1 Ley de Newton de cambio de temperaturas. E: La temperatura de
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1 Ley de Newton de cambio de temperaturas. E: La temperatura de un motor en el momento en que se apaga es de 200 ı C y la temperatura del aire que lo rodea es de 30 ı C. Después de 10 min la temperatura del motor ha bajado a 180 ı C. ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que la temperatura del motor disminuya hasta 40 ı C? D: H La temperatura T .t/, en ı C, del motor al cabo de t minutos está dada por la solución del PVI: T 0 .t/ D kŒT .t/ 30; con T .0/ D 200 y además T .10/ D 180: Resolvemos el problema. ) ln.T Z Z dT dT dT D k.T 30/ ) D k dt ) Dk dt ) dt T 30 T 30 30/ D k t C C ) T 30 D e ktCC D C e kt ) T 30 D C e kt ) T .t/ D 30 C C e kt : Aplicamos la condición inicial: T .0/ D 200 ) 30 C C e k0 D 200 ) 30 C C D 200 ) C D 170: Por lo tanto: T .t/ D 30 C 170e kt : Aplicamos ahora la otra condición: 180 30 150 15 T .10/ D 180 ) 30 C 170e 10k D 180 ) e 10k D D D ) 170 17 170 1 15 15 ) 10k D ln ) kD D 0:01252 : ln 10 17 17 Entonces, tenemos la solución del PVI: T .t/ D 30 C 170e .0:01252/t : Determinamos el tiempo para que la temperatura del motor baje a 40 ı C, como sigue: 10 1 40 30 D 40 ) e .0:01252/t D D D ) 170 170 17 ln.17/ 1 ) .0:01252/t D ln D 226:295 ) ) tD 0:01252 17 ) t D 226:295 min 3 h, 46 min, 18 s. T .t/ D 40 ) 30 C 170e .0:01252/t 6. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010
