Triedro de Frenet de una Astroide

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Astroide
Triedro de Frenet de una Astroide
O r d t/ a$cos3 t , b$sin3 t , cos 2$t :
O ad2: bd3:
O spacecurve r t , t = 0 ..2$Pi, axes = normal, thickness = 2, color = green ;
Vamos a calcular los elementos del triedro de Frenet para el valor del parámetro t0=Pi/3.
O C d spacecurve r t , t = 0 ..2$Pi, axes = normal, thickness = 2, color = green :
Pi
O t0 d
:
3
O P d pointplot3d r t0 , color = blue, axes = normal, thickness = 5 :
O display C, P :
Calculamos los puntos singulares de la astroide.
O convert r' t , set ;
K6 cos t
O solve convert r' t , set ;
2
2
sin t , 9 sin t
cos t , K2 sin 2 t
(1.1)
1
1
1
1
π , t=K π , t=
π , t=K π
2
2
2
2
t=0 , t=π , t=0 , t=π , t=
(1.2)
Los siguienes puntos son los puntos dingulares de la astriode:
O P1 d simplify subs t = 0, r t ;
1
P2 d simplify subs t =
π, r t
2
P3 d simplify subs t = π, r t
;
1
P4 d simplify subs t =K π, r t
2
;
;
P1 := 2, 0, 1
P2 := 0, 3, K1
P3 := K2, 0, 1
P4 := 0, K3, K1
Calculamos los vectores del triedro de Frenet
O vn d t/simplify crossprod vb t , vt t
O vt t0 ;
vn t0 ;
vb t0 ;
6
9
K
7
49
49
97
1666
34
1
34
Comprobación:
O simplify innerprod
simplify innerprod
simplify innerprod
simplify innerprod
simplify innerprod
simplify innerprod
7
13
833
:
8
49
21 K
102
1
17
34 K
1
1
1
0
0
0
7
15
1666
7
3
34
102 K
vt t , vt t ;
vn t , vn t ;
vb t , vb t ;
vt t , vn t ;
vt t , vb t ;
vn t , vb t ;
(1.3)
102
34
7
(1.4)
(1.5)
Calculamos ahora la recta tangente, la recta normal principal y la recta binormal.
O rt d λ/evalm r t0 Cλ$vt t0 :
rn d λ/evalm r t0 Cλ$vn t0 :
rb d λ/evalm r t0 Cλ$vb t0 :
Representamos ahora las rectas tangente, normal principal y binormal.
O RectaTangente d spacecurve rt λ , λ = 0 ..1, color = red, axes = normal :
RectaNormal d spacecurve rn λ , λ = 0 ..1, color = red, axes = normal :
RectaBinormal d spacecurve rb λ , λ = 0 ..1, color = red, axes = normal :
Calculamos ahora el plano normal, el plano osculador y el plano rectificante para a=Pi/2:
O X d x, y, z ;
X := x, y, z
O pn d t/evalm innerprod X K r t , vt t
po d t/evalm innerprod X K r t , vb t
pr d t/evalm innerprod X Kr t , vn t
O numer pn t0 = 0;
numer po t0 = 0;
numer pr t0 = 0;
K20
K 7
7 K48
K7
102 C4
67
34 K388
7 x K81
21
102 x C9
3
34 x C117
(1.6)
:
:
:
3 C72
34 K8
102
21 y K64
34 y K12
3 K104
7 z=0
102 z = 0
102 y K60
34 z = 0
Representamos los tres planos y la curva.
O PlanoNormal d implicitplot3d pn t0 , x = 0 ..3, y =K1 ..1, z =K1 ..1, axes = normal, color
= pink :
O Osculador d implicitplot3d po t0 , x =K1 ..1, y =K1 ..1, z =K1 ..1, axes = normal, color
= red :
O Rectificante d implicitplot3d pr t0 , x = 0 ..1, y =K1 ..1, z =K1 ..1, axes = normal, color
= blue :
O display P, C, Osculador, Rectificante, PlanoNormal, scaling = constrained :
O display C, P, RectaTangente, RectaNormal, RectaBinormal ;
(1.7)
Veamos cómo se mueve el triedro de Frenet cuando nos movemos sobre la curva. Para ello
utilizamos el comando "animate".
O t0 d't0';
t0 := t0
O animate spacecurve, rt λ , rn λ , rb λ , λ = 0 ..1 , t0 = 0 ..2$Pi, color = red, scaling
= constrained, thickness = 3, background = C, frames = 150 ;
(1.8)
t0 = 0.
Curvatura
sqrt innerprod crossprod r' t , r'' t , crossprod r' t , r'' t
sqrt innerprod r' t , r' t 3
O simplify κ t ;
O κ d t/
6
K
sin t
2
cos t
2
4
sin t
cos t
2
45 cos t K97
4
20 cos t 2 C97
Ksin t
2
cos t
2
2
:
(1.1.1)
45 cos t K97
2
O solve 45 cos t K97, t ;
arccos
O simplify κ
Pi
3
1
15
485 , π Karccos
1
15
485
(1.1.2)
;
192
16807
34
7
(1.1.3)
Como para t=0 y t=π/2 la astroide tiene puntos singulares y para esos valores de t la curvatura no
está bien definida vamos a representar la curvatura sólo en el intervalo (0,π/2).
O plot κ t , t =
Pi Pi
Pi
..
K
;
40
2
40
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,2
0,4
0,6
0,8
t
1,0
1,2
1,4
Torsión
det concat r' t , r'' t ,r''' t
innerprod crossprod r' t , r'' t , crossprod r' t , r'' t
O simplify τ t ;
6
cos t sin t 20 cos t 2 C97
O τ d t/
O solve cos t , t ;
solve sin t , t ;
1
π
2
0
:
(1.2.1)
(1.2.2)
Como para t=0 y t=π/2 la astroide tiene puntos singulares y para esos valores de t la torsión no
está bien definida vamos a representar la torsión sólo en el intervalo (0,π/2).
O plot τ t , t =
Pi Pi
Pi
..
K
40 2
40
;
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,2
O plot
τ t ,κ t ,t=
0,4
0,6
Pi Pi
Pi
..
K
;
40 2
40
0,8
t
1,0
1,2
1,4
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,2
0,4
0,6
0,8
t
1,0
1,2
1,4
Circunferencia Osculatriz
O t0 d
Pi
;
3
t0 :=
1
π
3
(1.3.1)
1
:
κ t
O simplify Radio t :
O Z d t/evalm r t C Radio t $vn t ;
Z := t/evalm r t CRadio t vn t
(1.3.2)
O Z t0 ;
4753
9
637
1
1
C
102 21 34 7 ,
3 C
21 7 , K
(1.3.3)
665856
8
3264
4
2
245
C
102 21 34 7
221952
La circunferencia osculatriz es la intersección del plano osculador con la superficie de ecuación:
O EcC d t/innerprod X KZ t , X KZ t KRadio t 2 :
O Radio d t/
O EcC t0 ;
1
4753
263
x2 K
xK
x 102 21 34 7 C
(1.3.4)
2
332928
64
3283
9
637
C
102 21 34 7 Cy2 K
y 3 K
y 21 7
1331712
4
1632
245
1911
3 21 7 Cz2 Cz K
z 102 21 34 7
C
110976
4352
Las ecuaciones paramétricas de la circunferencia osculatriz en P son:
O Circunferencia d θ/evalm Z t0 KRadio t0 $cos θ $vn t0 CRadio t0 $sin θ
$vt t0 ;
Circunferencia := θ/evalm Z t0 CVectorCalculus:-`-` Radio t0 cos θ vn t0
(1.3.5)
CRadio t0 sin θ vt t0
O COsculatriz d spacecurve Circunferencia θ , θ = 0 ..2$Pi, axes = normal, color
= red :
O display COsculatriz, C, Osculador ;
O t0 d't0';
t0 := t0
(1.3.6)
O animate spacecurve, Circunferencia l , l = 0 ..2$Pi , t0 = 0 ..2$Pi, color = red,
thickness = 1, background = C, frames = 150 ;
t0 = 0.
O