Soluciones

Tarea 4
Soluciones
Extracto del libro Baldor.
Definición. Término.-es una expresión algebraica que consta de un solo
sı́mbolo o de varios sı́mbolos no separados entre sı́ por el signo + o -. Ası́, a,
4a
son términos.
3b, 2xy, 3x
Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
Por el signo, son términos positivos los que van precedidos del signo + y
negativos los que van precedidos del signo -. Ası́, +a, +8x, +9ab son términos
son términos negativos.
positivos y −x, −5bc y − 3a
2b
El signo + suele omitirse delante de los términos positivos. Ası́, a equivale a
+a; 3ab equivale a +3ab.
Por tanto, cuando un término no va precedido de ningún signo es
positivo.
El coeficiente es uno cualquiera, generalmente el primero, de los factores
del término. Ası́, en el término 5a el coeficiente es 5; en −3a2 x3 el coeficiente
es −3.
La parte literal la constituyen las letras que haya en el término. Ası́, en 5xy
3 4
3 y4
la parte literal es xaby .
la parte literal es xy; en 32ab
El grado de un término puede ser de dos clases: absoluto y con relación
a una letra (relativo a una variable).
Grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sis factores
literales. Ası́, el término 4a es de primer grado porque el exponente del factor literal a es 1;el término ab es de segundo grado porque la suma de los
exponentes de sus factores literales es 1 + 1 = 2; el término a2 b es de tercer
grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 2 + 1 = 3;
5a4 b3 c2 es de noveno grado porque la suma de los exponentes de sus factores
literales es 4 + 3 + 2 = 9.
El grado de un término con relación a una letra (relativo a una variable) es el exponente de dicha letra. Ası́ el termino bx3 es de primer grado
con relación a b y de tercer grado con relación a x; 4x2 y 4 es de segundo grado
con relación a x y de cuarto grado con relación a y.
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1. En las siguientes expresiones algebraicas indica cuántos términos hay en
cada una y cuáles son:
1. x3 (xy + 5x) Sol. Tiene 1 término con 2 factores. El segundo factor
(xy + 5x) tiene dos términos.
2. x2 + 17x + 16 − 5x2 −
√
17
π
Sol. Tiene 5 términos.
3. Ahora agrupando términos semejantes de las expresiones en 1) y 2)
responde nuevamente la pregunta.
x4 y + 5x4 Sol. Tiene 2 términos.
−4x2 + 17x + 16 −
√
17
π
Sol. Tiene 4 términos.
2. En las siguientes expresiones algebraicas indica cuáles son los grados de
cada término:
a0 + a1 x + a2 x5 con a0 , a1 y a2 constantes reales.
Sol. El primer término a0 tiene grado cero. El segundo término +a1 x,
tiene grado 1, pues es el exponente de su factor literal x es uno. El
tercer término a2 x5 es de grado quinto, pues el exponente de factor
literal x es 5.
xy 2 + 5x − x6 y 3
Sol. El primer término xy 2 es de tercer grado, pues la suma de los
exponentes de su factor literal es 1 + 2 = 3. El segundo término 5x es
de primer grado, pues el exponente de su factor literal es uno. El tercer
término −x6 y 3 es de noveno grado, pues la suma de los exponentes de
su factor literal es 6 + 3 = 9.
3. De las expresiones del problema 1, dı́ cuales son los grados relativos a la
variable x en cada término y cuáles son los relativos a la variable y.
x4 y + 5x4
Sol. El primer término x4 y es de cuarto grado con respecto a x y es de
primer grado con respecto a y. El segundo término 5x4 es de primer
grado con respecto a x y de grado creo con respecto a y.
2
√
x2 + 17x + 16 − 5x2 − π17
Sol. El primer término x2 es de segundo grado con respecto a x y de
grado cero con respecto a y. El segundo término 17x es de primer grado
con respecto a x y de grado cero con respecto a y. El tercer término 16
es de grado cero con respecto a x y a y. El cuarto término −5x2 es de
segundo grado con√ respecto a x y de grado cero con respecto a y. El
quinto término − π17 es de grado cero con respecto a x y a y.
4. Cómo se definene las siguientes expresiones (en términos de sumas y multiplicaciones):
a6 . Es multiplicar 6 veces a, es decir, a6 = a · a · a · a · a · a.
6a. Es sumas 6 veces a, es decir, 6a = a + a + a + a + a + a.
nx. Es sumar n veces x, es decir, nx = x
x + ... + x}.
| + x + {z
n veces
xn ·xm . Tenemos, xn es multiplicar n veces x, es decir, xn = x
x · ... · x}.
| · x · {z
n veces
Y, xm es multiplicar m veces x, es decir, xm = x
x · ... · x}. Entonces,
| · x · {z
m veces
xn · xm , es multiplicar n veces x multiplicado por multiplicar m veces
x, es decir, xn · xm = |x · {z
... · x} x
... · x} = |x · {z
... · x} = xn+m .
| · {z
n veces
m veces
n+m veces
Propiedades de los números reales
Sean a, b, c ∈ R,
1. (Ley asociativa para la suma)
a + (b + c) = (a + b) + c.
2. (Existencia de una identidad para la suma)
a + 0 = 0 + a = a.
3. (Existencia de inversos para la suma)
a + (−a) = (−a) + a = 0.
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4. (Ley conmutativa para la suma)
a+b=b+a
5. (Ley asociativa para la multiplicación)
a · (b · c) = (a · b) · c.
6. (Existencia de una identidad para la multiplicación)
a · 1 = 1 · a = a; 0 6= 1
7. (Existencia de inversos para la multiplicación)
a · a−1 = a−1 · a = 1, para a 6= 0.
8. (Ley conmutativa para la multiplicación)
a · b = b · a.
9. (Ley distributiva)
a · (b + c) = a · b + a · c.
5. Usándo las propiedades de los números reales demuestra las leyes de los
signos:
(−)(+) = (−).
Aquı́ lo que en realidad se quiere probar es que ∀a, b ∈ R tal que
a, b > 0, entonces (−a) · b = −(a · b).
Demostración.
Tenemos la expresión (−a) · b + a · b. Usamos la ley distributiva:
(−a) · b + a · b = (−a + a) · b
Usamos la propiedad de existencia de inversos para la suma.
(−a) · b + a · b = (0) · b
Usamos el resultado: ∀a ∈ R, a · 0 = 0
(−a) · b + a · b = 0
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Sumamos el inverso aditivo de a · b, es decir, −(a · b) en ambos lados,
((−a) · b + a · b) − (a · b) = −(a · b)
Ley asociativa,
(−a) · b + (a · b − (a · b)) = −(a · b)
(−a) · b + (0) = −(a · b)
(−a) · b = −(a · b)
Que es lo que queriamos.
(−)(−) = (+).
Lo que en realidad queremos probar es que ∀a, b ∈ R tal que a, b > 0,
entonces (−a) · (−b) = a · b.
Demostración.
Tenemos la expresión (−a) · (−b) + [−(a·)b], usamos la ley asociativa
de la multiplicación
(−a) · (−b) + [−(a · b)] = (−a) · (−b) + (−a) · b
Ley distributiva,
(−a) · (−b) + [−(a · b)] = (−a) · [(−b) + b]
Usamos la propiedad de existencia de inversos para la suma,
(−a) · (−b) + [−(a · b)] = (−a) · (0)
Usamos el resultado: ∀a ∈ R, a · 0 = 0
(−a) · (−b) + [−(a · b)] = 0
Sumamos (a · b) a ambos lados,
(−a) · (−b) + [−(a · b)] + (a · b) = (a · b)
Usamos la ley asociativa de la suma
(−a) · (−b) + (−(a · b) + (a · b)) = (a · b)
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Usamos la propiedad de existencia de inversos para la suma,
(−a) · (−b) + (0) = (a · b)
Usamos la existencia de una identidad para la suma,
(−a) · (−b) = (a · b)
Y llegamos a lo que queriamos.
6. Explica muy brevemente (en uno o dos párrafos cortos) por qué se puede
decir que los axiomas de una teorı́a son como los artı́culos de la constitución
mexicana para un juicio legal.
Axioma.
proposición clara y evidente que no necesita demostración.
proposición o declaración inicial que es generalmente aceptada como
verdadera sin demostración (verdad evidente por sı́ misma) y de la
cual se pueden derivar declaraciones o teoremas posteriores utilizando
la deducción lógica.
Teorema.
es una proposición que puede demostrarse de forma lógica a partir de un
axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con anterioridad.
proposición por medio de la cual, partiendo de un supuesto, se afirma
una verdad que no es evidente por sı́ misma.
Los artı́culos son como axiomas, pues son tus hipótesis y sobre ellos demuestras si el acusado es culpable o no.
7. Dı́ cuál es la noción, según la geometrı́a euclidiana, de distancia entre dos
punto A y B.
Sol. A cada dos punto A y B se les asocia su distancia que es un real positivo
que se denota por |AB|. Euclides pensó en distancia como el radio de un
cı́rculo.
Alternativa.Definimos la distancia entre dos punto A y B como la longitud
del segmento de la recta que los une.
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8. Considera los punto A y B. Define lo que es la mediatriz de estos puntos.
La mediatrizde un segmento AB es la recta perpendicular al segmento que
pasa por su punto medio. Una manera de caracterizarla es como el conjunto
de puntos P que cumplen que la distancia a cada extremo A, B es la misma,
esto es, P A = P B.
9. Enuncia los criterios de congruencias de triángulos.
Dos triángulos son congruentes cuando sus tres ángulos y lados también lo
son.
LLL.Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente
congruentes con los del otro, entonces los triángulos son congruentes.
LAL.Si los lados que forman un ángulo, y éste, son congruentes con
dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces
los triángulos son congruentes.
ALA. Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos son
congruentes.
LLA.Si dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor
de ellos es respectivamente congruente, entonces son congruentes.
10. Da la construcción de la bisectriz de un ángulo (utiliza solamente técnicas de regla y compás). Demuestra que efectivamente esta es la bisectriz del
ángulo (usa sólo los axiomas de Euclides y los criterios de congruencia de
triángulos).
Sol. Sea B el vértice del ángulo dado. Con centro en B trazamos un arco que
corte a los lados del ángulo en A y C. Después, con centros en A y en B, cuyo
radio r > 12 AC trazamos arcos que se intersectan en un punto D. El punto
D se encuentra sobre la bisectriz por lo que la recta por B y D es la bisectriz.
En efecto los triángulos BAD y BCD son congruentes por el criterio LLL,
luego sus ángulos correspondientes son iguales; en particular: ∠CBD =
∠ABD, por lo que la recta por B y D es la bisectriz.
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