Series de Tiempo 2015 Serie de Problemas 3 1. Considere Xt = Zt

Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Departamento de Estadı́stica
Series de Tiempo
2015
Serie de Problemas 3
1. Considere
Xt = Z t ,
Yt = Z t
✓Zt
1
+ Wt ,
donde Zt y Wt son ruidos blancos independientes entre si, de media cero con varianzas
2 respectivamente, y ✓ es una constante conocida
y W
a) Exprese la función de autocorrelación de Yt en términos de
2
Z,
2
W
2
Z
y ✓.
b) Determine corr(Xt ,Yt+k ).
2. Sean St = 1/2(Yt + Yt
de los residuos
1)
y St0 = 1/3(Yt+1 + Yt + Yt
Yt
St ,
Yt
1)
medias móviles. Represente la serie
St0 ,
en función del operador diferencia. Discuta el resultado.
3. Encuentre la densidad espectral de los siguientes procesos:
a) Xt = Xt
1
+ "t , "t ⇠ RB(0,
b) Xt = "t + ✓t "t
c) (1
1,
"t ⇠ RB(0,
2)
(AR(1)).
2)
(MA(1)).
B)Xt = (1 + ✓B)"t , "t ⇠ RB(0,
2)
(ARMA(1,1)).
4. Sean
Xt + ↵ 1 Xt
donde Wt ⇠ RB(0,
2)
1
+ ↵ 2 Xt
2
= Zt ,
Zt +
1 Zt 1
+
2 Zt 2
= Wt ,
y las raı́ces de
m2 + ↵1 m + ↵2 = 0,
r2 +
1r
+
2
= 0,
son menores que uno en valor absoluto. Indique una expresión para la densidad espectral
de Xt .
Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Departamento de Estadı́stica
Series de Tiempo
2015
Serie de Problemas 3: Esquema de Solución
1.
a) La función de auto-covarianza de Yt está dada por
y (k)
= cov(Yt , Yt+k )
= cov(Zt
✓Zt
1
+ Wt , Zt+k
✓Zt+k
=
✓ Z (k 1) ✓ Z (k + 1) +
Z (k)
8
2 , k = 0,
< (1 + ✓2 ) Z2 + W
2
✓ Z,
|k| = 1,
=
:
0,
|k| > 2,
Luego su función de auto-correlación es
8
>
< 1,
2
✓ Z
Y (k)
⇢Y (k) =
=
2) 2 +
(1+✓
>
Z
Y (0)
:
0,
1 + Wt+k )
✓2 Z (k) + W (k),
k = 0,
2
W
, |k| = 1,
|k| > 2,
b) Notar que corr(Xt , Yt+k ) = cov(Xt , Yt+k ){var(Xt )var(Yt+k )}
cov(Xt , Yt+k ) = cov(Zt , Zt+k
=
8
<
8
>
p
>
>
<
Corr(Xt , Yt+k ) =
p
>
>
>
: 0,
2. Cálculos sencillos producen Yt
✓
1
donde
+ Wt+k )
1)
k = 0,
✓ Z2 , k = 1,
=
:
0,
e.o.c.
Luego,
Z (k)
2
Z,
✓Zt+k
1/2 ,
Z (k
2
Z
2 [(1+✓ 2 )
Z
2
✓ Z
2 [(1+✓ 2 )
Z
St = 1/2DYt y Yt
2
2
Z+ W ]
2
2
Z+ W ]
, k = 0,
, k = 1,
e.o.c.
St0 =
1/3D2 Yt+1 .
3. Supongamos que {Xt } es
P una serie de tiempo estacionaria media-cero con función autocovarianza h ) satiface 1
h= 1 | h | < 1. La densidad espectral de Xt es la función f (·)
definida por
1
1 X
f( ) =
e iht (h),
2 R.
2⇡
donde ei = cos( ) + i sin( ) y i =
p
h= 1
1.
a) La densidad espectral de {Xt } es
2
f( ) =
2)
2⇡(1
2
=
2)
2⇡(1
2
=
2⇡
{1
✓
✓
1+
1
X
h
ih
(e
+ eiht )
h=1
1+
ei
+
ei
1
2
2 cos( ) +
1
}
e
1
◆
i
e
i
◆
.
b) La densidad espectral de {Xt } es
2
f( ) =
2⇡
{1 + ✓2 + ✓(e
i
+ ei )} =
2
2⇡
{1 + 2✓ cos( ) + ✓2 }.
c) Ası́ usando (a) y (b) se tiene que la densidad de un proceso ARMA(1,1) es
2
f( ) =
|⇥(ei )|2
.
2⇡ | (ei )|2
donde ei = cos( ) + i sin( ).
4. Tenemos que {Xt } y {Zt } tiene estructura AR(2), es decir,
fX ( ) = fZ ( )
(1 + ↵1
ei
e2i
1
)(1 + e
e2i
1
)(1 +
+ ↵2
y
fZ ( ) = fW ( )
(1 +
1
ei
+
2
1e
i
i
+ ↵2 e
+
2e
,
2i
)
2i
)
.
Mientras que la densidad espectral de {Wt } esta dada por
2
fW ( ) =
2⇡
.
Luego,
2
fX ( ) =
2⇡(1 +
1e
i
+
2e
2i
)(1 +
1e
i
+
2e
2i
)(1 + ↵1 ei + ↵2 e2i )(1 + ↵1 e
i
+ ↵2 e
2i
)
.