7.- MÁQUINAS SÍNCRONAS EN ESTADO TRANSITORIO

7.- MÁQUINAS SÍNCRONAS EN ESTADO TRANSITORIO
El objetivo de las características nominales de funcionamiento es de evitar
el deterioro del generador, ocasionado por la utilización incorrecta del
mismo. Por este motivo, toda máquina tiene sus características nominales
de funcionamiento marcadas en una placa, la misma que se halla adherida
a ella en un lugar visible.Las especificaciones principales nominales típicas
de las máquinas síncronas son: Tensión, frecuencia, velocidad, potencia
aparente, factor de potencia, factor de servicio, corrientes de campo y
armadura.
A
R
U1
Wm
V
S
A
V1
V
T
A
FASE R U2
W1
FASE S V2
FASE T W2
ESTATOR
MOBIL
ROTOR
F1
A
+
V
SW1
F2
SW2
_
Anillos rozantes
Juego de escobillas
Figura N°7.1.- Esquema típico de los generadores trifásicos
Cuando las cargas son altamente inductivas podemos notar que el ángulo
de la corriente de carga exige la máxima Egpermisible cuando V se halla en
su valor nominal.
Es posible hacer trabajar, a la máquina síncrona, respetando estas
restricciones.
98
_
IaR
Radj.
Rf
Vf
Lf

_
Ra
X
Xad
EfaR
_
VR
Figura N° 7.2.- Modelo monofásico exacto específico del generador
Síncrono.
En la figura N° 7.2 representamos a los parámetros eléctricos que conforman los circuitos de campo y los circuitos de la armadura.
Aplicando la LKV a estos circuitos tenemos:
Vf =Radj. If + ( Rf + Lf p ) If.
Circuito de campo.
EfaR = VR+[ Ra + j ( X + Xad ) ] IaRCircuito de armadura
EfaR = VR+ [ Ra + j Xs ] IaR
7.1.- MÁQUINAS SÍNCRONAS EN ESTADO TRANSITORIO
A continuación presentamos el modelo por fase a utilizarse en los estudios
de cortos circuitos que se presentan en los sistemas eléctricos de potencia.
Modelamiento del sistema eléctrico
Corriente de corto circuito.- Es el abundante flujo de electrones que
fluye por un punto defectuoso mientras dura la falla.
Modelo.- Es la representación física de un sistema eléctrico para lo cual se
utilizan elementos pasivos (R, L y C) y elementos activos (fuentes AC).
Interruptor.- Equipos diseñados para despejar, en forma rápida, las fallas
desobrecorriente y corto circuito ocurridos en un sistema eléctrico.
Cuando se produce el corto circuito sucede:
El Generador ve que Ztotal cae bruscamente.
99
GENERADOR
IA
LINEA TX
CARGA
Ia1
If
Vf
˜
MP
Ra j Xs
(+)
Ea
V
Icc
ZL
(-)
Figura N° 7.3.- Modelo monofásico del GS y de la corriente de corto circuito
En consecuencia el generador inyecta una alta corriente llamado Icc.
El IA debe despejar la falla de inmediato.En el momento que sucede el
corto circuito los valores de la reactancia síncrona son reemplazados por los
valores de la reactancia sub-transitoria Xd’’.
El generador síncrono resulta siendo el elemento de más importancia
dentro de todo el sistema eléctrico de potencia (SEP). El GS desarrolla y
soporta todas las solicitaciones de las cargas manteniendo los niveles de
tensión dentro de una franja estrecha, de tal manera que no afecte el
normal funcionamiento de las cargas, garantizando la continuidad y estabilidad del sistema.
En consecuencia el generador síncrono es el único elemento activo que
proporcionarála corriente de corto circuito al sistema eléctrico de potencia.
7.2.- PRUEBAS DE CORTO CIRCUITO TRIFÁSICO DEL ALTERNADO
Se trata de construir un modelo general que me permita producir diversos
cortos circuitos que deben ser analizados con equipos sumamente rápidos
denominados oscilógrafos de alta sensibilidad que registrará la evolución de
la corriente durante todo el periodo de la falla.
El ensayo es llevado a cabo como sigue:
100
Aplíquese el corto circuito trifásico a los terminales del generador que
inicialmente se halla con tensión nominal y girando en vacío a Wm síncrona.
El oscilógrafo registrará las variaciones de la corriente de cortocircuito (Icc)
Las Icc están compuestas por una componente de continua y alterna.
Independientemente de cuando ocurra el levantamiento del corto circuito
por el disyuntor todas las componentes de esta corriente están contenidas
en la envoltura.Por tanto para analizar la Icc bastará analizar a la envolvente que representa a todas las corrientes ocurridas en el corto circuito.
W1
Sc
TC
Ic
C
Ia
Sa
TC
A
Sab
If
Vf
B
Ib
TC
Sb
+ OSCIL.
N° 1
OSCIL.
N° 2
OSCIL.
N° 3
Figura N° 7.4.- Ensayo de corto circuito trifásico de un generador síncrono
I”max. b
( a ) Corriente fase A
I’max
a
Periodo sub transitorio
c
Periodo transitorio
d
Imax g
Fig. N° 3
Periodo permanente
h
tiempo
o
( b ) Corriente fase B
Envoltura permanente dc
Envoltura transitoria
( c ) Corriente fase C
Figura N° 7.5.- Corrientes de corto circuito y sus componentes.
101
Nótese que la forma de onda de Icc no es fija.También se puede ver que la
Icc es simétrica, con respecto al eje de tiempo, por éste motivo se le
conoce como corriente simétrica de corto circuito.
Como el generador sufre la Icc que inicialmente es muy grande y va decreciendo hasta su valor de régimen permanente, entonces podemos decir que
elGS tiene una reactancia interna variable desde un valor pequeño hasta Xs.
Esto es:
Xinicial<Xgenerador<Xs
Como la resistencia interna de los arrollamientos de fase del generador es
muy pequeña en relación con la reactancia interna, no se considera en el
modelo de corto circuito.
Teniéndose mucha dificultad en el cálculo de la corriente de corto circuito
es que la envolvente se divide en tres periodos:
-
Periodo sub-transitorio.
-
Periodo transitorio.
-
Periodo de régimen permanente.
Para su mayor entendimiento se estudiará cada periodo y es como sigue:
7.2.1.-Periodo sub transitorio de la corriente de corto circuito y
reactancia sub-transitoria (Xd’’) .- El periodo sub-transitorio es
caracterizado por la región bcde la figura N° 7.5 y es el periodo inicial de la
corriente de corto circuito. En este periodo contribuyen las bobinas
del estator, bobinado del campo y el circuito de amorti-guamiento
ubicado en la parte móvil de la máquina (jaula ubicada en la cabeza
del polo del rotor).Apenas exista deslizamiemto en es
este bobinado comenzará una circulación de corriente por su jaula
seccionada, la misma que producirá un flujo adicional impidiendo
mayores oscilaciones del rotor principal.
Por tanto el bobinado de amortiguamiento es importante para
aumentar la estabilidad de los sistemas eléctricos.En ausencia del
102
bobinado de amortiguamiento no existiría el periodo sub-transitorio.
Cuando la máquina trabaja en periodo permanente, el bobinado de
amortiguamiento es como si no existiera, no desarrolla ningún
trabajo.
La reactancia sub-transitoria (X “) está definida como:
X” = E/I”
Siendo:
E = Voltios eficaz línea neutro del G.S antes del corto circuito.
I’’ = I’’ max / 1.4142 Valor eficaz de la corriente de corto circuito.
7.2.2.- Periodo transitorio de la corriente de corto circuito y
reactancia transitoria (xd’).-En ésta zona el decaimiento de la
curva es mas suave y el tiempo de duración es mucho mas prolongado que el sub-transitorio. El responsable de este periodo es el
arrollamiento del campo principal del generador. Durante el corto
circuito, el cambio brusco cambia el estado de la topología de la
red provocando oscilaciones. En éste momento el campo principal
hace funcionar a la jaula del bobinado de amortiguamiento creando
una tensión inducida por reacción; y por tanto, una corriente circulante alterna, esto se produce por las barras de dicho circuito. El
arrollamiento de campo es fortalecido por la corriente AC de corto
circuito de la jaula del bobinadoamortiguador. Finalmente el generador entra a la zona de régimen permanente.La reactancia
transitoria (X‘) está definida como:
Siendo:
X’ = E / I’
E = Voltios eficaces fase neutro del G.S antes del corto circuito.
I’ = I’max / 1.4142 Valor eficaz de la corriente de corto circuito.
103
7.2.3.- Periodo permanente de la corriente de corto circuito y
reactancia síncrona ( Xs ).-Este periodo es caracterizado por la
lazona dhde la figura N°7.5, nótese que la envoltura coincide con
los picos de las ondas sinusoidales. Los corto circuitos deben ser
eliminados por el sistema de protección en el periodo subtransitorio, si esta falla persiste deberá accionar la protección
temporizada (de respaldo) que actúa en el periodo transitorio.
La reactancia síncrona (Xs) esta definida como:
X = E/I
Siendo:
E = Voltios eficaz fase neutro del G.S antes del corto circuito.
I = I max /  2 Valor eficaz de la corriente de corto circuito.
7.2.4.- Ecuación de la envolvente de la corriente de corto circuito.La curva envolvente descrita en la figura N°7.5 es representada
por la siguiente ecuación.
I(t)envoltura = (I”max.- I’max.).M+(I’max.- Imax.).N +Imax
Siendo:
M
=
exp. ( - t / T” )periodo sub transitorio.
N
=
exp. ( - t / T’ ) periodo transitorio.
I” max. = Es la corriente máxima en el periodo sub-transitorio.
I’ max. = Es la corriente máxima en el periodo transitorio.
I max. = Es la corriente máxima en el periodo de régimen permanente.
T” y T’ son las ctes. de tiempo de los periodos sub-transitorio y
transitorio dados en segundos.
A continuación presentamos la tabla N°7.1
de los valores de
lasconstantes de tiempo de los generadores síncronos:
104
Tabla N° 7.1.- Constantes de tiempo (seg) de los generadores síncronos
TIPO
DE
MAQUINA
TURBO
GENERADORES
Td ” en seg.
0.03
0.02 -- 0.05
1.3
0.5 ---1.8
10
5 –15
0.15
0.07 -- 0.40
Td’ en seg.
Tdo’ en seg.
Tcc en seg.
GS DE POLOS SALIENTES
GS DE POLOS SALIENTES SIN
CON BOBINADO DE
BOBINADO DE
AMORTIGUAMIENTO
AMORTIGUAMIENTO
VELOCIDAD DEL ROTOR DEL GENERADOR SINCRONO
ALTA 2P> 18
BAJA 2P< 18 ALTA 2P> 18 BAJA 2P< 18
0.03
0.03
0.02 – 0.05
0.02 -- 0.05
1.6
1.6
1.6
1.6
0.7 --- 2.5
0.7 -- 2.5
0.7 -- 2.5
0.7 -- 2.5
6
5
6
5
4 -- 10
3 - 8
4 -- 10
3 -- 8
0.18
0.22
0.30
0.35
0.10 -- 0.40
0.10 -- 0.40 0.15 -- 0.50 0.20 -- 0.50
Td ’Cte. de tiempo transitoria en seg.
Td ’’
Cte. de tiempo sub-transitoria en seg.
Tdo’ Cte. de tiempo en vacío en seg.
Tcc
Cte. de tiempo de la componente de CC.
Tabla N°7.2.- Valores típicos de los generadores síncronos.
TIPO DE
MAQUINA
TURBO
GENERADORES
GS DE POLOS SALIENTES
GS DE POLOS SALIENTES SIN
CON BOBINADO DE
BOBINADO DE
AMORTIGUAMIENTO
AMORTIGUAMIENTO
VELOCIDAD DEL ROTOR DEL GENERADOR SINCRONO
ALTA 2P < 18
Xd ”en %. saturada
Xd’ en % saturada
Xd en %. Saturada
Relación de corto
circuitoen vacío Ko
Reactancia negativa
X2 en %
Reactancia Cero
Xo en %.
ALTA 2P < 18
BAJA 2P > 18
12
9 -- 20
18
14 -- 25
160
120 – 200
0.60
0.5 -- 0.8
12
9 -- 20
18
14 – 23
27
20 -- 32
100
80 -- 140
1.0
0.7 -- 1.6
20
14 -- 25
BAJA 2P > 18
20
15 -- 25
30
22 -- 36
100
75 - 120
1.0
0.8 -- 1.2
24
15 -- 27
25
22 - 35
27
22 -- 35
100
40 -- 140
1.0
0.7 -- 1.6
45
36 -- 63
30
25 - 40
33
25 -- 40
100
75 -- 125
1.0
0.8 -- 1.2
50
35 -- 60
2 -- 10
3 -- 20
3 -- 22
4 -- 24
4 -- 30
105
7.3.-CORTOCIRCUITOS EN LOS GENERADORES SÍNCRONOS
Siendo el generador el único elemento activo de un sistema eléctrico,
entonces éste será el más afectado en presencia de fuertes perturbaciones
y/o corto circuitos.El análisis a realizarse tendrá en cuenta las siguientes
consideraciones:
.
El campo del generador debe girar a la velocidad síncrona y excitado
para producir la tensión nominal en sus terminales.
.
El circuito deberá estar en vacío.
Los cortocircuitos que van a ser analizados son los siguientes:
.
Corto circuitos trifásicos (3) - Corto circuito equilibrado.
.
Corto circuitos bifásicos (2) - Corto circuito desequilibrado.
.Corto circuitos bifásicos a tierra (2 – t) - Corto circuito desequilibrado.
.
Corto circuitos monofás. a tierra (1 – t) - Corto circuito desequilibrado
Para poder realizar los cortocircuitos antes indicados resulta necesario
utilizar el esquema de la figura N° 7.4.
Los arrollamientos de cada fase está representado por una bobina en serie
con una fuente de tensión ideal cuyo valor es igual a la tensión fase neutro del generador síncrono sin carga.
7.4.- MODELAMIENTO GENERAL DE LA MÁQUINA SÍNCRONA
F
VQ
Q
VR
R
VT
T
F
VF
VS
[ V ] = [ Z ] [I]
Q
R
s
Z11
IF
Z12
IQ
IR
=
S
Z21
IS
Z22
IT
T
[ VFQ ]
 =
[ VRST ]
[ Z11]
[ Z12 ]
[ I.FQ ]
[ Z21 ]
[ Z22 ]
[ I.RST ]
Tabla N° 7.3.- Matriz resultante correspondiente a la máquina general
106
A continuación plantearemos la matriz general de la máquina síncrona; es
decir, la máquina tiene cinco circuitos, esto nos permitirá formar una matriz
de 5 x 5.Como esta matriz es muy grande y complica al análisis los autores
más importantes (3) y (4) han presentado una subdivisión de 04 matrices
más pequeñas las cuales facilitan los cálculos.
En consecuencia la matriz general 5 x 5 se convierte en:
Teniendo en cuenta que la matriz de la máquina es muy extensa, entonces,
para facilitar el cálculo es que serán analizados tal como se indica en la
siguiente matriz general
F
=
R
S
Q
R
S
T
T
z12
z22
z11
z21
F
z
Q
Tabla N° 7.4.- Matriz Z en función de la cuatro componentes
Donde:
[ Z11]
Es la matrízestatórica FQ x FQ.
[ Z12 ]
Es la matríz estator - rotor FQ x RST
[ Z21 ]
Es la matríz rotor - estator RST x FQ
[ Z22 ]
Es la matrízrotórica RST x RST.
La matriz impedancia propia del campo está dado por la matriz siguiente,
en ella se visualiza la conducta del circuito de campo matriz Z11 que
interactúa solamente entre sí misma.
F
F
RF + p LF
Q
--------
Z11 =
Q
--------
RQ + p LQ
Tabla N° 7.5.- Matriz del campo de la M.S.
Dado la topología y diseño del estator la impedancia del estator es:Donde:
RR = SS = TT = R2
107
R
R
Z22 =
S
R2 + p LR
p MSR
S
p MTR
T
T
p MRS
p MRT
R2 + p LS
p MST
p MTS
R2 + p LT
Tabla N° 7.6.- Matriz del estator trifásico de la M.S.
Es la matriz impedancia propia del estator. Pero como la saliencia se halla
presente en el estator, esto implica, que las INDUCTANCIAS PROPIAS LR,
LS, LT depende de la posición del campo (allí está la saliencia) esto es:
LR = La + Lb cos 2
LS = La + Lb cos 22
LT = La + Lb cos 23
Las INDUCTANCIAS MUTUAS entre las fases R, S y T del estator MRS,
MRT, MST depende de la posición del campo esto es:
MRS = Ma+Mbcos23 MRT = Ma+Mbcos22, MST = Ma + Mbcos2
Las inductancias propias y mutuas tienen una parte constante y otra
variable por ejemplo en la fase A:
La, Ma
Es la parte constante.
Lb cos 2 , Mb cos 23
Es la parte variable.
La matriz Z21 se entiende como el comportamiento de la matriz del rotor
(desconectada) que se ve influenciada por las corrientes circulantes del
circuito estatórico.
F
Z21
=
Q
R
p MRF
p MRQ
S
p MsF
p MSQ
p MTF
p MTQ
T
Tabla N° 7.7.- Matriz del estator en función al rotor.
Donde:
108
MRF = MFcos 
MFS = MFcos (  - 2 / 3 ) = Mcos 2
MFT = MFcos (  + 2 / 3 ) = Mcos 23
MQR = MQ sen 
MQS = MQ sen (  - 2 / 3 ) = Mcos 2
MQT = MQ sen (  + 2 / 3 ) = Mcos 23
F
Z21 =
Q
R
MF p cos 
MQ p sen 
S
MF p cos 2
MQ p sen 2
T
MFp cos 3
MQ p sen 3
Tabla N° 7.8.- Matriz del estator final en función al rotor.
Reemplazando
las
inductancias
mutuas
correspondientes
por
sus
equivalentes tenemos la expresión final de la matriz Z21.
Dado la topología del estator y rotor (igual número de vueltas de las fases
del estator) es que dentro del análisis de la máquina las matrices Z21 y la
t
matriz Z12 tienen la siguiente particularidad: [ Z12 ] = [Z21 ]
Al aplicar esta propiedad la nueva expresión de Z12 es:
R
S
T
F
MF p cos 
MF p cos 2
MF p cos 3
Q
MQ p sen 
MQ p sen 2
MQ p sen 3
Z12 =
Tabla N° 7.9.- Matriz del rotor en función al estator.
De esta manera se han encontrado las cuatro sub-matrices de la máquina
en cuestión.
109
7.5.- TRANSFORMACION DE FASES
Para hacer la transformación de fases utilizamos la matriz:
[ C1 ] =
[U]
-----
-----
[ C1 ]
[ Z’ ] = [ C1 ] t [ Z ] [ C1 ]
[ Z11 ]
Z’
=
Z’
=
[ C
]t
Z’ =
Q
B
A
[ C ] t [ Z22 ] [ C1 ]
[ Z21 ]
[ Z11’ ]
[ Z12 ’ ]
[ Z21’ ]
[ Z22 ’ ]
F
F
[ Z12 ] [ C1 ]
Q
B
A
RF + LFp
--------
MF p cos 
- MF p sen 
--------
RQ + LQp
MQ p sen 
M p cos 
MF p cos 
MQ p sen 
- MFp sen  MQ p cos 
R2 + La + Lbp cos2
- Lbp sen2
- Lbp sen2
R2 + La + Lbp cos2
Tabla N° 7.10.- Matriz correspondiente a la máquina bifásica.
Completa C1 tal como se presenta a continuación:
Operando estas matrices podremos encontrar la matriz Z’ correspondiente a
una máquina bifásica en el que se halla presente las variaciones del campo
magnético giratorio como consecuencia de la presencia de las sapiencias
del entrehierro.
7.6.-TORQUE ELECTROMAGNÉTICO
El torque electromagnético producido por el campo giratorio sobre el
circuito estatórico está dado por: Te = [ I’] d / d [ L’ ]. [ I' ] N - m.
Donde la matriz de inductancia de la máquina bifásica está dada por la
matriz Z’ = R’ + p L’ (siendo R’ = 0).
110
F
F
Z’ =
A
B
--------
--------
Q
B
Q
--------
-------MQ p sen 
RQ + LQp
MF p cos 
MQ p sen 
- MFp sen  MQ p cos 
A
- MF p sen 
M p cos 
Lbp cos2
- Lbp sen2
- Lbp sen2
Lbp cos2
Tabla N° 7.11.- Matriz de las inductancias L’ de la máquina bifásica.
Desarrollando la matriz de torque electromagnético tenemos:
Te = MF iF (- iFsen + iQ cos) + MQ iQ (iAcos - i Bsen )
+ Lb(2 iA iB cos 2 - iA² sen 2 - iB² sen 2) N - m.
7.7.- TRANSFORMACIÓN DE CONMUTACIÓN
La matriz de transformación completa es:
[ C2 ]=
[U]
-----
-----
[ C2 ]
[ Z’’ ] = [ C2 ] t [ Z’ ] [ C2 ]
[ Z11’ ]
Z’’
=
Z’’
=
[ C2
]t
[ Z12 ] [ C2 ]
[ Z21’ ]
[ C2 ] t [ Z22 ] [ C2 ]
[ Z11’’ ]
[ Z12 ‘’ ]
[ Z21’’ ]
[ Z22 ‘’ ]
Desarrollando cada uno de los miembros de Z’’, encontramos finalmente
la matriz de impedancia de la maquina general d-q.
La matriz siguiente es la que corresponde a la máquina general la cual se
ha obtenido a partir de la teoría general llegándose ha determinar la matriz
general de una máquina de conmutador, donde las variaciones de la
inductancia ya no existen y el campo magnético de ambos circuitos es
constante; la matriz siguiente corresponde a una máquina cuyos ejes
magnéticos coinciden con los d – q de la máquina de conmutador.
111
F
Z’’ =
F
Q
B
RF + LFp
--------
--------
MFp
--------
Q
--------
RQ + LQp
MQ p
B
- MF Wm
MQ p
R2 + LAp
MFp
MQ Wm
LA Wm
A
A
- LB Wm
R2 + LBp
Tabla N° 7.12.- Matriz completa de la máquina general de conmutador
VQ
Q
iQ
La figura N° 7.6 muestra el modelo
_
presentado corresponde a una máquina
Vq
general de conmutador cuyos ejes
F
magnéticos son d – q.
iF
VF
id
+
iq
+
Vd
_
Figura N° 7.6.- Modelo de la máquina general de conmutador
7.8.- TORQUE ELECTROMAGNÉTICO
Para evaluar el torque electromagnético aplicamos la siguiente expresión:
Te = [ I’’ ] [ G’’ ] . [ I’’ ]
N - m.
iA
Te =
----
------
------
-----
----
---
-----
-----
iB
- MF
---
-----
- LB
iq
LA
-----
iA, iB, iq, id
----
MQ
id
Tabla N° 7.13.- Matriz de la reactancia rotacional de la M.G.C.
Desarrollando la matriz de torque electromagnético tenemos:
Te = iB(- MF.iF - MD.iD – LA.iA). iq + iA(- MQ.iQ – MB.Ib) N - m.
112