Sistemas de Numeración. Códigos

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Electrónica Básica
Sistemas de Numeración. Códigos
Electrónica Digital
José Ramón Sendra Sendra
Dpto. de Ingeniería Electrónica y Automática
ULPGC
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SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Sistemas de numeración:
Intuitivamente →
son las diferentes formas de representación de
los números.
Formalmente →
conjunto finito de símbolos con unas reglas de
asignación de forma que cada una de las
posibles combinaciones tiene uno y sólo uno
significado posible.
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SISTEMAS DE NUMERACIÓN
En cada sistema de numeración se define una BASE (B) que indica la
cantidad de símbolos distintos que usa.
Cualquier número N se podrá expresar como un polinomio en función de esa
BASE:
NB = an·Bn + an-1·Bn-1 + ... + a1·B1 + a0·B0 + a-1·B-1 + ... + am·B-m
parte entera
parte fraccionaria
donde: ai = cifras o guarismos que componen al número N → 0 ≤ ai < B
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SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Ej:
87,5410 = 8·101+ 7·100 + 5·10-1 + 4·10-2
Base = 10 → 0 ≤ ai < 10 → ai= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Ej:
1011,112 = 1·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20 + 1·2-1+ 1·2-3
Base = 2 → 0 ≤ ai < 2 → ai= 0, 1
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SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Sistema Binario:
Utiliza sólo dos símbolos → ai = 0 y 1 → bit (binary digit)
B IN
0
1
10
11
100
101
110
111
...
DEC
0
1
2
3
4
5
6
7
...
101
•Conversión de Binario a Decimal ...
•Conversión de Decimal a Binario ...
B IN
0 0 00
0 0 01
0 0 10
0 0 11
0 1 00
0 1 01
0 1 10
0 1 11
...
101
DEC
0
1
2
3
4
5
6
7
...
6
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Sistema Octal:
Utiliza 8 símbolos → ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
OCT
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
...
BIN DEC
0000
0
0001
1
0010
2
0011
3
0100
4
0101
5
0110
6
0111
7
1000
8
1001
9
1010
10
1011
11
...
...
Se usa porque es muy fácil pasar de
binario a octal y viceversa ya que 8 = 23
•Conversión de Octal a Binario ...
•Conversión de Binario a Octal ...
Por tanto, para pasar de octal a decimal
o viceversa lo mejor es hacerlo pasando
por binario
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SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Sistema Hexadecimal:
Utiliza 16 símbolos → ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
HEX
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
B IN
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
DEC
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Igual que con el sistema octal, con el
sistema hexadecimal es muy fácil pasar
de hexa a bin y de bin a hexa ya que
16 = 24
•Conversión de Hexa a Bin ...
•Conversión de Bin a Hexa ...
1 01
8
CÓDIGOS BINARIOS
Código:
representación unívoca de cantidades, e.d., a cada cantidad
se le asigna una combinación de símbolos determinada.
Código Binario:
aquel que usa solamente 0 y 1
Si se desea hacer un código binario para codificar N símbolos
necesitaremos n bits de tal forma que:
2n-1 < N < 2n
Ej: si queremos codificar 5 símbolos necesitamos 3 bits ya que 22 < 5 < 23
Ej: si queremos codificar 10 símbolos necesitamos 4 bits ya que 23 < 10 < 24
PONDERADOS → cada bit tiene un peso determinado
Tipos de Códigos
NOPONDERADOS → los bits no tienen peso asociado
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CÓDIGOS BINARIOS
Códigos BCD (Binary Codified Decimal - Decimal Codificado en Binario)
Como su nombre indica se trata de codificar los números decimales con
códigos binarios de tal forma que a cada combinación binaria se le asigna un
número decimal.
Para codificar los 10 números decimales necesitamos 4 bits ya que
24 = 16 > 10
Binario Natural = 11100001012
→ 10 bits
BCD = 1001 0000 0001BCD
→ 12 bits
Ej: 90110
9
0
1
En BCD se
desperdician bits
pero es más fácil
Algunos sistemas de codificación
Para codificar 10 elementos necesitamos 4 bits, por tanto, con 4 bits
podríamos hacer muchísimos códigos (75 106). Sólo veremos los más
usados:
Dec BCD(8421) Aiken(2421)
0
0000
0000
1
0001
0001
2
0010
0010
3
0011
0011
4
0100
0100
5
0101
1011
6
0110
1100
7
0111
1101
8
1000
1110
9
1001
1111
ponderados
Exceso-3
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
Gray
0000
0001
0011
0010
0110
0111
0101
0100
1100
1101
no ponderado
10
Algunos sistemas de codificación
Códigos Gray
Hay aplicaciones que necesitan reconocer la posición de un sistema,
(la cabeza de una impresora, un lector de disco o un posicionador)
como ejemplo gráfico veamos un disco giratorio que mediante unos
contactos eléctricos nos indica su posición.
El sombreado significa
"1" y la parte diáfana "0"
Aquí leemos
110.
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Algunos sistemas de codificación
Códigos Gray
Veamos cual es la lectura en un punto de cambio de valor
Valor esperado:
110
101
Cualquiera
es válido
Debido a las posibles imperfecciones
del sistema puede que no todos los
valores cambien al unísono.
Otros valores posibles: 100 ÞPosible error
111
medida
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Algunos sistemas de codificación
Códigos Gray
Valor esperado:
000
001
Cualquiera
es válido
No hay otros valores posibles:
ß
En este punto
no hay error de medida
El problema se solucionaría si tan sólo uno de los valores cambiara al
modificarse la posición. Esta es la idea que genera los códigos Gray.
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Algunos sistemas de codificación
Códigos Gray
Veamos como se genera el código Gray reflejado.
En caso de tener dos valores, el problema no existe ya que tendremos:
0
1
Cuando pasamos a cuatro valores añadimos el bit más significativo
de la forma común 0 los dos primeros y 1 los siguientes, en cuanto a los
menos significativos procedemos a reflejarlos, para valores mayores
repetimos el procedimiento.
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
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Algunos sistemas de codificación
Códigos Gray
En este caso cada cambio de posición tan sólo implica un cambio
de valor, por lo tanto no hay errores de lectura.
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