Función cuadratica (teorico 2013)

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Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología
Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013
Prof. María Elena Ruiz
Función Cuadrática
Apunte Teórico
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Hemos definido anteriormente la función lineal como una función f: R → R de la forma
f(x)=ax+b con a∊R y b∊R, que se representa en el plano mediante una recta que tiene pendiente
a y ordenada al origen b.
Vamos a presentar ahora las funciones cuadráticas. Se trata de las funciones cuya ecuación
es un polinomio de segundo grado, es decir, f ( x) = ax 2 + bx + c , donde a ≠ 0, y su dominio
es el conjunto de los números reales.
La función cuadrática más sencilla es y = x 2 , cuando a=1, b=0 y c=0. La representación
gráfica de esta función es la siguiente:
y
4
3
2
1
x
-2
-1
1
2
Observemos en el gráfico, que el menor valor que toma y es 0 cuando x = 0, y que y no puede
tomar valores negativos puesto que es de la forma y = x 2 . En consecuencia, la imagen de esta
función es Im( f ) = [ 0, +∞ ) .
El gráfico que representa a las funciones cuadráticas se llama parábola, en la que distinguimos
vértice y eje de simetría.El vértice es el punto donde la función alcanza su máximo o su
mínimo valor. En el ejemplo dado, el vértice es el punto (0, 0) y es el mínimo valor que
alcanza la función.El eje de simetría es una recta paralela al eje y que pasa por el vértice de la
parábola. Éste divide a la parábola en dos ramas simétricas. En el ejemplo anterior el eje de
simetría es la recta vertical x=0 o el eje y.
Las ramas de la parábola están orientadas hacia las y positivas (hacia arriba).
Podemos ver gráficamente que la función y = x2 es decreciente en (-∞, 0) y creciente en
(0, +∞).
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Función Cuadrática
Apunte Teórico
FORMAS POLINÓMICA Y CANÓNICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Cuando la expresión algebraica de la función cuadrática es f ( x) = ax 2 + bx + c recibe el nombre
de forma polinómica de la función.Otra manera de expresar la función cuadrática es la que se
2
conoce como forma canónica de la función cuadrática, y es f ( x ) = a ( x − h ) + k .
A partir de la forma polinómica de la función cuadrática se puede llegar a la forma canónica de
varias maneras, veamos una de ellas a partir de un ejemplo:
Ejemplo:
Sea f ( x) = 2 x 2 + 8x − 5 la forma polinómica de una función cuadrática.
Se quiere expresarla como f ( x ) = a ( x − h ) + k , donde el valor de a es el mismo que
el a de la forma polinómica, en este caso a=2, entonces se debe buscar el valor de h y
de k.
2
Partiendo de f ( x ) = 2 ( x − h ) + k , desarrollando el cuadrado del binomio se tiene:
2
. Luego aplicando propiedad distributiva:
(x)
, donde
.
En la expresión polinómica dada,
, luego:
Con los valores de a, h y k, podemos escribir la función cuadrática en su forma
2
canónica: f ( x ) = 2 [ x − ( −2) ] − 13 = 2( x + 2) 2 − 13 .
Si queremos pasar de una expresión canónica a una polinómica, procedemos de la siguiente
manera:
2
Ejemplo: Sea la función cuadrática g ( x ) = 3 ( x − 2 ) − 5 , escribirla en su forma
polinómica.
Para ello, desarrollamos el binomio y luego aplicamos propiedad distributiva:
g ( x) = 3 ( x 2 − 4 x + 4 ) − 5 = 3 x 2 − 12 x + 12 − 5
g ( x) = 3 x 2 − 12 x + 7
GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Analicemos el gráfico de una función cuadrática a partir de su expresión canónica
2
f ( x ) = a ( x − h ) + k y veamos qué sucede al variar los parámetros a, h y k.
Dijimos anteriormente, que la función cuadrática más sencilla es y = x2, o sea donde a= 1 y
h=k=0. Vimos también que en este caso el vértice es el (0, 0) y que la recta x=0 es el eje de
simetría. Consideremos ahora funciones cuadráticas de la forma f ( x) = ax 2 , donde a toma
distintos valores, no solamente el 1, como lo vemos en el siguiente gráfico donde están
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Función Cuadrática
Apunte Teórico
representadas, además de y=x2, las funciones: y=2x2 (a=2); y=(1/2)x2 (a=1/2); y=-x2
(a=-1); y=-2x2 (a=-2); y=-(1/2)x2 (a=-(1/2)
Observemos en el gráfico que:
• Vértice: (0, 0)
• Eje de simetría: la recta x=0, es decir
el eje y.
• Si a >0:
• las ramas de la parábola se
orientan hacia las y positivas
(hacia arriba).
• la función decrece en el intervalo
(-∞.0) y crece en (0, +∞).
• Si a <0:
• las ramas de la parábola se
orientan hacia las y negativas
(hacia abajo).
• la función crece en el intervalo
(-∞.0) y decrece en (0, +∞).
Si ahora suponemos a=1 y k = 0, entonces la función cuadrática resulta de la forma
2
f ( x) = (x − h ) .
En el siguiente gráfico se pueden observar la parábolas que resultan de hacer h=0, h=2 y h=-2
Observemos en el gráfico
que:
• Si h > 0 la parábola se
desplaza sobre el eje x,
hacia las x positivas (a la
derecha).
• Si h < 0 la parábola se
desplaza sobre el eje x,
hacia las x negativas (a la
izquierda).
Veamos los intervalos de crecimiento y decrecimiento para la función
:
Crece en (-2, +∞) y decrece en (-∞, -2).
Para la función
, los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:
Crece en (2, +∞) y decrece en (-∞, 2).
Supongamos ahora que a = 1 y h = 0, entonces la función tiene la forma f ( x) = x 2 + k .
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Función Cuadrática
Apunte Teórico
En el siguiente gráfico se pueden observar la parábolas que resultan de hacer k=0, k=3, k=5,
k =–3 y k =-5.
Observemos en el gráfico
que:
• Si k > 0 la parábola se
desplaza sobre el eje y,
hacia las y positivas (hacia
arriba).
• Si k < 0 la parábola se
desplaza sobre el eje y,
hacia las y negativas (hacia
abajo).
Observando los gráficos de estas funciones vemos que en todos los casos los intervalos de
crecimiento son (0, +∞) y de decrecimiento (-∞, 0).
Tomando como referencia a la parábola y = x 2 podemos obtener el gráfico de cualquier
función cuadrática teniendo en cuenta la siguiente conclusión:
2
Dada la forma canónica de una función cuadrática f ( x) = a ( x − h ) + k , se tiene que:
•
El valor de a indica la amplitud y el sentido de las ramas de la parábola.
•
El valor de h indica el desplazamiento horizontal (izquierda-derecha) de la parábola.
•
El valor de k indica el desplazamiento vertical (arriba-abajo) de la parábola.
Vimos que el vértice de la parábola y = x 2 es el punto (0, 0). Ahora, teniendo en cuenta los
desplazamientos analizados podemos inferir que el vértice de una función cuadrática de la
forma f ( x) = a(x − h )2 + k es el punto (h, k), ya que todos los puntos de su gráfica están
desplazados h unidades en la dirección del eje de las x y k unidades en la dirección del eje de
las y. El eje de simetría es la recta vertical de ecuación: x = h.
Por lo visto, es claro que para graficar una función cuadrática es útil que su expresión analítica
esté en la forma canónica, así ubicamos el vértice, el eje de simetría, y según a sea positivo o
negativo, las ramas están orientadas hacia arriba o hacia abajo. Como lo muestra el siguiente
gráfico que representa a la función f(x)= (x - 1)2 -2, donde a=1, h=1 y k= -2:
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Eje de simetría
y
3
x=1
y = ( x − 1) 2 − 2
2
1
x
-1
1
2
3
-1
-2
RAÍCES DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Al igual que las raíces (o ceros) de una función lineal, las raíces de una función cuadrática son
los valores de x que anulan la función, es decir verifican la ecuación f ( x) = ax 2 + bx + c = 0 .
Gráficamente los puntos (x, 0) , con x raíz de la función, son los puntos de intersección entre
la gráfica de la función y el eje x.
Para encontrar los valores de x que hacen cero a la función (los puntos de intersección con el
eje x), debemos resolver una ecuación polinómica de grado 2, es decir una ecuación de la
forma: a x2 + b x + c= 0, y para resolverla se utiliza la fórmula conocida como “fórmula de
Bascara”:
−b ± b 2 − 4ac
2a
Esta fórmula resuelve la ecuación completa de 2do grado, donde las dos raíces se obtienen
considerando respectivamente, el signo + o el signo - que afecta al radical, es decir:
x=
x1 =
− b + b 2 − 4ac
2a
x2 =
− b − b 2 − 4ac
2a
En general se tiene que:
• Si el radicando b2 - 4ac, llamado también discriminante, es positivo las dos raíces son reales
y distintas.
• Si b2 - 4ac es igual a cero, las raíces son iguales.
• Si b2 - 4ac es negativo, no tiene raíces reales.
Ejemplo: Consideremos la función g ( x) = x 2 + 2 x − 3 y busquemos cuáles son sus raíces.
Para ello debemos resolver la ecuación x 2 + 2 x − 3 = 0 y para ello resolvamos aplicando la
fórmula de Bascara:
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x1,2 =
− 2 ± 2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−3)
2 ⋅1
=
Función Cuadrática
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−2±4
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Luego, las raíces son: x1 = 1 y x 2 = −3
Por lo tanto, como se puede observar en el siguiente gráfico, los puntos de intersección de la
función g (x) con el eje x están dados por (1, 0) y (−3, 0) .
y
3
y = x 2 + 2x − 3
2
1
(–3, 0)
-4
(1, 0)
-2
x
2
-1
-2
-3
-4
Hemos visto que una ecuación de segundo grado puede tener 2 raíces reales distintas, 1 sola
raíz real o no poseer raíces reales, es decir puede intersecar al eje x en dos puntos, en uno sólo
o en ningún punto. De acuerdo a esta conclusión resuelva los siguientes ítems:
1) Escriba la ecuación de una función cuadrática con una sola raíz real y realice su gráfico.
2) Escriba la ecuación de una función cuadrática con dos raíces y realice su gráfico.
3) Escriba la ecuación de una función cuadrática que no posea raíces reales y realice su
gráfico.