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NOTAS SOBRE LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD TEORÍA DE LA RELATIVIDAD GENERAL Página 35 Teoría de la Relatividad General: sus características esenciales pueden sintetizarse como sigue: Principio general de covariancia: las leyes de la Física deben tomar la misma forma matemática en todos los sistemas de coordenadas, para ello, las leyes deben escribirse en términos de tensores, cuyas leyes de transformación covariantes y contravariantes pueden proporcionar la “invariancia”. Principio de equivalencia o de invariancia local de Lorentz: las leyes de la relatividad especial (espacio plano de Minkowski) se aplican localmente para todos los observadores inerciales. Einstein lo calificó “la idea más feliz de su vida”; supone que un sistema en caída libre y otro que se mueve en una región del espacio-tiempo sin gravedad se encuentran en un estado físico similar; en ambos casos se trata de sistemas inerciales. La gravedad se convierte, en virtud del principio de equivalencia, en una fuerza aparente, como la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis. SISTEMAS INERCIALES SEGÚN LA MECÁNICA NEWTONIANA Y SEGÚN EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA Sistema: ¿Es inercial? Mecánica Newtoniana: Principio de Equivalencia: Cuerpo en caída libre: No Si Cuerpo en reposo sobre la superficie terrestre: Si No Planeta orbitando alrededor del sol: No Si Nave precipitándose hacia la tierra: No Si Cohete despegando desde una base de lanzamiento: No No Curvatura del espacio-tiempo: es lo que se observa como un campo gravitatorio. En presencia de materia, la geometría del espacio-tiempo no es plana sino curva, una partícula en movimiento libre inercial en el seno de un campo gravitatorio sigue una trayectoria geodésica. La contracción o curvatura del tiempo como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio, se manifiesta por ejemplo, en un fotón emitido por una estrella cercana, que se aproxima a la Tierra y conserva su energía (E = h ν); sin embargo, un observador situado en la superficie de la Tierra, en reposo respecto a su campo gravitatorio, advertiría que el fotón va absorbiendo progresivamente energía potencial gravitatoria y consiguientemente, su frecuencia se corre hacia el azul. Los fenómenos de absorción de energía por los fotones en caída libre y corrimiento hacia el azul se expresan matemáticamente mediante las siguientes ecuaciones: Emedida por el observador = Econservada del fotón e-Φ , h νpercibida por el observador = h νemisión e-Φ ⇒ νpercibida por el observador = νemisión e-Φ , donde: h es la constante de Max Planck, Φ es el potencial gravitatorio de la región donde se encuentra el observador en reposo. La aparente contradicción entre conservación de la energía del fotón y disminución de esta durante su aproximación a la Tierra, se explica por una ralentización del tiempo debido al campo ciclos ciclos gravitatorio; la última ecuación puede escribirse como sigue: = , siendo, ∆ t medido por el observador ∆ t emisión ∆ temisión , el tiempo medido por un observador situado a una distancia infinita del cuerpo masivo y que por lo tanto no experimenta la atracción gravitatoria de éste. Próximo a un cuerpo masivo, el tiempo se ralentiza y: ∆ temisión = ∆ tmedido por el observador e-Φ , ∆ tmedido por el observador = ∆ temisión eΦ . La aceleración es la derivada ordinaria de la velocidad con respecto al tiempo, medida por un observador externo en reposo respecto a un campo gravitatorio. El observador se mantiene a una distancia r constante del centro de masas, pero no así el objeto observado, que en caída libre, por ejemplo, se va aproximando progresivamente al origen del campo gravitatorio. NOTAS SOBRE LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD TEORÍA DE LA RELATIVIDAD GENERAL Página 36 La derivada covariante de la velocidad definida por el matemático italiano Tullio LeviCivita es la aceleración medida por un observador comóvil, es decir, que está en reposo respecto Du o ∇ u o ∇ ur . al cuerpo en caída libre: u u dτ Los cuerpos en caída libre; también las naves en órbita, son sistemas relativísticos inerciales en los que la derivada covariante de su velocidad es nula, ∇ u u r = 0 ; por ello no experimentan aceleración inercial provocada por la “fuerza gravitatoria”. Sin embargo, un observador externo situado en la Tierra, advierte cómo dicho cuerpo en caída libre se aproxima a la Tierra con una d vr aceleración creciente, ≠ 0 . Los objetos en reposo sobre la superficie terrestre experimentan dt como consecuencia de la fuerza aparente gravitatoria, una aceleración inercial de 9,8 m s-2 y la derivada covariante de su velocidad también tiene ese valor ∇ u u r = 9,8 m s-2. Sin embargo, dichos objetos, que están en reposo, tienen una aceleración relativa nula respecto a un observador terrestre; d vr = 0 . La derivada covariante se emplea entonces, para calcular la aceleración inercial. es decir, dt Para calcular la derivada covariante se determina primero la derivada parcial covariante y luego se la generaliza. La derivada ordinaria se aplica exclusivamente sobre los componentes de un vector, mientras que la derivada covariante se aplica también sobre las bases del espacio vectorial: ∇ β u = ∂ β u α eα = ∂ β u α eα + u α ∂ β eα ; introduciendo la notación de Christoffel, definible ( ) ( ) ( ) como el componente µ de la derivada parcial de eα respecto a β : ∂ β eα = Γαµβ eµ , se tiene: ( ) ∇ β u = ∂ β u α eα + u α Γαµβ eµ . Intercambiando índices µ por α en el segundo sumando del segundo miembro, resulta: ∇ β u = (∂ β u α ) eα + Γµαβ u µ eα . Se obtienen así, los componentes de la derivada parcial covariante de la velocidad, dados en la igualdad siguiente por la expresión entre paréntesis: ∇ β u = (∂ β u α + Γµαβ u µ ) eα ⇒ ∇ β u α = ∂ β u α + Γµαβ u µ . Los componentes se generalizan al multiplicarlos por el componente β de la tetravelocidad, u β = de la velocidad: d xβ ; se tiene la derivada covariante dτ d xβ d xβ d xβ d uα ∇ β uα = ∂ β uα + Γµαβ u µ , ∇u uα = + Γµαβ u µ u β . dτ dτ dτ dτ Como para un observador inercial (por ej. en un cuerpo en caída libre), ∇ u u α = 0 , la d uα d uα + Γµαβ u µ u β ⇒ = − Γµαβ u µ u β , o ecuación de las dτ dτ líneas geodésicas, y se utiliza para calcular la aceleración gravitatoria de cualquier cuerpo. última ecuación resulta: 0 = En las variedades curvas, como las superficies cilíndricas o esféricas, los símbolos de Christoffel no son iguales a cero (como sucede en el espacio euclídeo cuando se deriva una base por ej. ex con respecto a un eje ortogonal como y), sino que son funciones de las derivadas del tensor métrico. La relación entre estas dos magnitudes se expresa mediante la siguiente ecuación: 1 α Γµβ = g α σ (∂ µ g σ β + ∂ β gσ µ − ∂ σ g β µ ) . 2 NOTAS SOBRE LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD TEORÍA DE LA RELATIVIDAD GENERAL Página 37 Los símbolos de Christoffel expresan el grado de curvatura de una región determinada y permiten conocer la trayectoria de una geodésica en un espacio curvo. En la variedad espaciotemporal, la curvatura está dada por el tetramomentum; cuanto mayor sea la densidad de materia existente en una determinada región, mayores serán los valores de los símbolos de Christoffel. En un espacio-tiempo curvo, las leyes físicas se modifican según el principio de acoplamiento mínimo, experimentando las siguientes transformaciones: • La derivada ordinaria es sustituida por la derivada covariante; • La métrica de Minkowski es sustituida por una formulación general del tensor métrico: η µν → g µν ( x ) ∂ µ → ∇ µ (x ) La ecuación galileana de los sistemas inerciales se transforma en la ecuación relativista de las líneas geodésicas: ∂ β u α = 0 → ∇ β u α = 0 . Con la Ley de conservación de la energía se tiene: ∂α T αβ = 0 → ∇α T αβ = 0 . Por el principio de simetría de los símbolos de Christoffel, las leyes electromagnéticas en general no experimentan modificaciones debidas a la curvatura gravitatoria: Fαβ = ∂ α Aβ − ∂ β Aα Fαβ = ∇α Aβ − ∇ β Aα Fαβ = ∂ α Aβ − Γβµα Aµ − ∂ β Aα + Γαµβ Aµ Γαµβ = Γβµα La medición de la curvatura de cualquier variedad (espacio-tiempo; esfera; paraboloide hiperbólico o silla de montar) se hace con el tensor de curvatura o tensor de Riemann, que es una función de los símbolos de Christoffel y de sus derivadas de primer orden. La tasa de aproximación entre dos geodésicas se calcula con: d 2 ξ α = Rβα µν d x β ξ µ d xν , donde d xβ y d xν representan el recorrido desde el Ecuador de ambas líneas geodésicas y ξµ , la distancia de separación entre ellas. En el espacio-tiempo, el tensor de Riemann determina la aceleración recíproca entre las líneas de universo de dos sistemas inerciales (por ej. dos masas que se acercan progresivamente como consecuencia de su mutua atracción gravitatoria). Se calcula dicha aceleración empleando: d 2ξ α = Rβα µν u β ξ µ uν , siendo d τ un parámetro afín (el tiempo local), uβ y uν , los vectores de 2 dτ cuadrivelocidad de ambos cuerpos que, según el esquema de Minkowski, equivalen geométricamente a campos vectoriales tangentes a ambas líneas de universo. La ecuación newtoniana que permite calcular las fuerzas de marea1 es: a i = Φ,i i ξ i , donde a es la aceleración de marea; Φ es el potencial gravitatorio y ξ la distancia entre las dos partículas. Desde el punto de vista relativista, el tensor de Riemann determina las fuerzas de marea. Si la región del espacio tiene una escasa densidad de cuadrimomento y una distribución uniforme de la curvatura, los componentes del tensor de Riemann toman aproximadamente los siguientes valores: R0i i 0 ≈ Φ , i i Rβα µν ≈ 0 para el resto de los índices. 1 Las fuerzas de marea vienen determinadas por las derivadas de segundo orden del potencial gravitatorio Φ . NOTAS SOBRE LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD TEORÍA DE LA RELATIVIDAD GENERAL Página 38 TABLA - ALTERACIÓN DE LAS LEYES FÍSICAS PRODUCIDA POR LA CURVATURA - DERIVADA COVARIANTE Objeto o ley físicomatemática: Espacio-tiempo llano: Espacio-tiempo curvo: ¿Se produce alteración por la curvatura? Ley de conservación de la energía: ∂α T α β = 0 ∇α T αβ = 0 Si Fi j = ∂ i A j − ∂ j Ai Fi j = ∇ i A j − ∇ j Ai = ∂ i A j − ∂ j Ai No Tensor electromagnético: Ecuaciones de Maxwell: No c c No d uα =0 dt d uα ∇u u = + Γβαν u β u µ = 0 dt Si Velocidad de la luz: Ecuación de un sistema inercial: Aceleración: a= d2x dt2 aα = d 2 xα dτ 2 Volumen: Si Si Las expresiones que relacionan el tensor de Riemann con los símbolos de Christoffel son: R = Γβαν , µ − Γβαµ ,ν + Γβσν Γσαµ − Γβρµ Γραν , en la transformación de Lorentz donde se hacen nulos los coeficientes de los símbolos de Christoffel pero no así sus primeras derivadas, la fórmula para el cálculo del tensor de curvatura queda simplificada como: Rβα µν = Γβαν , µ − Γβαµ ,ν . Si el espaciotiempo es newtoniano o cuasi-newtoniano (poca densidad de cuadrimomento; fluidos no-relativistas), los únicos coeficientes no nulos de los símbolos de Christoffel son los correspondientes a Γ0i 0 : α β µν Γ0i 0 = Φ, i , de lo contrario Γβαµ = 0 , R0i i 0 = Γ0i 0,i − Γ0i i , 0 , R0i i 0 = Γ0i 0,i , R0i i 0 = Φ, i i . Se deduce entonces, la ecuación clásica a partir de la relativista: d 2ξ i = R0i i 0 u 0 ξ i u 0 → a i = Φ, i i ξ i . 2 dτ Las fuerzas de marea están determinadas por el tensor de Riemann y las primeras derivadas de los símbolos de Christoffel. Si estas magnitudes tienen un valor no-nulo, el diferencial de los símbolos de Christoffel provoca la dispersión de las geodésicas correspondientes a partículas de d uα = − Γµαν u µ uν . un fluido determinado: ∂ Γβαµ ≠ 0 , dτ NOTAS SOBRE LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD TEORÍA DE LA RELATIVIDAD GENERAL Página 39 Las geodésicas (trayectorias inerciales en el espacio-tiempo) están determinadas por los valores de los símbolos de Christoffel. Si estos son constantes, las partículas de un fluido se mueven uniformemente, a una misma velocidad y aceleración, no alterándose la distancia entre ellas. Si los componentes de los símbolos de Christoffel varían a lo largo de una región, las líneas de universo de las partículas divergen provocando la distorsión del fluido, en la medida en que cada una de sus partes constituyentes acelera distintamente. Según la teoría clásica de la gravitación universal, una masa esférica de gas reduce su volumen, como consecuencia de la atracción recíproca de sus moléculas, según: ∆V = 4 π G ρ . Por ello, el parámetro ρ que mide la densidad de masa, debe sustituirse por el tensor de energíatensión Tαβ , que permanece invariante ante las transformaciones de Lorentz y tiene en cuenta además de la masa, la presión y los efectos gravitatorios de la energía. Efectos gravitatorios que en general, no son causados por ningún tipo de fuerza a distancia sino por la curvatura del espacio-tiempo. El tensor de Ricci Rαβ cuantifica la variación temporal del volumen; puede definirse como la aceleración coordenada del hiper-volumen Πβ , normal al vector unitario eβ . Así, el componente d 2 Π0 R00 , expresa la aceleración temporal del volumen tridimensional: R 00 = ⇒ R 00 = ∇ 2 V . 0 2 d x ( ) La relación entre el tensor métrico y el tensor de Ricci se expresa mediante la siguiente ecuación de flujo de Ricci: ∂ t g α β = − 2 Rα β ; valores positivos del tensor de Ricci implican la disminución a lo largo del tiempo de los coeficientes del tensor métrico, y como consecuencia de ello, la disminución de los volúmenes en esa región de la variedad. Contrariamente, valores negativos en el tensor de Ricci se asocian a una expansión progresiva de las distancias, las superficies y los volúmenes. Los tensores de energía-momentum y de Ricci permiten expresar de manera tensorial 4 π G αβ y covariante la fórmula de Poisson y las siguientes ecuaciones de universo: R α β = Γ . c2 Las ecuaciones de universo de Einstein, compatibles con la ley de conservación de la energía, 1 8πG se expresan como: R α β − g α β R = 4 T α β , donde Rαβ es el tensor de Ricci; gαβ es el tensor 2 c métrico; R es el escalar de Ricci; G es la constante de gravitación universal y Tαβ es el tensor de energía-impulso. El miembro izquierdo de la ecuación es el tensor de Einstein; se representa con la notación Gαβ , y satisface las mismas relaciones de conservación que el tensor de tensión-energía: 1 ∇ β G α β = ∇ β Rα β − g α β R = 0 , G α β = k T α β . El escalar de curvatura R es proporcional 2 a la traza del tensor de Einstein Gαα ; por ello, las ecuaciones de universo pueden reformularse así: 8πG 8πG 1 T , Rα β = Tα β − gα β T . 4 2 c c 2 La compatibilidad con la ley de conservación de la energía mencionada en el parágrafo precedente, se prueba considerando que la derivada covariante del tensor de energía-momentum de cualquier fluido es cero: ∇ β T α β = 0 ; sin embargo, de las identidades de Bianchi se deduce que la derivada covariante del tensor de Ricci es en general no-nula: 1 Rβα (µν σ ) = 0 → Rβα µν ,σ + Rβασ µ ,ν + Rβαν σ , µ = 0 , ∇ β R α β − g α β R = 0 → ∇ β R α β ≠ 0 , 2 lo que habilita a descartar cualquier tipo de relación de proporcionalidad entre el tensor de Ricci y el tensor de tensión energía: Rα β ≠ k T α β . − R = Gαα = NOTAS SOBRE LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD TEORÍA DE LA RELATIVIDAD GENERAL Página 40 En un fluido no-relativista, como una nebulosa o una estrella de la secuencia principal, todos los componentes del tensor de energía-impulso son nulos o de muy poca importancia, salvo el elemento T00 = ρ c2 , que corresponde a la densidad de masa y que es el único que contribuye a la atracción gravitatoria y a la curvatura del espacio-tiempo. Para medir la contracción de volumen producida por la masa-energía presente en una región, deben aplicarse las ecuaciones de universo 8πG 1 8πG 1 de Einstein: Rα β = Tα β − gα β T , ⇒ R00 = T0 0 − g 0 0 T , entonces: 2 2 c 2 c 2 2 P ρ c − 3P 4πG = 4 π G ρ + 3 2 , T ≈ c 2 T0 0 → R0 0 = T0 0 , o bien: ∇ 2 V = 8 π G ρ 2 2 c 2c c donde P es la presión del fluido, en general reducida, comparada con ρ c2 . La atracción gravitatoria está determinada no solo por la masa-energía sino también por la presión, aunque la contribución de esta es c2 inferior a la de la primera. En las regiones del espacio-tiempo sometidas a bajas presiones y temperaturas, como las nebulosas o el Sistema Solar, la masa es prácticamente la única fuente de atracción gravitatoria y por ello las ecuaciones de la gravitación universal newtonianas constituyen una muy buena aproximación de la realidad física. En los fluidos sometidos a altas presiones, como las estrellas que colapsan; la materia que se precipita en los agujeros negros o los chorros expelidos en los centros de las galaxias, la presión puede ser significativa al computar la atracción gravitatoria y la curvatura del espacio-tiempo. SIGNIFICADO FÍSICO DE LOS DIFERENTES TENSORES DE LA RELATIVIDAD GENERAL Tensor: Notación: d ua / d t r ∇ us u Derivada ordinaria: Derivada covariante: Significado físico: Aceleración medida por un observador externo en reposo Aceleración inercial medida por un observador comóvil Tensor métrico: gαβ Distancia (o intervalo) entre dos puntos (eventos) del espacio-tiempo Tensor de tensión-energía: Tµν Presencia inmediata de cuadrimomento en una región del espacio-tiempo Rβα µν Tensor de Riemann: Tensor de Ricci: Rµν Escalar de Ricci: R Tensor de Weyl: C βα µν Aceleración recíproca de dos líneas de universo Aceleración de un volumen (3 dimensiones) o un hipervolumen (4 dimensiones) Aceleración de la superficie que encierra dicho volumen o hipervolumen Fuerzas de marea generadas por las ondas gravitatorias En un fluido electromagnético, la traza del tensor de energía-impulso es nula y las ecuaciones 8πG 8πG 1 (T00 ) . de universo toman la forma: R00 = T0 0 − g 0 0 T , si T = 0 → R0 0 = 2 c2 c 2 Los valores del tensor de Ricci son justo el doble de los calculados para las soluciones de polvo; por ello, la deflexión relativista de los rayos de la luz es dos veces superior a la del ámbito newtoniano. PRINCIPALES ECUACIONES DE LA RELATIVIDAD GENERAL Denominación: Significado físico: Ecuaciones de universo de Einstein Contracción de un fluido debido a la presencia inmediata de cuadrimomento Ecuación de las líneas geodésicas Movimiento de un sistema inercial en el espacio-tiempo Desviación geodésica Fuerzas de marea entre dos partículas que caen en un mismo campo gravitatorio NOTAS SOBRE LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD TEORÍA DE LA RELATIVIDAD GENERAL Página 41 Las ecuaciones de campo de Einstein conforman un sistema de 10 ecuaciones diferenciales nolineales independientes. Las dificultades asociadas al planteo del problema como uno de valor inicial bien definido, hicieron que durante largo tiempo sólo se contara con algunas soluciones exactas caracterizadas por un alto grado de simetría. En la actualidad se conocen centenares de soluciones. La no linealidad se deriva del mutuo condicionamiento entre el tetramomentum y la curvatura del espacio tiempo, pues dada una distribución de materia, esta producirá una curvatura del espacio o “campo gravitatorio” el cual contiene energía. Como E = m c2 dicha energía a su vez genera otra curvatura o “campo gravitatorio” que a su vez contendrá cierta energía y así sucesivamente. Esta retroalimentación entre la fuente (materia) y el efecto (curvatura) se expresa como no-linealidad. 1 R gα β = k Tα β , contiene funciones lineales y 2 derivadas de primero y segundo orden del tensor métrico gαβ , lo que impide despejar los coeficientes de este último a partir de los valores del tensor de energía-momentum Tαβ , esto dificulta, construir una función de tipo f : Tα β → gα β . Dado que el principio de covariancia general justifica la validez de las ecuaciones de campo en cualquier sistema de coordenadas, Schwarzschild procedió a calcular los valores de los tensores de energía-momento y de Einstein en coordenadas espacio-temporales esféricas (θ, φ, r, t) . El alto grado de simetría proporcionado por dicho sistema de coordenadas y el carácter estático de la métrica, permitieron integrar directamente el conjunto de ecs. diferenciales. Siendo en el caso general, el tensor métrico para un problema con simetría esférica de la forma: 1 2G M d s 2 = − f (r ) d t 2 + h(r ) d r 2 + r 2 d θ 2 + sin 2 d φ 2 ; para un astro esférico f (r ) = = 1− 2 . c r h (r ) El miembro izquierdo de la igualdad Rα β − ( ) Las ecuaciones de campo con simetría esférica permiten también estudiar la curvatura en el interior de las estrellas masivas, donde la curvatura originada por la gravedad es compensada por la presión de la materia estelar, lo que conduce a un equilibrio hidrostático que hace que la estrella, aún sometida a su propio campo gravitatorio, pueda mantener durante millones de años su volumen y densidad en niveles constantes. La ley de equilibrio hidrostático que relaciona densidad y presión en una estrella esférica, viene dada por la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff: P + ρ c2 m c2 + 4 π r 3 P dP 2 , donde P (r), ρ (r) son la presión y la densidad a una distancia = − G dr r c r − 2 G m r del centro del astro y m (r ) = ∫ r 0 () 2 ρ r 4 π r d r es la masa encerrada en una esfera de radio r. Para campos gravitatorios poco intensos, como los existentes en el espacio interestelar, se emplea la aproximación para campos débiles, similar en su estructura a la fórmula de Poisson newtoniana, la que afirma que el laplaciano del potencial gravitatorio Φ es igual 4 G π , siendo: G ρ (x' , t ) ∇ 2 Φ = 4 π G ρ → Φ ( x, t ) = ∫ dV . V r La fórmula precedente no tiene en cuenta el retardo en la medición del campo gravitatorio realizada por un determinado observador situado a distancia de la masa del cuerpo que lo genera (por ej. el Sol, situado a 8 minutos luz de la Tierra). Por ello, un intento de compatibilizar la teoría de la Relatividad Especial y la Gravitación Universal consiste en reemplazar el laplaciano de la fórmula de Poisson por un d’alembertiano, una de cuyas soluciones es un potencial retardado: r G ρ x' , t − c 2 Φ = 4 π G ρ → Φ ( x, t ) = ∫ dV . V r NOTAS SOBRE LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD TEORÍA DE LA RELATIVIDAD GENERAL Página 42 El potencial gravitatorio medido por el observador en el tiempo t, es proporcional a la densidad de masa del cuerpo estelar observado en el tiempo t - r/c, donde c es la velocidad de la luz, r es la distancia entre el observador y el objeto y r/c es el retardo o tiempo que la luz demora en desplazarse desde la estrella en cuestión hasta el observador. Introduciendo el pseudotensor hαβ , que representa la desviación de los coeficientes del tensor métrico respecto a la métrica de Minkowski ηαβ y aplicando el límite newtoniano, según el cual gαβ es igual a 1 + 2 Φ , se tienen las expresiones: 1 gα β = ηα β + hα β , hα β = 2 Φ → 2 hα β = 8 π G ρ , 2 hα β = 16 π G Tα β − gα β T ; 2 es una aproximación para campos débiles. La sustitución del laplaciano de la fórmula de Poisson en ∇ 2 Φ = 4 π G ρ por el d’alembertiano 2 , resulta de desestimar el principio de acción a distancia. El empleo del pseudotensor hαβ , en lugar del potencial Φ como elemento definitorio del campo gravitatorio resulta del carácter métrico de la teoría de la relatividad gral. y la eliminación en el lado 1 derecho de la ecuación, del parámetro ρ y su sustitución por la expresión tensorial Tα β − gα β T 2 es una exigencia del principio de la covariancia general. Según la teoría clásica de la gravitación, la aceleración de un cuerpo en caída libre es el gradiente negativo del potencial gravitatorio: a = -∇ φ ; fórmula que asume el principio newtoniano de acción a distancia, contrario a los postulados de la Relatividad Especial y que además desestima los efectos gravitatorios generados por la energía y por el momentum. La aproximación postnewtoniana soslaya estos inconvenientes introduciendo otros dos nuevos potenciales: el potencial ψ , que constituye una aproximación en segundo grado del potencial φ y el potencial ζ , derivado de la presencia de momentum en el fluido. Se definen estos potenciales: POTENCIALES DE LA APROXIMACIÓN POSTNEWTONIANA Notación: Expresión formal: φ = −∫ φ ψ Gρ dV r 1 ∂ 2φ ψ = + G (Ek + E p )+ G (Ek ) 2 4π dt ζ ζ = −4G P ∫r dV Significado físico: Potencial newtoniano (densidad de masa) Retardo del potencial newtoniano, densidad de energía Potencial derivado del momentum Las ecuaciones de movimiento quedan reformuladas de la siguiente forma: 1 ∂ζ 2φ 2 v 3 ∂φ 4 v2 a = − ∇ φ + 2 + ψ − + × (∇ × ζ ) + 2 v + 2 v (v • ∇ ) φ − 2 ∇φ c c c ∂t c c c ∂t a = − ∇φ + η , 2φ 2 1 ∂ζ v 3 ∂φ 4 v2 ( ) ( ) + ψ − + × ∇ × ζ + v + v v • ∇ φ − ∇φ . 2 c ∂t c c 2 ∂t c 2 c2 c η = − ∇ Originalmente en mecánica cuántica y en relatividad se asumía que el espacio y más tarde el espacio-tiempo, eran planos. En lenguaje tensorial, Rbac d = 0 , donde Rbac d es el tensor de curvatura de Riemann. Además, el sistema de coordenadas se consideraba cartesiano; estas restricciones le permitían al movimiento inercial ser descripto matemáticamente como: &x&a = 0 , donde xa es un vector de posición, &x& = ∂2 x y τ es el tiempo propio. ∂τ 2 NOTAS SOBRE LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD TEORÍA DE LA RELATIVIDAD GENERAL Página 43 En la mecánica clásica, xa es tridimensional y τ ≡ t , donde t es una coordenada de tiempo. En relatividad especial, el movimiento inercial ocurre en el espacio de Minkowski, parametrizado por el tiempo propio, lo que se generaliza a espacios curvos mediante la ecuación de las geodésicas: &x&a + Γbac x& b x& c = 0 , siendo Γbac un símbolo de Christoffel conocido como conexión de Levi-Civita. Estas ecuaciones son cuatro y cada una describe la segunda derivada de una coordenada con respecto al tiempo propio2. Alrededor de objetos simétricamente esféricos, la teoría de la gravedad de Newton predice G M •m que los otros objetos serán acelerados hacia el centro por la ley: F = − rˆ , donde M es r2 la masa que genera el campo gravitatorio; m es la masa del cuerpo que es atraído y r̂ es un vector unidad que identifica la dirección al objeto masivo. El electromagnetismo planteó un problema fundamental a la mecánica clásica, debido a que las ecuaciones de Maxwell no son invariantes según la relatividad galileana; dilema que fue resuelto por la relatividad especial. En forma tensorial, las ecuaciones de Maxwell pueden escribirse así: 4π b ∂ a F ab = J , ∂ a F b c + ∂ b F c a + ∂ c F a b = 0 , donde F a b es el tensor de campo electromagnético c y J b es una cuadricorriente. El efecto de un campo electromagnético sobre un objeto cargado de d Pa q masa m es entonces: = Pb F a b , siendo P a el cuadrimomento del objeto cargado; las dτ m ecuaciones de Maxwell se convierten en: ∇ a F ab = 4π J c b , ∇ a F bc + ∇b F ca + ∇c F ab = 0 . En la mecánica clásica, la conservación de la energía y el momentum son entidades separadas. En la relatividad especial, la energía y el momentum están unidos en el cuadrimomento y los tensores de energía. Para cualquier interacción física, el tensor de energía-impulso Tab satisface la ley local de conservación siguiente: ∂ b Tab = 0 , que es modificada para justificar la curvatura: ∇ b Tab = ∂ b Tab + Γcbb Tac + Γacb Tcb = 0 , donde el operador ∇ representa la derivada covariante. 2 El principio de geometrización y el principio de equivalencia fueron el fundamento en que Einstein basó su búsqueda de una nueva teoría, luego de desestimar la formulación de una teoría relativista de la gravitación empleando un potencial gravitatorio. Relacionó el tensor de energía-impulso con la curvatura escalar de Ricci de un espacio-tiempo con métrica: gαβ = φ ηαβ , lo que involucraba la métrica del espacio-tiempo plano y un campo escalar y gravitatorio relacionados.
