1 Ley de Newton de cambio de temperaturas. E: Un termómetro en

1
Ley de Newton de cambio de temperaturas.
E: Un termómetro en el que se lee 80 ı F se lleva al exterior. Cinco minutos más tarde el termómetro
indica 60 ı F. Después de otros 5 min el termómetro señala 50 ı F. ¿Cuál es la temperatura del
exterior?
D: H La temperatura T .t/, en ı F, que se lee en el termómetro después de t minutos, está dada
por la solución del PVI:
T 0 .t/ D kŒT .t/
Resolvemos la ED:
dT
D k.T
dt
Ta ; con T .0/ D 80 y además T .5/ D 60 & T .10/ D 50:
Z
Z
dT
dT
Ta / )
D k dt )
Dk
dt )
T Ta
T Ta
) ln.T Ta / D k t C C ) T Ta D e ktCC D e kt e C D e kt C )
) T
Ta D C e kt ) T .t/ D Ta C C e kt :
La expresión anterior es la solución general de la ED. Mediante las condiciones, encontraremos
la solución particular.
T .0/ D 80 ) Ta C C e 0 D 80 ) C D 80
T .5/ D 60 ) Ta C .80
Ta /e 5k D 60I
T .10/ D 50 ) Ta C .80
Ta /e 10k D 50:
Ta ) T .t/ D Ta C .80
Ta /e kt I
Este sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas .Ta & k/ se resuelve de la siguiente manera :
Ta C .80
Ta C .80
Ta /e
5k
Ta /e 10k
60 Ta
D 60 ) e D
) e 10k D
80 Ta
50 Ta
D 50 ) e 10k D
:
80 Ta
5k
60
80
Ta
Ta
2
I
Igualando las expresiones para e 10k se tiene que
60
80
Ta
Ta
2
D
50
80
Ta
) .60 Ta /2 D .50 Ta /.80 Ta / )
Ta
) 3600 120Ta C Ta2 D 4000 130Ta C Ta2 ) 10Ta D 400 ) Ta D 40:
La temperatura en el exterior es Ta D 40 ı F.
2. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010