Análisis de Datos I Esquema del Tema 17b) Tema 17b): Distribución muestral de un estadístico __________________ Bibliografía*: Tema 13 (pág. 347-358) 1. INTRODUCCIÓN La estadística inferencial trata sobre las inferencias con respecto a poblaciones (sus parámetros, μ y σ2) a partir de la información contenida en las muestras (los estadísticos, X y S2). Para poder llevar a cabo esas inferencias es necesario conocer la relación que se establece entre estadísticos y parámetros. El concepto que permite poner en relación ambas cosas es “La distribución muestral de un estadístico”. Ejemplo: Tenemos una población con los siguientes N = 3 elementos: X = {1, 2 y 3}. Donde μ = 2 σ2 = 0,67. Se extraen muestras de n = 2 elementos: Con reposición, tenemos 9 posibles muestras: (1, 1); (1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 1); (3, 2); y (3, 3). Sin reposición, tenemos 6 posibles muestras: (1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 3); (3, 1); y (3, 2). En cada una de las muestras pueden calcularse los correspondientes estadísticos descriptivos: Por ejemplo, con reposición: Las medias serían: 1; 1,5; 2; 1,5; 2; 2,5; 2; 2,5; y 3, respectivamente. Las varianzas serían: 0; 0,25; 1; 0,25; 0; 0,25; 1; 0,25; y 0, respectivamente. Por tanto, los estadísticos descriptivos son variables aleatorias que pueden adoptar diferentes valores y que tienen su propia distribución de probabilidad. Carmen Ximénez 1 Análisis de Datos I Esquema del Tema 17b) En el ejemplo vemos que X puede tomar 5 posibles valores y que la probabilidad que corresponde a cada uno de ellos (f ( X i), su distribución) es: 1 1/ 9 Xi f ( X i) 1,5 2/ 9 2 3/ 9 2,5 2/ 9 3 1/ 9 Total: 1 Donde E( X ) = Σ Xi · f ( Xi ) = (1)(1/ 9) + (1,5)(2/ 9) + … + (3)(1/ 9) = 2 σ 2 ( X ) = Σ [ Xi 2 · f ( Xi )] – [ E( X )] 2 = [(12)(1/ 9) + … + (32)(1/ 9)] - 22 = 0,33 No es necesario construir la distribución de un estadístico (p.e. de X ) en todos los casos ya que cada estadístico tiene su propia distribución muestral conocida. En este tema nos ocuparemos de la distribución muestral de la media: X . 2. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA CASO 1: La variable de partida es normal: X ∼ N (μ, σ) 1. Valor esperado: E( X ) = μ 2. Varianza: σ ( X ) = 2 σ2 n ; donde σ ( X ) = σ n es el error típico de la media El valor de n afecta al error típico de la media, σ( X ) Por ejemplo, si Con n1 = 4 X ∼ N(50, 20) → σ ( X ) = 20/ 4 = 10 Con n2 = 25 → σ ( X ) = 20/ 25 = 5 Con n3 = 100 → σ (X) = 20/ 100 = 2 3. Modelo de distribución: X ∼ N(μ, 30 σ n 50 70 ). Para obtener valores en tablas hay que convertir las puntuaciones X i en típicas. Es decir: z = Carmen Ximénez Xi − μ σ / n ∼ N (0,1) 2 Análisis de Datos I Esquema del Tema 17b) EJERCICIO 1 (resuelto) El CI de los alumnos de un centro especial de se distribuye normalmente con media 80 y desviación típica 10. Si extraemos una muestra aleatoria simple de 25 alumnos: a) Si se extrae un sujeto al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga como mínimo una puntuación en CI de 75? b) ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea mayor de 75? c) ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea como máximo 83? d) ¿Qué valor debería tomar la media aritmética para que la probabilidad de obtenerlo en esa muestra sea como máximo 0,85? X ∼ N(80, 10) X ∼ a) P (X ≥ 75) = 1 - P (z ≤ b) P ( X ≥ 75) = 1 - P (z ≤ c) P ( X ≤ 83) = P (z ≤ d) N(80, 10 X −μ σ ) = 1 - P (z ≤ X−μ σ/ n X−μ σ/ n 25 ) 75 - 80 ) = 1 - P (z ≤ -0,50) = 0,6915 10 ) = 1 - P (z ≤ ) = P (z ≤ 75 - 80 ) = 1 - P (z ≤ -2,50) = 0,9938 10/5 83 - 80 ) = P (z ≤ 1,50) = 0,9332 10/5 P ( X ≤ X i) = 0,85 …. z 0,85 = 1,04 …. 1,04 = X i − 80 10/5 → X i = 82,08 CASO 2. La variable de partida no es Normal Cuando la variable X con media μ y desviación típica σ, no sigue un modelo de distribución conocido, la distribución muestral de X se parece más a la de la distribución normal a medida que aumenta el tamaño de las muestras sobre las que se calcula. Teorema del Límite Central, TLC Independientemente de cómo sea la distribución de X, la distribución muestral de X tiende a la normal cuando el tamaño de las muestras tiende a infinito. Mediante este teorema pueden calcularse probabilidades asociadas a los valores de las medias cuando se desconoce la forma de la distribución muestral de partida, siempre y cuando las muestras sean lo suficientemente grandes (algunos autores plantean que el parecido con la distribución normal empieza a ocurrir desde tamaños muestrales de 30 observaciones). Carmen Ximénez 3 Análisis de Datos I Esquema del Tema 17b) EJERCICIO 2 Sabemos que los pesos de los españoles tienen una media de 65 kilos y una desviación típica de 7. Si extraemos una m.a.s. de 36 sujetos y calculamos la media: 1) ¿Cuál es la probabilidad de que la media supere el valor 62,5? 2) ¿Cuál es la probabilidad de que la media quede por debajo de 67? 3) ¿Cuál es la probabilidad de que la media quede comprendida entre 62 y 64? Solución: Como n = 36 X ≈ N (65, 7 / 6) . 1) 0,9838; 2) 0,9564; 3) 0,1898. EJERCICIO 3 La variable X se distribuye normalmente con media 50 y desviación típica 12. Si extraemos una muestra aleatoria simple de 16 alumnos: 1) Si se extrae un sujeto al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga al menos una puntuación de 45? 2) ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea menor de 58? 3) ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea como mínimo 45? 4) ¿Qué tamaño tendría que tener la muestra para que la probabilidad de encontrar medias superiores a 52 fuese 0,2578? Solución: 1) 0,6628; 2) 0,9962; 3) 0,9525; 4) n = 15 sujetos. Carmen Ximénez 4