Proporcionalidad:

Apuntes de Matemáticas Financieras
Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez
Proporcionalidad:
A menudo encontramos ofertas en los centros comerciales que llaman nuestra atención,
tales como:
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Llévese 3 y pague 2.
El segundo artículo a la mitad de precio.
4 por el precio de 3.
15% de descuento en tota la línea de productos.
Cuando una razón se iguala a otra, se dice que existe proporcionalidad.
Una relación de proporcionalidad es una relación entre dos variables en las que el cociente
entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo y se denomina cociente de
proporcionalidad.
Dados dos números a y b una razón es el cociente entre esos números a/b
“Regla” no verdadera, pues esto hará que todas las relaciones crecientes sean relaciones de
proporcionalidad directa, esto no aplica para todos los casos.
Ejemplo 1, Si un niño a los 8 meses tiene 4 dientes. ¿Cuántos dientes tendrá a los 10 años?
Según la regla anterior tendrá 60 dientes. ¿Es cierto?
Ejemplo 2, si deseo construir un muro de 48 m2 y 2 albañiles construyen 24 m2 de muro al día,
con 4 albañiles se construyen los 48 m2 de muro en un día. Si contratamos 250 albañiles ¿en
cuánto tiempo se construye el muro? La respuesta está sujeta a los rendimientos decrecientes,
debido a que se estorbarían.
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Es importante analizar la condición del problema.
Habrá que hacer una lectura comprensiva y atenta del enunciado.
Si la condición no está dada, nada podremos decir de la relación.
Problemas resueltos.
16.- La producción en toneladas de cañas de azúcar por hectárea aumenta con los
kilogramos de fertilizante que se emplean, es decir, P = kf donde P es la producción, y f los
kilos de fertilizante ¿Cuántas toneladas por hectárea se producen en una parcela que se
abonó con 550Kg de fertilizante, si otra con condiciones semejantes produjo 130 toneladas
por hectárea con 650 kg de fertilizante? (Villalobos, 2007, pág. 21)
Datos: P = producción; f = kilos de fertilizante; k = constante de proporcionalidad
1º. Obtener la “k” con los datos existentes:
P = kf; 130 = k(650); despejamos “k” y tenemos: K = 130/650, el resultado es 0.20
2º. P es el valor que buscamos, entonces sustituimos:
P = kf; P = 0.20(550) y el resultado es: 110 toneladas.
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No pide ¿Cuántas toneladas se producen (P), con una parécela a la que se le abonó 550 kg de
fertilizante (f)?
17.- El volumen de ventas de un complemento dietético aumenta si se incrementa el
número de veces en que se anuncia en televisión. Si el artículo se anuncia 5 veces por
hora, se venden 4,500 piezas ¿cuánto se venderá si se anuncia 6 veces por hora?
(Villalobos, 2007, pág. 21)
Datos: V = ventas; k = constante de proporcionalidad; t = frecuencia o número de veces que el
producto se anuncia.
Solución: V = kt;
Primero: buscamos k con los datos con los que contamos: 4500=k(5); entonces: k = 4500/5; K =
900
Segundo, sustituimos la información para encontrar la respuesta que es encontrar “V” esto es:
V = 900(6); la respuesta es: 5400 unidades se vendrán.
Proporcionalidad inversa:
Relación de proporcionalidad inversa
Se denomina relación de proporcionalidad inversa a la que se establece entre una variable
independiente “X” y una variable dependiente “Y”, de tal forma que el producto de ambas es
siempre igual a una constante k. Es decir: X (Y) = k.
Esta relación puede expresarse a modo de una función real de variable real, llamada
función de proporcionalidad inversa, que se escribiría genéricamente del modo siguiente:
Esta función estaría definida en todo el conjunto de los números reales excepto el punto
para el cual se anula el denominador (esto es, para x = 0).
18.- El bono mensual (B) que un empleado recibe por su puntualidad es inversamente
proporcional al número de minutos (m) que llega tarde a su trabajo. Lo que significa: B =
k/m
Si un empleado que llegó 3 minutos tarde recibió un bono de $350. ¿Cuánto recibirá otro
que llegó 5 minutos tarde? (Villalobos, 2007, pág. 22)
Solución:
Al igual que los anteriores, primero buscamos “k” con la información que tenemos y luego
sustituimos para encontrar el valor buscado, en este caso el valor del bono con 5 minutos de
retraso.
350 = k/3; k=350(3); k=1,050
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Ahora sustituimos para buscar el valor del bono con un empleado que demoró 5 minutos (m).
B = 1,050/5; B= $ 210.0
Proporcionalidad mixta: (2 o más variables en proporción múltiple)
19.- Si se supone que la calificación ( C ) que se obtiene en un examen está en proporción
directa al número de aciertos (n) y es inversamente proporcional al número de minutos (t)
en que se resuelve el examen, entonces: C = (k(n))/t
Si Alejandra obtuvo 90 de calificación en un examen con 18 aciertos y 45 minutos ¿Qué
calificación obtiene Carlos con 21 aciertos y si tardó 56 minutos para resolver el examen?
(Villalobos, 2007, pág. 23)
Solución: buscamos primero la constante de proporcionalidad a partir de los datos existentes:
El caso de Alejandra: C = 90; t=45; n=18
90 = (k(18)) / 45; k = [(90)(45)] / 18; k = 225
El caso de Carlos que es la pregunta que se realiza: n=21; t=56; y K=225 que se obtuvo en el
caso de Alejandra.
C = [225(21)]/56; la respuesta es: C = 84.38
20.- Se sabe que la calificación que un estudiante obtiene en un examen de matemáticas,
aumenta si crece el número de ejercicios que resolvió antes de realizarlo, pero es menor
cuando mayor sea el grado de cansancio. Sobre todo intelectual, con el que llega a realizar
tal examen. (Villalobos, 2007, pág. 20).
Ejercicios para resolver en clase
21.- Gabriela compró 5 kg de plátanos, si 2 kg cuestan $ 0.80, ¿cuánto pagará Gabriela y cuál es
el valor de la constante de proporcionalidad?
22.- Si cuatro entradas para el cine costaron $76.00, ¿cuánto costarán seis entradas y cuál es el
valor de la constante de proporcionalidad?
23.- Los profesores del Departamento de Economía reciben un bono mensual por su desempeño,
que es proporcional al número de puntos “T” logrados en el trimestre anterior según las encuestas
de los alumnos. Si un docente recibe $550 quincenales por este concepto habiendo cumplido con
11 de los 13 posibles, ¿cuánto recibirá uno de sus compañeros que cubrió 12 puntos? ¿Cuál es
el valor del coeficiente de proporcionalidad? ¿Cuál es el máximo de dinero que un profesor puede
recibir mensualmente?
24.- Un buen padre de familia acostumbra a dar a sus hijos, al final de cada semestre, un premio
“P”, en pesos, que es inversamente proporcional a la expresión (Villalobos, 2007, pág. 23):
1 100
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Donde “n” es el número de inasistencias que la escuela le reporta y “c” es el promedio semestral.
Entonces la ecuación de proporcionalidad es:
1 100
Si el hijo mayor recibió $3,250 con un promedio de 80 y 2 inasistencias,
a) ¿cuánto recibirá el más chico si registró 4 inasistencias y logró 95 de promedio semestral?
b) ¿Y cuánto recibirá su hermana que tuvo sólo una inasistencia y 90 de promedio?
25.- ¿Cuánto costará una refacción automotriz al producir 12,000 piezas, si el costo unitario es
de $175 cuando se producen 10 mil unidades? Suponga que el precio se reduce conforme se
incrementa la producción. (Villalobos, 2007, págs. 24-25)
¿Será posible reducir el precio unitario a 115 pesos considerando que la capacidad de la planta
de producción es de 15 mil piezas?
¿Cuántas piezas deberán producirse para que el precio unitario sea de 150 pesos?
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