (−3)
an = −22
3. Los tres primeros términos de una progresión aritmética son −5; −2; 1 y el último es
43. ¿Cuántos términos tiene la progresión?
Solución
a = −5
d = −2 − (−5) = 1 − (−2) = 3
an = 43
Luego,
an = a + (n − 1)d
43 = −5 + (n − 1) · 3
51 = 3n
n = 17
14
4. En una progresión aritmética de nueve términos el primero es −8 y el último 16. ¿Cuál
es la razón o diferencia?
Solución
a = −8
an = 16
n=9
Luego,
an = a + (n − 1)d
16 = −8 + (9 − 1)d
24 = 8d
d=3
5. Calcular el décimo término de la progresión geométrica de términos 1200, 600, 300, . . .
Solución
a = 1200
600
r = 1200
=
n = 10
1
2
Luego,
an = arn−1 9
an = 1200 12 =
75
32
6. ¿Cuántos términos tiene la progresión geométrica 1, 2, . . . , 256?
Solución
a=1
r=2
an = 256
Luego,
n=
log2 an − log2 a
+1
log2 r
Sustituyendo los datos se obtiene
n=
log2 256 − log2 1
8−0
+1=
+1=8+1=9
log2 2
1
15
7. Una progresión geométrica de siete términos comienza con 15.000 y termina con 0,96.
¿Cuál es la razón?
Solución
n=7
a = 15000
an = 0, 96
Luego,
r=
√
n−1
an
a
Al sustituir los datos se obtiene
r=
√ 0, 96
6
= 0, 2
15000
8. El último término de una progresión geométrica de cinco términos y de razón 0,2 es 4,8.
¿Cuál es el primer término?
Solución
an = 4, 8
r = 0, 2
n=5
Luego,
a=
an
rn−1
Al sustituir los datos en la fórmula se obtiene
a=
4, 8
= 3000
(0, 2)4
16
Ejercicios Propuestos
1. En una progresión aritmética el noveno término es 7 y el undécimo es 8,5. ¿Cuál es el
primer término?
2. En una progresión aritmética de diez términos el primero es 17,5 y el último es −5.
¿Cuál es la razón o diferencia?
3. El primer término de una progresión aritmética es −8 y el último es 16. Si la progresión
tiene nueve términos, ¿cuál es el término medio? ¿cuánto vale la razón?
4. En una progresión aritmética la diferencia de los términos extremos es 15 y el término
medio es 5. ¿Cuál es el primer y el último término?
5. Si al término equidistante de los extremos de una progresión aritmética es 22 y la diferencia entre el primero y el último término es −24. ¿Cuántos términos tiene la progresión?
¿Cuáles son los términos extremos si la razón es 3?
6. Calcular los ángulos interiores de un triángulo si están en progresión geométrica de razón
2.
7. Tres números forman una progresión geométrica de razón 2. ¿Cuáles son los números si
suman 280?
8. Interpolar cuatro medios geométricos entre 15.000 y 4,8. Escribir la progresión que se
obtiene.
9. ¿Cuánto vale el producto de los cuatro términos de una progresión geométrica que
comienza con 3.000 y termina con 24?
10. Entre 2 y 128 intercalar cinco medios geométricos.
17