Series de funciones - Departamento de Matemática Aplicada (DMA).

Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM.
7. Sucesiones y Series de funciones
7.2. Series de funciones
7.2.1. SERIES DE FUNCIONES
Series de funciones
Se llama serie de funciones a la suma indicada de los infinitos términos de una sucesión de funciones:
f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + . . . + fn (x) + . . . =
∞
X
fn (x)
n=1
P
que, para simplificar, muchas veces se expresa simplemente por
fn . Como a veces ocurre, no es necesario
que la suma comience en n = 1, pudiéndolo hacer en otro valor cualquiera de n.
Convergencia puntual y uniforme
P
Dada una serie de funciones
fn (x), se llama sucesión de las sumas parciales a la sucesión de funciones
{Sn (x)}, donde Sn (x) = f1 (x) + f2 (x) + . . . + fn (x) es la suma de las n primeras funciones de la serie. Entonces:
P
• Se dice que la serie de funciones
fn (x) converge puntualmente a la función S(x) si la sucesión de
las sumas parciales converge puntualmente a dicha función.
P
• Se dice que la serie de funciones
fn (x) converge uniformemente a la función S(x) en A ⊂ R, si es
uniforme la convergencia en A de la sucesión de las sumas parciales.
Continuidad,
acotación e integración de la función lı́mite
P
Sea
fn una serie de funciones que converge uniformemente a la función S en A ⊂ R. Entonces:
• Si todas las funciones fn son continuas, S es continua.
• Si todas las funciones fn son acotadas, S es acotada.
• Si todas las funciones fn son integrables en [a, b] ⊂ A, S es integrable en [a, b] y
∞ Z
X
n=1 a
Z
b
fn (x) dx =
b
S(x) dx
a
Observación: Si la función suma de una serie de funciones continuas (acotadas) no es continua (acotada), la
convergencia de la serie no puede ser uniforme.
Criterio mayorante de Weierstrass para la convergencia uniforme
P
Si |fn (x)| ≤ aP
an es convergente, entonces la serie
n , para todo x ∈ A y para todo n ≥ n0 , y la serie numérica
de funciones
fn converge uniformemente en A.
Ejercicios
1. Estudia la convergencia puntual y uniforme de las series de funciones: (a)
∞
X
xn
∞
X
sen nx
n=1
n=1
; (b)
2n
n2
.
Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM.
7. Sucesiones y Series de funciones
7.2. Series de funciones
7.2.2. SERIES DE POTENCIAS
Series de potencias
Se llama serie de potencias centrada en x0 ∈ R a cualquier serie funcional de la forma:
∞
X
an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + . . . + an (x − x0 )n + . . .
n=0
con an ∈ R, n ≥ 0. En particular, si x0 = 0 se dice que la serie de potencias está centrada en el origen:
∞
X
an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn + . . .
n=0
Radio de convergencia
P
Se llama radio de convergencia de la serie
an (x − x0 )n al número (real o infinito) que se obtiene por
cualquiera de los lı́mites siguientes:
R=
limn
1
p
n
R=
|an |
1
¯
¯
¯ an+1 ¯
limn ¯ an ¯
con el convenio de que 1/0 = ∞.
Convergencia de la serie de potencias P
Si R es el radio de convergencia de la serie
an (x − x0 )n , entonces:
• La serie converge puntualmente si |x − x0 | < R, es decir en el intervalo abierto (x0 − R, x0 + R).
• La serie diverge si |x − x0 | > R, es decir en (−∞, x0 − R) ∪ (x0 + R, ∞).
• En |x − x0 | = R, es decir, en x = x0 ± R la serie puede ser convergente o divergente (hay que estudiarlos
en cada caso).
• La serie converge uniformemente en cualquier intervalo cerrado y acotado [a, b] ⊂ (x0 − R, x0 + R).
Campo de convergencia
P
Se llama campo de convergencia de la serie an (x−x0 )n al conjunto donde converge puntualmente. Si R es
el radio de convergencia, el campo de convergencia puede ser (x0 − R, x0 + R), [x0 − R, x0 + R), (x0 − R, x0 + R]
o [x0 − R, x0 + R].
Ejercicios
1. Halla el campo de convergencia de las siguientes series de potencias:
(a)
∞
X
xn
(b)
n=0
∞
X
xn
n=1
n
(c)
∞
X
xn
n=1
n2
2. Halla el campo de convergencia de las siguientes series de potencias:
(a)
∞
X
(x − 2)n
n=0
n!
(b)
∞
X
(−1)n+1 (x − 1)n
n=1
n
(c)
∞
X
(−1)n+1 (x + 1)n
n=0
2n
Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM.
7. Sucesiones y Series de funciones
7.2. Series de funciones
7.2.3. DESARROLLOS EN SERIE
Derivación
e integración de series de potencias
P
Sea
an (x − x0 )n una serie de potencias con radio de convergencia R > 0 y cuya suma es la función
f (x) =
∞
X
an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + a3 (x − x0 )3 + . . .
n=0
Entonces:
• La función f es derivable y su serie de potencias es la que se obtiene derivando término a término la serie
de f , es decir:
∞
X
f 0 (x) =
nan (x − x0 )n−1 = a1 + 2a2 (x − x0 ) + 3a3 (x − x0 )2 + . . .
n=1
• La función f admite primitiva que es la que se obtiene integrando término a término la serie de f , es
decir:
Z
∞
X
(x − x0 )2
(x − x0 )3
(x − x0 )n+1
f (x) dx = c +
an
= c + a0 (x − x0 ) + a1
+ a2
+ ...
n+1
2
3
n=0
El radio de convergencia de las series derivada e integral es el mismo R de la serie original, pero el campo de
convergencia puede diferir por el comportamiento en los extremos.
Desarrollos en series de potencias
Desarrollar una función f en serie de potencias de centro x0 es hallar una serie de potencias tal que
∞
X
f (x) =
an (x − x0 )n , para |x − x0 | < R
n=0
∞
X
f n) (x0 )
(x − x0 )n
n!
n=0
Para hallar series de potencias se recurre a la serie de Taylor, a la serie geométrica y a las propiedades de
derivación e integración de series de potencias. Algunas de las más importantes son:
Z
∞
∞
X
X
x2 x3
(−1)n−1 xn
xn
dx
x
=1+x+
+
+ . . . , ∀x ∈ R
ln(1 + x) =
=
, |x| < 1
e =
n!
2!
3!
1+x
n
n=1
n=0
Z
∞
∞
X
X
1
dx
(−1)n x2n+1
n
2
3
=
x = 1 + x + x + x + . . . , |x| < 1
arctan x =
, |x| < 1
=
1−x
1 + x2
2n + 1
Si f es infinitamente derivable en x0 , la serie de potencias es la serie de Taylor: f (x) =
n=0
1
1
=
=
1+x
1 − (−x)
n=0
∞
X
(−1)n xn , |x| < 1
n=0
∞
X
1
1
=
=
2
1+x
1 − (−x2 )
(−1)n x2n , |x| < 1
n=0
sen x =
cos x =
∞
X
(−1)n x2n+1
n=0
∞
X
n=0
(2n + 1)!
=x−
x3 x5
+
− . . . , ∀x ∈ R
3!
5!
(−1)n x2n
x2 x4
=1−
+
− . . . , ∀x ∈ R
(2n)!
2!
4!
Ejercicios
P
1. Halla las series de la derivada y las primitivas de la función f (x) = ∞
n=1
convergencia de cada una de ellas. ¿Cuál es la expresión algebraica de f ?
xn
n ,
calculando el campo de
2. Halla las series de potencias de las siguientes funciones en los puntos que se indican, y el campo de
convergencia de cada una de ellas.
√
1
3x − 1
(a) f (x) =
, x=0
(c) f (x) = 2
, x=0
(e) f (x) = cos x , x = 0
x+2
x −1
1
(b) f (x) = , x = 3
(d) f (x) = ln x , x = 1
(f ) f (x) = cosh x , x = 0
x
Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM.
7. Sucesiones y Series de funciones
7.2. Series de funciones
EJERCICIOS
1. Determina el campo de convergencia de las siguientes series de potencias:
(a)
∞
X
2n
n=1
n
xn
(b)
∞
X
n3
n=1
n!
xn
(c)
∞
X
nxn
en−1
n=0
2. Se consideran las series de potencias:
∞
X
xn
(I)
n2 3n
(d)
∞
X
(x + 1)n
n=1
y
n=1
(e)
n2n
(II)
∞
X
(−1)n (2x)2n
n=1
∞
X
xn−1
n=1
n3n
2n
.
(a) Halla el campo de convergencia de las dos series.
(b) Si f es la función definida por la serie (I) en su campo de convergencia, ¿cuál es su derivada en
x = 0?
3. (a) Encuentra la serie de potencias de la función f (x) = ln(1 + x) centrada en x = 0, y halla su campo
P
(−1)n−1
de convergencia. (b) Usa la serie obtenida para sumar la serie numérica: ∞
.
n=1
n
4. (a) Encuentra la serie de potencias de la función f (x) = arctan x centrada en x = 0, y halla su campo
P
(−1)n
de convergencia. (b) Usa la serie obtenida para sumar la serie numérica: ∞
n=0 2n+1 .
5. Halla las series de potencias de las siguientes funciones en los puntos que se indican, y el campo de
convergencia de cada una de ellas.
4
, x = −2
5−x
3
, x=2
(b) f (x) =
2x − 1
(a) f (x) =
1
, x=0
x2 − 1
1
(d) f (x) =
, x=0
(1 − x)2
(c) f (x) =
1
, x=0
(x + 1)3
1+x
(f ) f (x) =
, x=0
(1 − x)2
(e) f (x) =