1 Ley de Newton de cambio de temperaturas. E: Un termómetro que indica 70 ı F se coloca en un horno precalentado y mantenido a temperatura constante. A través de una ventana de vidrio del horno, un observador registra que la temperatura marcada por el termómetro es de 110 ı F después de medio minuto y de 145 ı F después de 1 min. ¿A qué temperatura está el horno? D: H La temperatura T .t/, en ı F, que marca el termómetro al cabo de t minutos está dada por la solución del PVI: 1 0 D 110 & T .1/ D 145: T .t/ D kŒT .t/ Ta ; con T .0/ D 70 y además T 2 Donde Ta es la temperatura del horno. Resolvamos primero la ED. Z Z dT dT dT D k.T Ta / ) D k dt ) Dk dt ) dt T Ta T Ta ) ln j T Ta j ) k t C C1 ) j T Ta j D e ktCC1 D e kt e C1 D e kt C ) [Observe que T < Ta , entonces j T ) .T Ta j D .T Ta / D C e kt ) Ta /]. T C Ta D C e kt ) T .t/ D Ta C e kt : La expresión anterior es la solución general de la ED. Mediante las condiciones, encontraremos la solución particular. T .0/ D 70 ) Ta C e 0 D 70 ) C D Ta 70 ) T .t/ D Ta .Ta 70/e kt I 1 k 1 D 110 ) Ta .Ta 70/e 2 k D 110 ) Ta C .70 Ta /e 2 D 110I T 2 T .1/ D 145 ) Ta .Ta 70/e k D 145 ) Ta C .70 Ta /e k D 145: Se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas .Ta & k/ que resolvemos así: k k 110 Ta 2 110 Ta k Ta C .70 Ta /e 2 D 110 ) e 2 D ) e D I 70 Ta 70 Ta 145 Ta Ta C .70 Ta /e k D 145 ) e k D : 70 Ta Igualando las expresiones para e k se tiene que: 2 110 Ta 145 Ta D ) .110 Ta /2 D .145 Ta /.70 Ta / ) 70 Ta 70 Ta ) 12 100 220Ta C Ta2 D 10 150 215Ta C Ta2 ) ) 5Ta D 1 950 ) Ta D 390: La temperatura a la que está el horno es: Ta D 390 ı F. 14. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010