Fısica Atómica y Materia Condensada. Ejemplo en el que

Fı́sica Atómica y Materia Condensada.
Ejemplo en el que se utiliza (casi) todo lo aprendido sobre átomos.
1. La tabla que se muestra a continuación tiene los primeros diez niveles
de energı́a de germanio (Ge, Z = 32) y fue tomada de NIST, pero le falta
alguna información. Llenar los datos que faltan, indicando en cada caso el
razonamiento que se siguió para obtener el valor propuesto.
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Configuración
4s2 4p2
4s2 4p2
4s2 4p2
4s2 4p2
4s2 4p2
4s2 4p5s
4s2 4p5s
4s2 4p5s
4s2 4p5s
4s4p3
Término
3
P
3
P
3
P
e
g
i
j
l
1 o
P
o
J Nivel (cm−1 )
a
0.0000
b
557.1341
c
1409.9609
2
7125.2989
h
16367.3332
0
37451.6893
1
37702.3054
m 39117.9021
n
40020.5604
p
41926.726
gJ
0
1.50111
d
f
0
0
k
1.500
1.068
2.011
2. Suponiendo que el acoplamiento LS es válido para germanio, ¿entre qué
niveles de la tabla hay transiciones dipolares eléctricas? ¿A qué longitudes de
onda ocurren estas transiciones permitidas?
Respuestas:
1. Como son los diez primeros niveles primero necesitamos considerar la configuración base. Con 32 electrones se obtiene 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p2 . Entonces de la tabla vemos que los niveles del 1 al 5 corresponden a la configuración base. Del 6 al 9 son de la primera configuración excitada, y el 10 es
de la siguiente configuración excitada. Para obtener el término base tomamos
los dos electrones 4p en capa abierta. El microestado con máxima proyección
de espı́n y al mismo tiempo máxima proyección de momento angular orbital
es (1+ , 0+ ) (igual que en carbón), lo que da lugar, usando la primera regla de
Hund, al término base 3 P (S = 1 y L = 1), tal y como aparece en la tabla.
Con S = 1 y L = 1 se pueden obtener J = 0, 1 y 2.
a) Como la capa 4p está menos de medio llena la tercera regla de Hund
señala que el nivel más bajo es el de menor momento angular electrónico
total. Por tanto a = 0.
1
b) Para el siguiente nivel b = 1.
c) Para el nivel más alto de este término 3 P se debe tener c = 2.
d) Empleamos la fórmula de Landé para obtener el factor gJ de este nivel,
con S = 1, L = 1 y J = 2. Tomaremos gs = 2.
gJ =
J(J + 1) + L(L + 1) − S(S + 1) + gs [J(J + 1) − L(L + 1) + S(S + 1)]
2J(J + 1)
Se obtiene d = 3/2 = 1.5. El valor en la tabla de NIST es 1.49458.
e) El siguiente término de esta configuración se obtiene considerando el
microestado con el mayor valor de la proyección de momento angular
orbital ML sin importar el valor de MS . En nuestro caso se trata de
(1+ , 1− ), que corresponde a L = 2 y S = 0, lo que da lugar a e = 1 D.
Este término tiene un solo valor de momento angular total J = 2, tal y
como aparece en la tabla.
f) Usando nuevamente la fórmula de Landé, con L = 2, S = 0 y J = 2 se
obtiene f = 1. La tabla de NIST da gJ = 1.00639.
g) Empezamos con 2 electrones en la capa 4p, con 15 microestados diferentes. Para la base acoplada del término 3 P usamos 9 combinaciones
lineales y para la base del término 1 D usamos 5 combinaciones lineales.
Queda una sola combinación lineal que debe corresponder al término con
L = 0 y S = 0. Por tanto g = 1 S.
h) El único valor posible de J es h = 2.
Ahora estudiaremos la primera configuración excitada 4s2 4p5s. Tenemos
un electrón 4p (`1 = 1)y un electrón 5s (`2 = 0). El valor de las sumas
de los momentos angulares orbital y de espı́n que se pueden obtener son
L = 1 y S = 0, 1. El término de menor energı́a corresponde al de mayor
valor de espı́n S = 1. Con L = 1 y S = 1 se obtienen J = 0, 1 y 2, en
orden creciente de energı́a (si le hacemos caso a Hund-3).
i) Por tanto i = 3 P o (empleamos el superı́ndice o porque se trata de un
estado impar (un electrón 4p en orbital impar y un electrón 5s en orbital
par).
j) Se trata del siguiente nivel del mismo término. Por consiguiente j =
3 o
P .
k) Nuevamente empleamos la fórmula de Landé, con L = 1, S = 1 y
J = 1, resultando k = 3/2. En la tabla de NIST se tiene gJ = 1.435.
l) Es el último nivel del término. Por tanto l =
m = J = 2.
3
P o , y necesariamente
n) Ahora tenemos el siguiente término de la configuración, con L = 1 y
S = 0. El único valor posible de J es por tanto n = 1.
2
o) Por último necesitamos el nivel más bajo de la configuración 4s4p3 .
Notar que se trata de una configuración con dos capas abiertas, pero
que no es difı́cil de analizar. Tenemos un electrón en la capa 4s y tres
electrones en la capa 4p. El microestado con máximo valor de MS (Hund1) es (4s+ , 1+ , 0+ , −1+ ) con ML = 0 y MS = 2. Por lo tanto se trata del
término o = 5 S o . Nuevamente empleamos el superı́ndice o porque se
trata de un estado impar (un electrón 4s en orbital par y tres electrones
4p en orbitales impares).
p) Para este término (L = 0 y S = 2) el único valor de J = p = 2.
2. Para obtener las transiciones dipolares eléctricas en acoplamiento LS consideramos las reglas de selección. En primer lugar utilizamos la regla que
dice que debe haber un cambio en la paridad del estado. Por tanto NO hay
transiciones dipolares entre niveles de la misma configuración {1, 2, 3, 4, 5}
(par) o {6, 7, 8, 9} (impar). Puede haber transiciones entre cada nivel del
primer conjunto {1, 2, 3, 4, 5} y cada nivel del segundo conjunto {6, 7, 8, 9}, o
también el último nivel 10. Para eliminar las transiciones que no son posibles
en acoplamiento LS consideramos las reglas aproximadas ∆S = 0, ∆L = 0,
±1 y además J = 0 → J = 0 no está permitida. Por tanto:
a) La transición 1 a 6 NO está permitida (es J = 0 → J = 0).
b) Las transiciones 1 a 7 y 1 a 8 SI son permitidas. Para obtener las longitudes
de onda a las que ocurren tomamos los recı́procos de las diferencias de niveles
de energı́a. La transición 1 a 7 ocurre a
λ=
1
= 265.236 nm
37702.3054 − 0.
y la transición 1 a 8 ocurre a
λ=
1
= 255.637 nm
39117.9021 − 0.
La transición 1 a 9 NO está permitida ya que pasa de S = 1 a S = 0. La
transición 1 a 10 tampoco es permitida (va de S = 1 a S = 2).
Siguiendo con el análisis, se obtienen los datos para las transiciones permitidas
que se muestran en la tabla a continuación. Los niveles pares (1 al 5) se
encuentran en los renglones y los niveles impares (6 a 9) en las columnas. Como
no hay transiciones dipolares eléctricas entre los niveles pares (1 al 5) y el nivel
10, se ha suprimido este último de la tabla. En donde no aparece una longitud
de onda se indica la regla de selección que no se satisface. Con ∆J0 la transición
viola la regla de selección estricta que prohibe J = 0 → J = 0. Las transiciones
con ∆J = 2 son estrictamente prohibidas, mientras que las transiciones con
∆S = 1 son prohibidas en acoplamiento LS. Todas las longitudes de onda
están dadas en nm.
3
6
4s 4p5s 3 P0
∆J0
271.043
|∆J| = 2
|∆S| = 1
|∆S| = 1
2
1 4s2 4p2 3 P0
2 4s2 4p2 3 P1
3 4s2 4p2 3 P2
4 4s2 4p2 1 D2
5 4s2 4p2 1 S0
7
4s 4p5s 3 P1
265.236
269.214
275.540
|∆S| = 1
|∆S| = 1
2
4
8
4s 4p5s 3 P2
|∆J| = 2
259.331
265.196
|∆S| = 1
|∆S| = 1
2
9
4s 4p5s 1 P1
|∆S| = 1
|∆S| = 1
|∆S| = 1
303.995
422.775
2