5.6 Serie de Fourier de funciones pares e impares

5.6 Serie de Fourier de funciones pares e impares (desarrollo cosenoidal o senoidal)
406
5.6 Serie de Fourier de funciones pares e impares (desarrollo cosenoidal o senoidal)
Funciones Pares e Impares
En el manejo de series de Fourier es muy útil observar dos tipos de funciones con las que
podemos hacer simplificaciones de las fórmulas de Euler-Fourier. Estas son las funciones
pares e impares que geométricamente se caracteriza por la propiedad de simetría con
respecto al eje y y el origen, respectivamente.
Se muestran algunas gráficas de dichas funciones.
25
2
20
cos( x )
12.57
6.28
0
6.28
12.57
x
15
2
10
5
2
10
5
0
5
10
x
x
Figura 5.6.1 Ejemplo de funciones pares tales como cos( x) y x 2
2
sin ( x )
12.57
6.28
10
0
2
6.28
12.57
x
10
0
10
10
x
x
Figura 5.6.2 Ejemplo de funciones impares tales como sen( x) y x
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Se dice que f es una función par si su dominio contiene al punto x , y si
f ( − x) = f ( x)
(1)
Se dice que f es una función impar si su dominio contiene a − x , y si
f (− x) = − f ( x)
(2)
Para cada x en el dominio de f .
La mayoría de funciones no son pares ni impares.
Teniendo un intervalo simétrico, observamos ciertas características en las operaciones con
funciones pares e impares.
•
•
•
•
•
La suma, diferencia, producto y cociente de dos funciones pares es par.
La suma y diferencia de dos funciones impares es impar.
El producto y cociente de dos funciones impares es par.
La suma o diferencia de una función impar y otra función par no es ni par ni impar
El producto y cociente una función par y otra impar es impar.
De igual importancia son las siguientes dos propiedades de integrales de funciones pares
e impares
•
si f es una función par entonces
∫
a
−a
•
a
f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx
0
(3)
si f es una función impar entonces
∫
a
−a
f ( x)dx = 0
(4)
La comprobación de las afirmaciones anteriores son triviales y se deducen directamente de
las definiciones.
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Ejemplo 5.6.1 Si f1 ( x ) y f 2 ( x ) son impares y además g ( x) = f1 ( x) + f 2 ( x) , comprobar
si g ( x) es impar. [1]
Revisamos de acuerdo a (2), para que sea impar entonces se debe cumplir g (− x) = − g ( x)
Si g (− x) = f1 (− x) + f 2 (− x) , ya que f1 y f 2 son impares, entonces se debe cumplir
también que
f1 (− x) = − f1 ( x) y f 2 (− x) = − f 2 ( x) , por lo tanto
g (− x) = − f1 ( x) − f 2 ( x) , factorizando el signo − [ f1 ( x) + f 2 ( x) ] = − g ( x)
De tal modo que f1 ( x ) + f 2 ( x ) también es una función impar.
Ejemplo 5.6.2
Si f1 ( x ) y f 2 ( x ) son impares
y tenemos que h( x) = f1 ( x) f 2 ( x) ,
comprobar que h( x) es par
Entonces haciendo h(− x) = f1 (− x) f 2 (− x) , como son pares se debe cumplir
f1 (− x) f 2 (− x) = [ − f1 ( x) ][ − f 2 ( x) ]
Por lo que realizando operación de los signos nos queda
[ − f1 ( x)][ − f 2 ( x)] =
f1 ( x) f 2 ( x) , así h(− x) = h( x)
Por lo que el producto f1 f 2 es par.
En los siguientes ejemplos determinar si la función es par o impar.
Ejemplo 5.6.3 Siendo f ( x) = cos ( x )
para valores de
−π
π
≤ x < determinar si es par
2
2
o no.
Haciendo f (− x) = cos (− x) , por la identidad cos (− x) = cos ( x ) , de tal manera que
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f (− x) = f ( x) , por lo tanto la función cos ( x ) es una función par.
Ejemplo 5.6.4 Siendo f ( x) = x 2
para
−1 ≤ x < 1 , determinar si es par o no.
Haciendo f (− x) = (− x) 2 , entonces f (− x) = x 2 de tal manera que f (− x) = f ( x) .
Por lo tanto la función x 2 es función par.
Ejemplo 5.6.5 Determinar si f ( x) = x en el intervalo
impar
−1 ≤ x ≤ 1 es una función par o
Haciendo f (− x) = −x , entonces f (− x) = − f ( x) , por lo tanto es una función par
Ejemplo 5.6.6
Determinar si la función f ( x) = sen ( x ) , en el intervalo
−π
π
≤ x ≤ , es
2
2
par o impar.
Haciendo f (− x) = sen(− x) = − sen ( x ) = − f ( x)
Por lo tanto la función sen ( x ) es función impar
Serie de Cosenos
Suponga que f y f ´ son seccionalmente continuas, y que f es una función periódica
par, en el intervalo (− p, p) , de periodo 2 p .
Dado que el producto de funciones pares es par, una propiedad mencionada anteriormente,
 nπ 
entonces el producto f ( x)cos 
x  es par, pues ambas son funciones pares.
 p 
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 nπ
El producto de f ( x) sen 
 p
una impar.
410

x  es impar, como resultado de multiplicar una función par y

De tal manera que los coeficientes de Fourier de f (siendo f par ) entonces están dados
por
•
ao =
2 p
f ( x)dx
p ∫0
•
an =
 nπ
2 p
f ( x)cos 
∫
0
p
 p
•
bn = 0

x  dx

n = 0,1, 2...
n = 1, 2...
Así podemos expresar nuestra función f en términos de la serie de Fourier.
f ( x) =
 nπ 
a0 ∞
x
+ ∑ an cos 
2 n =1
 p 
(5)
Dado que no están presentes términos senoidales, una serie de este tipo recibe el nombre
de serie cosenoidal de Fourier .
Serie de Senos
Suponga que f y f ´ son seccionalmente continuas sobre − p ≤ x < p y que f es una
función periódica impar de periodo 2 p , de tal manera que manejando las propiedades
 nπ
anteriores, obtenemos que f ( x)cos 
 p

x  es impar como resultado de multiplicar una

 nπ 
función impar con una par y que f ( x) sen 
x  es par, dado que es el producto de dos
 p 
funciones impares
En este caso los coeficientes de Fourier de la función f son
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•
an = 0
•
bn =
411
n = 0,1, 2,...;
 nπ
2 p
f ( x) sen 
∫
p 0
 p

x dx para n = 1, 2,...;

Y la serie de Fourier para la función f tiene la forma
∞
 nπ
f ( x) = ∑ bn sen 
n =1
 p

x

(6)
a la cual se le conoce con el nombre de serie senoidal de Fourier dado que no existen
términos cosenos.
Ejemplo 5.6.7 Sea f ( x) = x para valores de −1 < x < 1 de periodo 2 (figura 5.6.2), la
función definida de esta manera se conoce como onda diente de sierra. Encontrar la serie
de Fourier para esta función.
f(x)
1
5
3
1
1
3
5
1
x
Figura 5.6.2 Gráfica de la figura onda diente de sierra
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412
Como f es una función impar, ya que tiene simetría con el origen, sus coeficientes de
fourier son de acuerdo con la teoría anterior, entonces
an = 0 para
bn =
n = 0,1, 2,...;
2 1
 nπ
x ) sen 
(
∫
1 0
 1

x  dx

Haciendo u = x
y
Entonces du = dx
y
dv = sen ( nπ x )
v=−
1
cos ( nπ x )
nπ
1
1
 x

De tal manera que bn = 2  − cos ( nπ x ) − ∫ − cos ( nπ x ) dx 
0
nπ
 nπ

2
 x

 1 
Resulta bn = 2  −
cos ( nπ x ) + 
 sen ( nπ x ) 
 nπ 
 nπ

1
0
1
0
Sustituyendo los límites de la integral resulta
 2
  2 ( 0)

 2 
 2 


 , quedando
−
−
+
cos
0
0
bn =  − cos nπ + 
sen
n
π
sen



(
)
(
)
(
)
 ( nπ )2 
 ( nπ )2 
n
π
 nπ







 
bn = −
2
n
( −1)
nπ
(7)
Por lo tanto la serie de Fourier para f , la onda de diente de sierra es
f ( x) =
2
π
∞
∑
n =1
− ( −1)
n
n
sen ( nπ x )
Ejemplo 5.6.8 Sea f ( x) = x 2 para valores de −1 < x < 1
serie de Fourier para esta función.[1]
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(8)
(figura 5.6.3), encontrar la
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f(x)
2
1
0
5
x
Figura 5.6.3 f ( x) = x 2 periódica, con período p = 2
Como f es una función impar, ya que tiene simetría con el origen, sus coeficientes de
fourier son de acuerdo con la teoría anterior
an = 0 para
bn =
n = 0,1, 2,...;
2 1
 nπ x 
x ) sen 
(
 dx
∫
1 0
 1 
Haciendo u = x
y
Entonces du = dx
y
dv = sen ( nπ x )
v=−
1
cos ( nπ x )
nπ
1
1
 x

De tal manera que bn = 2  − cos ( nπ x ) − ∫ − cos ( nπ x ) dx 
0
nπ
 nπ

2
 x

 1 
Resulta bn = 2  −
π
cos ( nπ x ) + 
sen
n
x
(
)


 nπ 
 nπ

1
0
1
0
Sustituyendo los límites de la integral resulta
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 2
  2 ( 0)

 2 
 2 



−
−
+
0
0
bn =  −
cosnπ + 
sen
n
π
cos
sen



(
)
(
)
(
)
 ( nπ )2 
 ( nπ )2 
n
π
 nπ







 
Quedando
bn = −
2
n
( −1)
nπ
(9)
Por lo tanto la serie de Fourier para f , la onda de diente de sierra es
f ( x) =
2
π
∞
∑
n =1
− ( −1)
n
n
sen ( nπ x )
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(10)
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