Series de Tiempo 2015 Serie de Problemas 1 1. Sea Yt = β0 + β1t +

Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Departamento de Estadı́stica
Series de Tiempo
2015
Serie de Problemas 1
1. Sea
Yt =
donde "t ⇠ RB(0,
2 ).
Sea Wt = 1/3
0+
P1
1t
t 2 Z,
+ "t ,
j= 1 Yt+j .
a) Calcule el valor esperado de la serie de tiempo Wt .
b) Calcule la cov(Wt , Wt+k ) y muestre que dicha covarianza no depende de t. ¿Es Wt
estacionario?
c) Obtenga la función de autocorrelación asociada a Wt .
2. Sea
Yt = 0,4Yt
donde "t ⇠ RB(0,
1
+ 0,45Yt
2
+ "t + "t
1
+ 0,25"t
2,
2 ).
t 2 Z,
a) Exprese esta ecuación en términos del operador de rezago B y determine el tipo de
proceso y orden correspondiente. ¿Se puede simplificar esta ecuación? ¿Cuál es el
orden después de simplificarla?
b) Determine si el proceso es causal y/o invertible. En ambos casos, de ser posible,
determine los coeficientes de las expansiones correspondientes.
3. Sea Xt un proceso estacionario con distribución normal de media µx y función de autocovarianza x (k). Defina la serie de tiempo no lineal
Yt = exp(Xt ).
a) Exprese el valor esperado de Yt en función de µx y
x (0).
b) Determine la función de auto-covarianza de Yt .
4. Sea {"t }t2Z ruido blanco estándar, y defina el proceso de heteroscedasticidad condicional
autorregresiva de primer orden, ARCH(1), como
Yt = "t ↵0 + ↵1 Yt2 1
1/2
,
t 2 Z,
↵0 , ↵1 > 0.
a) Muestre que una condición necesaria para estacionaridad es que ↵1 < 1, y que en este
caso (Yt ) = ↵0 /(1 ↵1 ).
b) Muestre que el proceso tiene media cero y función correlación de ruido blanco. ¿Es el
proceso Yt ruido blanco?
iid
5. Sea Zt , Zt0 ⇠ N(0,
2)
y "t ruido blanco estándar. Considere el proceso dado por
Xt =
1
X
j
Zj cos(!jt) + Zj0 sin(!jt) + "t ,
j=0
para alguno ! > 0.
a) Encuentre una condición para la existencia del proceso Xt .
b) Calcule la media, varianza y covarianza del proceso Xt .
Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Departamento de Estadı́stica
Series de Tiempo
2015
Serie de Problemas 1: Esquema de Solución
1.
a) El valor esperado de la serie de tiempo Wt es,
E(Wt ) =
1
1
1 P
1 P
E(Yt+j ) =
E{
3 j= 1
3 j= 1
0
b) La función de autocovarianza de Wt es
w (h)
+
1 (t
w (h)
+ j) + "t+j } =
0
1
+ (3t) =
3
0
+ t 1.
= cov(Wt , Wt+h ),
= cov(Wt , Wt+h )
✓
◆
1
1
1 P
1 P
= cov
Yt+j ,
Yt+h+i
3 j= 1
3 i= 1
=
=
=
=
=
1
1P P
cov(Yt+j , Yt+h+i )
9 i j= 1
1
1
P
1 P
cov{
9 i= 1 j= 1
0
+
1 (t
+ j) + "t+j ,
0
+
1 (t
+ h + i) + "t+h+i }
1
1
P
1 P
cov("t+j , "t+h+i )
9 i= 1 j= 1
1
1
P
1 P
j)
" (h + i
9 i= 1 j= 1
1
{ " (h) + " (h 1) + " (h 2)
9
+ " (h + 1) + " (h) + " (h 1) +
Pero ( h) = (h) y
"
=
2,
" (h
+ 2) +
" (h
+ 1) +
" (h)}.
ası́ que:
w (h)
=
8 2
>
>
3 ,
>
>
<2 2
9
2
>
>
9
>
>
:0,
h = 0,
|h| = 1,
|h| = 2.
e.o.c.
Wt no es estacionario, dado que E(Wt ) depende de t.
c) La función de autocorrelación asociada a Wt es
8
1, h = 0,
>
>
< 2
3 , |h| = 1,
⇢(h) =
1
, |h| = 2,
>
>
: 3
0, e.o.c.
2. Sea B Yt = Yt
1
y B Yt = Y t
d.
a) La ecuación inicial del modelo sugiere un proceso ARMA(2,2), pero para evitar la
sobreparametrización del modelo, removemos los factores comunes de (B) y ⇥(B),
y nos quedamos con un proceso ARMA(1,1); o sea,
Yt = 0,4Yt
1
+ 0,45Yt
2
+ "t + "t
1
+ 0,25"t
2
, Yt 0,4Yt 1 0,45Yt 2 = "t + "t 1 + 0,25"t 2
✓
◆
✓
◆
40
45 2
25 2
, 1
B
B Yt = 1 + B +
B "t ,
100
100
100
✓
◆✓
◆
✓
◆2
9
5
5
, 1
B
1 + B Y t = 1 + B "t
10
10
10
✓
◆
✓
◆
9
5
, 1
B Y t = 1 + B "t .
10
10
|
{z
}
|
{z
}
(B)
⇥(B)
b) Recordemos la siguiente definición.
Definición 1 Sea
0
= 1. Un proceso ARMA(p, q) es causal si
Yt =
1
P
j "t j
=
(B)"t ,
j=0
1
P
j=0
|
j|
< 1.
Sea D = {z 2 C : |z| 6 1} el cı́rculo unitario. Consideremos el siguiente teorema.
Teorema 1 Un proceso ARMA(p, q) es causal si y sólo si
coeficientes de (z) satisfacen (z) = ⇥(z)/ (z), z 2 D.
(z) 6= 0, para z 2 D. Los
En nuestro caso tenemos,
9
10
z=0,z=
2 Dc ,
10
9
(z) = 0 , 1
y entonces el proceso es causal por teorema. Además tenemos,
(z) =
⇥(z)
1 + ✓z
=
,(
(z)
1
z
0
+
1z
+
2z
2
+ · · · )(1
z) = 1 + ✓z,
y entonces los coeficientes subyacentes a la representación causal son,
8
>
z0 :
0 = 1,
>
>
>
>
1
>z :
0+ 1 =✓ ) 1 =✓+ ,
>
<
2
z :
1 + 2 = 0 ) 2 = (✓ + ),
>
>
.
..
>
> ..
.
>
>
>
:z j :
j 1 (✓ + ).
j 1+ j =0) j =
Además
1
P
j=0
|
j|
=
0
+
1
P
j 1
(✓ + ) = 1 + (✓ + )
j=1
1
P
j 1
j=1
< 1.
Para la segunda parte del ejercicio recordemos la definición de proceso invertible y el
siguiente teorema.
Definición 2 Sea ⇡0 = 1. Un proceso ARMA(p, q) es invertible si
"t =
1
P
j=0
⇡j Y t
j
= ⇧(B)Yt ,
1
P
j=0
|⇡j | < 1.
Teorema 2 Un proceso ARM A(p, q) es invertible, si y sólo si ⇥(z) 6= 0, para z 2 D.
Los coeficientes de ⇧(z) satisfacen ⇧(z) = (z)/⇥(z), z 2 D.
En nuestro caso
5
z=0,z=
10
ası́ que el proceso es invertible. Además tenemos,
2 2 Dc ,
⇥(z) = 0 , 1 +
⇧(z) =
(z)
1
z
=
, (⇡0 + ⇡1 z + ⇡2 z 2 + · · · )(1 + ✓z) = 1
⇥(z)
1 + ✓z
z,
y entonces los coeficientes subyacentes a la representación invertible son,
8
0
>
>z : ⇡0 = 1,
>
>
>
z 1 : ✓⇡0 + ⇡1 =
) ⇡1 = (✓ + ),
>
>
>
>
<z 2 : ✓⇡1 + ⇡2 = 0 ) ⇡2 = ✓⇡1 = ✓(✓ + ),
z 3 : ✓⇡2 + ⇡3 = 0 ) ⇡3 = ✓⇡2 = ✓2 (✓ + ),
>
>
>
>
..
..
>
>
>
.
.
>
>
: j
z
✓⇡j 1 + ⇡j = 0 ) ⇡j = ( 1)j ✓j 1 (✓ + ).
Además
1
P
j=0
|⇡j | = |⇡0 | +
1
P
j=1
|( 1)j ✓j
3. Tenemos que Xt ⇠ N(µx ,
1
x (0))
(✓ + )| = 1 +
1
P
✓j
1
(✓ + ) = 1 + (✓ + )
j=1
1
P
j=1
✓j
1
< 1.
cuya función generadora de momentos esta dada por,
Mxt ( ) = exp{µx +
1
2
2
X (0)}
= E(eXt )
a) El valor esperado del proceso no lineal Yt = eXt es
E(Yt ) = E(ext ) = Mxt (1) = exp{µx +
1
2
x (0)}.
b) La función de autocovarianza de Yt es
y (k)
= cov(Yt , Yt+k )
= cov(eXt , eXt+k )
= E(eXt eXt+k )
E(eXt )E(eXt+k )
1
1
exp{µx + x (0)} exp{µx +
2
2
= E(eXt +Xt+k )
Pero Xt + Xt+k ⇠ N(2µx , 2
y (k)
+2
= {2µx +
= e
4.
x (0)
2µx +
x (k)),
x (0)
(0)
x
+
[exp{
x (0)}.
y por tanto
x (k)}
x (k)}
exp{2µx +
x (0)}
1].
a) Un proceso es débilmente estacionario si E(Yt ) = µ, V ar(Yt ) =
no depende de t, entonces
2
y su cov[Yt , Yt+k ]
Yt = "t (↵0 + ↵1 Yt2 1 )1/2
Yt2 =
E(Yt2 ) =
=
"2t (↵0 + ↵1 Yt2 1 )
↵0 E("2t ) + ↵1 E("2t Yt2 1 ),
E("2t ) = 1
↵0 + ↵1 E(Yt2 1 )
Luego E(Yt2 )(1 ↵1 ) = ↵0 ) E(Yt2 ) = ↵0 /(1 ↵1 ), entonces para que E(Yt2 ) sea
positivo necesariamente ↵ < 1. Si suponemos estacionalidad se puede observar que
E(Yt2 ) = var(Yt ) + E 2 (Yt ) = (0) + µ2 .
En este caso,
var(Yt ) = E(Yt2 )
µ2 =
↵0
,
1 ↵1
donde usamos
µ = E(Yt ) = E{E("t (↵0 + ↵1 Yt2 1 )1/2 | Yt
1 )}
= E{E("t )(↵0 + ↵1 Yt2 1 )1/2 } = 0.
b) Por a) sabemos que E(Yt ) = 0 y var(Yt ) = ↵0 /(1
proceso no esta correlacionado; pero
↵1 ), nos queda comprobar que el
(h) = E{E(Yt+h Yt | Yt+h
1 )}
2
1/2
E[Yt E{"t+h (↵0 + ↵1 Yt+h
| Yt+h 1 }]
1)
2
1/2
E{Yt E("t+h )(↵0 + ↵1 Yt+h
}
1)
=
=
= 0,
5.
y entonces el proceso es ruido blanco.
P
P1
2
2
a) Como E(Xt2 ) = 2 1
j=0 j + " , la condición
j=0
proceso.
2
j
< 1 garante la existencia del
b) Tenemos
E(Xt ) =
1
P
j=0
var(Xt ) = var
E(Zj ) cos(!jt) + E(Zj0 ) sin(!jt) + 0 = 0,
j
⇢
y
cov(Xs , Xt ) = cov
1
P
j
j=0

1
P
=
=
=
Zj cos(!jt) + Zj0 sin(!jt) + "t
1
P
1 P
1
P
j=0 k=0
1 P
1
P
=
2
1
P
j=0
2
j
+
2
",
Zj cos(!js) + Zj0 sin(!js) + "s ,
j
j=0
k=0
=
⇢
k
Zk cos(!kt) + Zk0 sin(!kt) + "t
j k cov{Zj
cos(!js) + Zj0 sin(!js), Zk cos(!kt) + Zk0 sin(!kt)}
j k {cos(!js) cos(!kt)cov(Zj , Zk )
j=0 k=0
1
2 P 2
j {cos(!js) cos(!jt)
j=0
1
2 P 2
t)),
j cos(!j(s
j=0
+ sin(!js) sin(!kt)cov(Zj0 , Zk0 )}
+ sin(!js) sin(!jt)}
que apenas depende en la diferencia s t, lo que implica que el proceso es estacionario.