1 Ley de Newton de cambio de temperaturas. E: La temperatura de

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Ley de Newton de cambio de temperaturas.
E: La temperatura de un motor en el momento en que se apaga es de 200 ı C y la temperatura del
aire que lo rodea es de 30 ı C. Después de 10 min la temperatura del motor ha bajado a 180 ı C.
¿Cuánto tiempo transcurrirá para que la temperatura del motor disminuya hasta 40 ı C?
D: H La temperatura T .t/, en ı C, del motor al cabo de t minutos está dada por la solución del
PVI:
T 0 .t/ D kŒT .t/ 30; con T .0/ D 200 y además T .10/ D 180:
Resolvemos el problema.
) ln.T
Z
Z
dT
dT
dT
D k.T 30/ )
D k dt )
Dk
dt )
dt
T 30
T 30
30/ D k t C C ) T 30 D e ktCC D C e kt ) T 30 D C e kt ) T .t/ D 30 C C e kt :
Aplicamos la condición inicial:
T .0/ D 200 ) 30 C C e k0 D 200 ) 30 C C D 200 ) C D 170:
Por lo tanto:
T .t/ D 30 C 170e kt :
Aplicamos ahora la otra condición:
180 30
150
15
T .10/ D 180 ) 30 C 170e 10k D 180 ) e 10k D
D
D
)
170
17
170
1
15
15
) 10k D ln
) kD
D 0:01252 :
ln
10
17
17
Entonces, tenemos la solución del PVI:
T .t/ D 30 C 170e
.0:01252/t
:
Determinamos el tiempo para que la temperatura del motor baje a 40 ı C, como sigue:
10
1
40 30
D 40 ) e .0:01252/t D
D
D
)
170
170
17
ln.17/
1
) .0:01252/t D ln
D 226:295 )
) tD
0:01252
17
) t D 226:295 min 3 h, 46 min, 18 s.
T .t/ D 40 ) 30 C 170e
.0:01252/t
6. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010