Tema 6. Sistemas lineales. Matrices
Anuncio
Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Ejemplo 1. Ejemplo introductorio Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Dos especies de insectos se crı́an juntas en un recipiente de laboratorio. Todos los dı́as se les proporcionan dos tipos de alimento A y B. 1 individuo de la especie 1 come: 5 unid. A + 3 unid. B. 1 individuo de la especie 2 come: 2 unid. A + 4 unid. B. A los insectos se les suministra diariamente: 80 unid. A + 76 unid. B. ¿Cuántos insectos hay de cada especie? Ejemplo 1. Interpretación geométrica Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa 5x + 2y = 80 3x + 4y = 76 −→ x = 12 especie 1, y = 10 especie 2. Ecuaciones lineales Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Expresión general de una ecuación lineal: a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, donde b ∈ R, ai ∈ R (i = 1, . . . , n) son los coeficientes, xi (i = 1, . . . , n) son las variables o incógnitas. Definición Una solución de la ecuación lineal anterior es una lista de números reales (s1 , s2 , . . . , sn ) tales que a1 s1 + a2 s2 + · · · + an sn = b. Sistemas de ecuaciones lineales Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Definición Un sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas es una colección de m ecuaciones lineales: a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .. , . . am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm donde bi ∈ R, aij ∈ R son los coeficientes, xj son las variables o incógnitas, i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n. Sistemas equivalentes Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Definición Una solución del sistema lineal anterior es una lista de números reales (s1 , s2 , . . . , sn ) que son solución de cada una de sus m ecuaciones Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Definición Dos sistemas lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Número de soluciones Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Teorema Un sistema lineal puede tener cero, una o infinitas soluciones. Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Definición Un sistema lineal se dice: Incompatible: si no tiene solución. Compatible determinado: si tiene una solución. Compatible indeterminado: si tiene infinitas soluciones. Operaciones elementales Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa A un sistema lineal le podemos aplicar tres tipos de transformaciones, las operaciones elementales, que afectan a sus ecuaciones pero dejan invariantes sus soluciones: Tipo I: Ei ↔ Ej , i 6= j. Tipo II: Ei → Ei + λEj , i 6= j. Tipo III: Ei → βEi , β 6= 0. Donde Ei es la ecuación i del sistema. Teorema Sea B un sistema lineal obtenido a partir del sistema A mediante operaciones elementales, entonces A y B son equivalentes. Ejemplo 2. Un ejemplo de eliminación gaussiana Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Ejemplo x + 2y + 3z = 6 2x − 3y + 2z = 14 −→ x = 1, y = −2, z = 3. 3x + y − z = −2 Ejemplo 2. Notación matricial Tema 6. Sistemas lineales. Matrices En el ejemplo anterior: Sistemas de ecuaciones lineales x + 2y + 3z = 6 2x − 3y + 2z = 14 ⇐⇒ AX = b, 3x + y − z = −2 Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa donde 1 2 3 A = 2 −3 2 , 3 1 −1 x X = y , z 6 b = 14 . −2 Notación matricial Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa En general: a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .. ⇐⇒ AX = b, . . am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm donde A= a11 a21 .. . a12 a22 .. . ... ... .. . a1n a2n .. . am1 am2 . . . amn ,X = x1 x2 .. . xn ,b = b1 b2 .. . bm . Notación matricial Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Definición a11 a21 A= . .. X = b= a12 a22 .. . ... ... .. . a1n a2n .. . es la matriz de coeficientes, am1 am2 . . . amn x1 x2 .. es el vector incógnita y . xn b1 b2 .. . bm es el vector de términos independientes. Definición de matriz Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Definición Una matriz sobre R es una estructura rectangular a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n A= . .. .. , . . . . . . . am1 am2 . . . amn donde aij ∈ R y se denominan elementos de la matriz. Notación El conjunto de todas las matrices m × n con elementos en R las denotaremos por Mm×n . Filas y columnas Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Definición ai1 ai2 . . . ain aj1 aj2 .. . es la i-ésima fila de A. es la j-ésima columna de A. ajm aij es el elemento en la fila i y la columna j. Si la matriz tiene m filas y n columnas, se dice que es una matriz m × n. Tipos particulares de matrices Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Sea A ∈ Mm×n . A es una matriz: fila, si m = 1. columna, si n = 1. cuadrada, si m = n. La diagonal principal de A la forman los elementos a11 , a22 , . . . , ann . diagonal, si aij = 0 ∀i 6= j. triangular superior, si aij = 0 ∀i > j. triangular inferior, si aij = 0 ∀i < j. La matriz identidad In es la matriz diagonal de orden n con aii = 1 ∀i = 1, . . . , n. La matriz nula 0m×n es la matriz m × n con aij = 0 ∀i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , m. Igualdad de matrices Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Definición Sean A ∈ Mm×n y B ∈ Mp×q . A es igual a B (A = B) si m = p, n = q, aij = bij ∀i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n. Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Propiedades: Reflexiva: A = A ∀A ∈ M. Simétrica: A = B ⇒ B = A ∀A, B ∈ M. Transitiva: A = B, B = C ⇒ A = C ∀A, B, C ∈ M. Suma de matrices Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Definición Sean A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm×n . Llamamos matriz suma de A y B a la matriz C = A + B ∈ Mm×n tal que cij = aij + bij Sean A, B, C ∈ Mm×n , se verifican las propiedades: Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C ). Conmutativa: A + B = B + A. Existe neutro Om×n : A + Om×n = Om×n + A = A. El opuesto de A es −A = (−aij ): A + (−A) = −A + A = Om×n Producto de un escalar por una matriz Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Definición Sean A = (aij ) ∈ Mm×n y λ ∈ R. La matriz λA es la matriz m × n cuyos elementos son λaij , i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n. Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Sean A, B ∈ Mm×n , λ, µ ∈ R, se verifican las propiedades: Distributiva: λ(A + B) = λA + λB. Distributiva: (λ + µ)A = λA + µA. Asociativa: (λ · µ)A = λ · (µA). Existe neutro 1 ∈ R: 1A = A. Producto de matrices Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Definición Sean A ∈ Mm×n y B ∈ Mn×p . Llamamos matriz producto de A por B a la matriz C = AB ∈ Mm×p tal que cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj . Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa a 11 . . . ai1 . . . am1 a12 . . . ai2 . . . am2 ··· ··· ··· a1n . . . ain . . . amn b11 b21 . . . bn1 ··· ··· ··· b1j b2j . . . bnj ··· ··· ··· b1p b2p . . . bnp c11 = cn1 ··· cij ··· c1p c1p Propiedades del producto de matrices Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Sean A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p , C ∈ Mp×q . Se verifican las propiedades: Asociativa: (AB)C = A(BC ). Distributivas: Sean A, B ∈ Mm×n , C ∈ Mn×p , entonces (A + B)C = AC + BC . Sean A, inMm×n , B, C ∈ Mn×p , entonces A(B + C ) = AB + AC . Existe neutro por la derecha In : AIn = A. Existe neutro por la izquierda Im : Im A = A. Asociativa: λ(AB) = (λA)B = A(λB), ∀λ ∈ R. No conmutatividad del producto de matrices Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Observación Sistemas de ecuaciones lineales El producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa. Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Ejemplo 3 −1 1 2 Sean A = 1 0 2 y B = 1 . 2 1 1 0 Matriz inversa Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Definición Sistemas de ecuaciones lineales A ∈ Mn es invertible si existe una matriz B tal que Op. elementales Notación matricial AB = BA = In . Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Diremos que B es la inversa de A. Observación B debe pertenecer a Mn . Propiedades de la inversa Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Propiedades: No toda matriz cuadrada tiene inversa. Si A es invertible, entonces tiene una única inversa y se denota por A−1 . Si A es invertible, entonces A−1 también lo es y su inversa es A. Si A y B son invertibles, entonces AB también lo es y su inversa es (AB)−1 = B −1 A−1 . El cálculo de la inversa lo abordaremos más adelante. Matriz traspuesta Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Definición Sea A = (aij ) ∈ Mm×n . La matriz B ∈ Mn×m con B = (bij ) = (aji ) se llama matriz traspuesta de A. La denotamos por AT : AT = (aji ). Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Propiedades: (AT )T = A. (A + B)T = AT + B T . (AB)T = B T AT . A invertible ⇒ AT invertible y (AT )−1 = (A−1 )T . Matriz simétrica Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Definición Una matriz A ∈ Mn se dice simétrica si AT = A. Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Ejemplo 1 2 −1 A= 2 0 3 −1 3 7 es simétrica. Objetivo Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Objetivo: obtener un método útil de resolución de sistemas lineales. Para lograrlo sistematizaremos el método de eliminación de incógnitas que aplicamos en la resolución del sistema lineal considerado anteriormente: x + 2y + 3z = 6 2x − 3y + 2z = 14 −→ x = 1, y = −2, z = 3. 3x + y − z = −2 Matriz ampliada Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Sea el sistema lineal a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .. A. . . am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm El método comenzará considerando la matriz ampliada A∗ del sistema A: a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2 A∗ = (A|b) = . .. .. .. .. .. . . . . am1 am2 . . . amn bm Matrices escalonadas Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Definición El primer elemento no nulo de cada fila de una matriz se denomina pivote. Observación Si todos los elementos de una fila son 0, dicha fila no tiene pivote. Definición La matriz A es escalonada cuando cumple las propiedades: Si A tiene k filas en las que todos sus elementos son 0, éstas son las últimas k filas de A. Todo pivote de A, excepto el de la primera fila, tiene más ceros a su izquierda que el de la fila anterior. Matrices escalonadas reducidas Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Definición La matriz A es escalonada reducida cuando es escalonada y además cumple: Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Todos los pivotes de A son iguales a 1. Si un elemento de A que no es pivote está situado en la misma columna que un pivote, entonces es 0. Ejemplo. Matrices escalonadas Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Ejemplo ¿Son escalonadas las siguientes matrices? Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa 1 0 3 4 0 1 −2 5 A= 0 1 2 2 , 0 0 0 0 B= 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 −4 2 7 7 4 0 6 5 −3 −2 −1 0 0 −1 2 0 0 0 0 1 −3 9 0 2 0 6 C = 0 0 0 1 −2 0 2 0 0 0 0 0 1 3 Ejemplo. Matrices escalonadas Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa ¿Son escalonadas las siguientes matrices? 1 0 3 4 0 1 −2 5 A= 0 1 2 2 , 0 0 0 0 A no es escalonada B= 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 −4 2 7 7 4 0 6 5 −3 −2 −1 0 0 −1 2 0 0 0 0 B es escalonada 1 −3 9 0 2 0 6 C = 0 0 0 1 −2 0 2 0 0 0 0 0 1 3 C es escalonada reducida Operaciones elementales Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa A una matriz A le podemos aplicar tres tipos de operaciones elementales que afectan a sus filas: Tipo I: fi ↔ fj , i 6= j. Tipo II: fi → fi + λfj , i 6= j. Tipo III: fi → βfi , β 6= 0. Donde fi es la fila i de la matriz A. Definición Dos matrices A y B son equivalentes si se puede transformar la matriz A en la matriz B mediante una sucesión de operaciones elementales. Matrices equivalentes Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Teorema Para cada matriz A existe una matriz escalonada equivalente a A. Además para transformar A en una matriz escalonada sólo se necesitan operaciones elementales tipo I y II. Ejemplo Transfórmese la matriz A en una 0 0 3 6 A= 3 6 0 0 matriz escalonada equivalente. 2 6 1 2 0 −1 1 5 Matrices equivalentes Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Teorema Para cada matriz A existe una matriz escalonada reducida equivalente a A. Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Ejemplo Encuéntrese una matriz escalonada reducida equivalente a: 0 0 2 6 3 6 1 2 A= 3 6 0 −1 0 0 1 5 Matrices equivalentes Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Teorema Para cada matriz A existe una y sólo una matriz escalonada reducida equivalente a A. Correlación entre operaciones elementales Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Dada la identificación entre a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n = b2 .. .. A . . am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn = bm Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa y A∗ = a11 a21 .. . a12 a22 .. . ... ... .. . a1n a2n .. . b1 b2 .. . am1 am2 . . . amn bm , Correlación entre operaciones elementales Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa ... se tiene tiene una correlación entre las operaciones elementales que afectan al sistema lineal y las operaciones elementales que afectan a su matriz ampliada: Tipo I: Ei ↔ Ej equivale a fi ↔ fj . Tipo II: Ei → Ei + λEj equivale a fi → fi + λfj . Tipo III: Ei → βEi equivale a fi → βfi , β 6= 0. Teorema Sean A y B dos sistemas lineales cada uno con m ecuaciones y n incógnitas. Si las matrices ampliadas A∗ y B ∗ son equivalentes, entonces A y B son equivalentes, es decir, tienen las mismas soluciones. Número de soluciones Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Teorema Sea A un sistema lineal con n incógnitas cuya matriz ampliada A∗ es escalonada reducida, entonces: A es incompatible si A∗ tiene un pivote en la última columna. A es compatible determinado si A∗ tiene n pivotes y ninguno de ellos está en la última columna. A es compatible indeterminado si A∗ tiene menos de n pivotes y ninguno de ellos está en la última columna. Observación Se tiene el resultado análogo para A∗ matriz escalonada. Método de Gauss Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Método de Gauss o de eliminación gaussiana para resolver sistemas lineales Sea AX = b. Paso 1: Formar la matriz ampliada A∗ . Paso 2: Mediante operaciones operaciones elementales por filas obtener una matriz C ∗ escalonada equivalente a A∗ . Paso 3: Resolver (en caso de que sea compatible) el sistema lineal correspondiente a C ∗ mediante sustitución hacia atrás. Ejemplo. Eliminación gaussiana Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Ejemplo Resuélvase el siguiente sistema lineal mediante el método de eliminación gaussiana: x + 2y + 3z = 9 2x − y + z = 8 3x − z = 3 Método de Gauss-Jordan Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Método de Gauss-Jordan para resolver sistemas lineales Sea AX = b. Paso 1: Formar la matriz ampliada A∗ . Paso 2: Transformar A∗ en su forma escalonada reducida C ∗ mediante operaciones elementales por filas. Paso 3: Para cada fila distinta de cero en C ∗ se despeja la incógnita correspondiente al pivote de esa fila. Variables básicas y libres Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Definición Una columna pivote de una matriz A es aquella que está en la misma posición que una columna de la forma escalonada o escalonada reducida de A que contiene a un pivote. Definición Las incógnitas o variables correspondientes a las columnas pivote se denominan variables básicas. Las restantes se denominan variables libres Observación Las variables que se despejan en el Paso 3 del método de Gauss-Jordan son las variables básicas. Las demás son las variables libres. Ejemplo. Método de Gauss-Jordan Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Ejemplo Resuélvase el siguiente sistema lineal mediante el método de Gauss-Jordan: 3x + 6y + z = 2 2x + 4y + 3z = 6 x + 2y + 3z = 6 ¿Qué procedimiento emplearemos en cada caso? Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas incompatibles: Método de Gauss. Sistemas compatibles determinados: Método de Gauss. Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Sistemas compatibles indeterminados: Método de Gauss-Jordan. Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Ejemplo Resuélvase el siguiente sistema lineal: x + y − z = 1 2x + y + z = 2 4x + 3y − z = 0 Recordamos la definición Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial La inversa de una matriz A ∈ Mn es una matriz A−1 ∈ Mn tal que AA−1 = A−1 A = In Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Teorema Sean A, B ∈ Mn . Si AB = In , entonces BA = In . SI BA = In , entonces AB = In . Objetivo Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Objetivo: Dada una matriz A, obtener un método práctico para calcular A−1 . Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Lo lograremos con el método de Gauss-Jordan para el calculo de la inversa. Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sea A ∈ Mn . Buscamos B = (bij ) ∈ Mn tal que AB = BA = In . Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Notación: Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa xj = b1j b2j .. . bnj , 0 .. . 0 ej = 1 ← j, 0 .. . 0 j = 1, . . . , n. Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Determinar B tal que b11 b12 b21 b22 A . .. .. . ··· ··· .. . b1n b2n .. . bn1 bn2 · · · bnn = 1 0 ··· 0 1 ··· .. .. . . . . . 0 0 ··· 0 0 .. . 1 equivale a determinar n matrices x1 , . . . , xn ∈ Mn×1 tal que Axj = ej , j = 1, . . . , n. Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Utilizaremos el método de Gauss-Jordan para resolver los sistemas Axj = ej , j = 1, . . . , n. Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Observación Como todos tienen la misma matriz de coeficientes los resolveremos de forma simultánea. Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Consideramos la matriz n × 2n (A|e1 e2 · · · en ) = (A|In ) y la transformamos a la forma escalonada reducida Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa (C |D). La matriz (C |D) da lugar a n sistemas lineales Cxj = dj , j = 1, . . . , n, donde dj son las columnas de D. Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Casos posibles: 1 C = In . Entonces xj = dj y B = D. 2 C 6= In . Entonces C tiene un fila llena de ceros (C ∈ Mn escalonada reducida) y D no (se obtiene haciendo operaciones elementales en In ). ⇓ Uno de los sistemas Cxj = dj no tiene solución. ⇓ Axj = ej tampoco tiene solución. ⇓ A no tiene inversa. Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Sea A ∈ Mn . Paso 1: Formar la matriz ampliada (A|In ). Paso 2: Transformar (A|In ) en su forma escalonada reducida (C |D) mediante operaciones elementales por filas. Paso 3: 1 2 Si C = In , entonces A−1 = D. SI C 6= In , entonces A es singular y no existe A−1 . Ejemplo. Cálculo de la inversa. Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notación matricial Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta Resolución de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales Método de Gauss Método de Gauss-Jordan Cálculo de la inversa Calcúlense, en caso de que existan, las inversas siguientes matrices: 1 3 3 1 3 A= 1 4 3 B= 1 4 1 3 4 1 5 de las 3 3 3
