INTEGRAL DE SUPERFICIE 1. Geometr´ıa de las superficies

INTEGRAL DE SUPERFICIE
1. Geometrı́a de las superficies.
Entendemos por superficie el lugar geométrico de un punto que se mueve en el espacio
R3 con dos grados de libertad. También podemos pensar una superficie como el resultado
de enrollar, curvar y comprimir un plano en el espacio.
Analı́ticamente, una superficie S se define como imagen de una función vectorial, que
será su parametrización. Más concretamente, una parametrización de una superficie es
una función Φ : D ⊂ R2 → R3 definida por
Φ(u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v) , ∀(u, v) ∈ D,
y definimos S = Φ(D).
Diremos también que una superficie es diferenciable cuando admita alguna parametrización diferenciable.
Ejemplos.
1) El caso más simple de superficie dada por su fórmula explı́cita z = f (x, y) se puede
parametrizar por Φ(u, v) = u, v, f (u, v) .
2) La función Φ(u, v) = (u cos α cos v, u cos α sen v, u sen α), con (u, v) ∈ R × [0, 2π], tiene
por imagen el cono z 2 = k 2 (x2 + y 2 ), con k = tg α.
3) Un cilindro de ecuación x2 + y 2 = a2 se parametriza por la función Φ(u, v) =
(a cos v, a sen v, u), con u ∈ R, 0 ≤ v ≤ 2π.
4) La esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 se parametriza por la función
Φ(u, v) = (a cos u sen v, a sen u sen v, a cos v),
con (u, v) ∈ [0, 2π] × [0, π].
5) La superficie parametrizada por Φ(u, v) = u + v, (u + v)2 , (u + v)3 degenera en una
curva.
6) Si 0 < b < a, la parametrización Φ(u, v) = ((a+b cos u) sen v, (a+b cos u) cos v, b sen u)
determina un toro.
Geometrı́a de las superficies
1
2. Vector normal a una superficie.
Sea D ⊂ R2 un abierto y Φ : D → R3 una parametrización de la superficie S diferenciable en un punto (u0 , v0 ) ∈ D. Entonces las aplicaciones
Φv0 (u) = Φ(u, v0 ), Φu0 (v) = Φ(u0 , v)
representan dos curvas que, en un entorno de (u0 , v0 ), están contenidas en S. Los vectores
Tu =
∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z , Tv =
,
,
,
,
∂u ∂u ∂u (u0 ,v0 )
∂v ∂v ∂v (u0 ,v0 )
son tangentes a dichas curvas en el punto Φ(u0 , v0 ). Si dichos vectores no son colineales,
determinan el plano tangente a la superficie en ese punto, de modo que Tu ×Tv es un vector
normal a la superficie. Llamaremos puntos singulares aquellos en los que Tu × Tv = 0 y
puntos regulares aquellos en los que Tu × Tv 6= 0. Una parametrización es regular cuando
todos sus puntos son regulares.
Diremos entonces que la superficie es suave (o regular) cuando admite alguna parametrización regular; en este caso el plano tangente tiene por ecuación
→
(x − x0 , y − y0 , z − z0 ) · −
n = 0,
−
donde x0 = x(u0 , v0 ), y0 = y(u0 , v0 ), z0 = z(u0 , v0 ), y →
n = Tu × Tv .
Ejemplos.
1) La superficie x = u cos v, y = u sen v, z = u (u ≥ 0), no es suave en (0, 0) pues
Tv (0, 0) = (0, 0, 0).
2) Para determinar la ecuación del plano tangente a la superficie
Φ(u, v) = (u cos v, u sen v, u2 + v 2 )
correspondiente al punto (1, 0), calculamos
Φ(1, 0) = (1, 0, 1), Tu (1, 0) = (1, 0, 2), Tv (1, 0) = (0, 1, 0),
con lo que Tu × Tv = (−2, 0, 1) y la ecuación se escribe como
(x − 1, y, z − 1) · (−2, 0, 1) = 0, o bien − 2x + z + 1 = 0.
2
3) Si una superficie S es la gráfica de una función g : R2 → R, la superficie es suave en
todos los puntos x0 , y0 , g(x0 , y0 ) para los que g es diferenciable.
4) Las parametrizaciones Φ1 (u, v) = (u, v, 0) y Φ2 (u, v) = (u3 , v 3 , 0) determinan la misma
superficie, el plano z = 0. De ellas, Φ1 es regular pero Φ2 tiene como puntos singulares
los del tipo (u0 , 0) y (0, v0 ).
5) La semiesfera unidad x2 +y 2 +z 2 = 1, con z ≥ 0, se puede parametrizar de dos formas:
p
Φ1 (u, v) = (u, v, 1 − u2 − v 2 ), D = {(u, v) : u2 + v 2 ≤ 1}
Φ2 (u, v) = (cos u sen v, sen u sen v, cos v), D = {(u, v) : 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ π/2}.
∂z ∂z
,
en dichos
∂u ∂v
puntos) y con Φ2 el polo norte es el único punto singular (pues Tu × Tv (u0 , π/2) = 0).
Con Φ1 el ecuador está formado por puntos singulares (no existen
3. Área de una superficie.
Dada una superficie suave S parametrizada por la función Φ : D → R3 , el área de S
se define por
ZZ
|Tu × Tv | dudv.
a(S) =
D
Se puede demostrar que, bajo condiciones de regularidad, el resultado es independiente de
la parametrización utilizada.
Ejemplos.
1) Si la superficie viene dada por su fórmula explı́cita z = f (x, y), (x, y) ∈ D, entonces
el área se calcula mediante la fórmula
ZZ s
∂f 2 ∂f 2
a(S) =
1+
+
dxdy.
∂x
∂y
D
2) Teorema de Pappus. Si S es la superficie de revolución obtenida al girar una curva
plana de longitud L alrededor de un eje situado en el plano de la curva, el área de la
superficie es 2πLh, donde h es la distancia del centro de gravedad de la curva al eje
de rotación.
Veamos la demostración en el caso de la superficie de revolución obtenida al girar la
curva C definida por la función y = f (x) (a ≤ x ≤ b) alrededor del eje X.
Dicha superficie se parametriza por
Φ(u, v) = u, f (u) cos v, f (u) sen v , a ≤ u ≤ b, 0 ≤ v ≤ 2π.
3
Como Tu × Tv = (f (u)f 0 (u), −f (u) cos v, −f (u) sen v), entonces
p
|Tu × Tv | = |f (u)| · 1 + (f 0 (u))2 , y
Z 2π Z b
Z
p
0
2
dv
|f (u)| · 1 + (f (u)) du = 2π
y ds = 2π y L.
a(S) =
0
a
C
3) Para calcular el área del cono parametrizado por Φ(u, v) = (u cos v, u sen v, u), donde
(u, v) ∈ D = {(u, v) : 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π}, determinamos en primer lugar el
vector normal:
Tu = (cos v, sen v, 1), Tv = (−u sen v, u cos v, 0),
√
Tu × Tv = (−u cos v, −u sen v, u), |Tu × Tv | = u 2.
Ası́ pues,
ZZ
a(S) =
√
2π
Z
u 2 dudv =
D
Z
dv
0
1
√
√
u 2 du = π 2,
0
lo que concuerda con lo establecido por el teorema de Pappus.
4) Un helicoide S está parametrizado por la función Φ(u, v) = (u cos v, u sen v, v), en
D = {(u, v) : 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π}. En este caso, Tu × Tv = (sen v, − cos v, u) y
√
|Tu × Tv | = 1 + u2 . Por lo tanto, el área de la superficie viene dada por
√
√
Z 2π Z 1 p
2
+
ln(1
+
2)
1 + u2 du =
a(S) =
dv
.
2
0
0
4. Integral de superficie de campos escalares.
Sea S una superficie parametrizada por una función diferenciable Φ : D ⊂ R2 → R3
y f : Φ(D) → R un campo escalar acotado en S = Φ(D). Se define la integral de f a lo
largo de la superficie S como
ZZ
ZZ
f dS =
f Φ(u, v) · |Tu × Tv | dudv,
S
D
siempre que la última integral exista.
Ejemplos.
1) Si f ≡ 1, la integral representa el área de S.
2) Si f (x, y, z) representa la densidad de una lámina en cada punto de una superficie S,
la masa de la superficie es
ZZ
m=
f dS.
S
4
3) El centro de gravedad de la lámina anterior es el punto ( x, y, z), donde
1
x=
m
ZZ
1
x · f (x, y, z) dS, y =
m
S
ZZ
1
y · f (x, y, z) dS, z =
m
S
ZZ
z · f (x, y, z) dS.
S
4) Si f (x, y, z) representa la temperatura en cada punto
Z Z de una superficie S, el flujo de
calor a través de la superficie se determina por
f dS y la temperatura promedio
S
de la superficie es
RR
f dS
T = RRS
.
1 dS
S
5. Integral de superficie de campos vectoriales.
Sea S una superficie parametrizada por una función diferenciable Φ : D ⊂ R2 → R3 y
F : Φ(D) → R3 un campo vectorial acotado en S = Φ(D). Se define la integral de F a lo
largo de la superficie S a
ZZ
ZZ
ZZ
F dS =
F (Φ(u, v)) · (Tu × Tv ) dudv =
F · n dS,
S
D
S
−
donde →
n es el vector unitario normal a la superficie. Dicha integral también recibe el
nombre de flujo de F a través de S por el significado fı́sico que representa.
Notación. Si F = (F1 , F2 , F3 ) es un campo vectorial, la integral de F a lo largo de
una superficie S se suele denotar por
Z
Z
F =
F1 dydz + F2 dzdx + F3 dxdy.
S
S
−
El motivo de esta notación es que el vector normal →
n es igual a
→ ∂(x, y)
→ ∂(y, z) −
−
→ ∂(z, x) −
−
→
n = i
+ j
+ k
.
∂(u, v)
∂(u, v)
∂(u, v)
Independencia de la parametrización.
Consideraremos aquı́ superficies orientadas, es decir superficies S en las que, en cada
→1 y −
→2 , con −
→1 = −−
→2 , de manera que
punto, existen dos vectores normales unitarios −
n
n
n
n
→
→
para cualquier elección del vector unitario normal −
n en cada punto de S, −
n varı́a de
−
forma continua a lo largo de S. Ası́, cada elección de →
n da lugar a una orientación de la
superficie. En el caso de una superficie cerrada, se conviene en llamar orientación positiva
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aquella en la que los vectores normales sealan hacia el exterior del sólido que limita la
superficie. Del mismo modo, si la superficie S viene definida por su fórmula explı́cita
→
−
z = f (x, y), se considera el lado positivo de S aquél en que la componente k del vector
normal es positiva.
Teniendo en cuenta este hecho, decimos que una parametrización Φ de S conserva la
orientación de ésta cuando Tu × Tv es un vector que apunta hacia el lado positivo de S.
En caso contrario, decimos que Φ invierte la orientación.
Se puede probar entonces que la integral de superficie de un campo vectorial es independiente de la parametrización siempre que conserve la orientación de la superficie. En
caso contrario, el resultado es el opuesto.
Ejemplos.
√
1) Si F (x, y, z) = (0, y, 0) representa la velocidad de un fluido, para calcular la razón del
flujo de dicho fluido que atraviesa la superficie S = {(x, y, z) : x2 +z 2 = y, 0 ≤ y ≤ 1},
en primer lugar consideramos la siguiente parametrización de la superficie:
Φ(u, v) = (u cos v, u2 , u sen v), 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π.
El vector normal a la superficie viene dado por:
Tu × Tv = (cos v, 2u, sen v) × (−u sen v, 0, u cos v) = (2u2 cos v, −u, 2u2 sen v).
Entonces,
ZZ
Z
F dS =
S
0
2π
Z
1
2
2
Z
(0, u, 0) · (2u cos v, −u, 2u sen v) du = 2π
dv
0
1
−u2 du =
0
−2π
.
3
El signo negativo del resultado es debido a que el vector normal tiene sentido opuesto
→
−
→
al del movimiento del fluido (la componente j de F es positiva pero la de −
n es
negativa). Ası́ pues, la razón de flujo que atraviesa la superficie es de 2π/3.
2) Supongamos que la temperatura de un punto de una esfera S es proporcional al
cuadrado de la distancia de dicho punto al centro de la esfera. Es sabido que el flujo
de calor viene medido por el campo vectorial F = −k · ∇T , donde k > 0 representa la
conductividad del medio y T la temperatura.
Para calcular la razón total del flujo de calor que atraviesa la esfera (la cual supondremos que tiene centro el origen y radio a), consideremos la parametrización de S
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dada por
Φ(u, v) = (a cos u sen v, a sen u sen v, a cos v), 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ π,
y calculemos el flujo de calor. Como T (x, y, z) = C · (x2 + y 2 + z 2 ), entonces
F (x, y, z) = −k · ∇T (x, y, z) = −k · C · (2x, 2y, 2z).
El vector normal exterior a la superficie es
Tu × Tv = (a2 cos u sen2 v, a2 sen u sen2 v, a2 sen v cos v)
y la razón de flujo viene dada por la integral
ZZ
Z
F dS = −
S
2π
Z
du
0
π
2kC · a3 sen v dv = −8πk C a3 .
0
En este caso particular, podrı́amos haber simplificado los cálculos teniendo en cuenta
→
que, si denotamos por −
r = (x, y, z) un punto de la superficie, el vector unitario normal
→
−
→
−
→ →
−
→
→
= ra . Como F (x, y, z) = −2k · C · −
r , entonces F · −
n =
exterior es también −
n = (x,y,z)
a
−2k · C · a. Por tanto,
ZZ
− −
→
F ·→
n = −2k · C · a · área (S) = −8πk C a3 .
S
3) Si E(x, y, z) = (2x, 2y, 2z) es un campo eléctrico, encontrar el flujo de E que sale a
través de la superficie cerrada S que consta de la semiesfera x2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0,
y su base.
Como los puntos de la circunferencia x2 + y 2 = 1, z = 0, son singulares, debemos
descomponer la superficie en dos partes, de modo que llamaremos S1 a la semiesfera
y S2 al cı́rculo que forma la tapa inferior.
Una parametrización de S1 viene dada por la función
Φ1 (u, v) = (cos u sen v, sen u sen v, cos v), 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ π/2.
El vector normal a la superficie es
Tu × Tv = (− cos u sen2 v, − sen u sen2 v, − sen v cos v)
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→
−
(observar que la componente k de dicho vector es negativa por lo que el vector normal
apunta hacia el interior de la superficie; el resultado de la integral será opuesto al flujo
deseado).
Ası́ pues, el flujo a través de S1 es
ZZ
Z
π/2
Z
2(cos2 u sen3 v + sen2 u sen3 v + sen v cos2 v) dv = 4π.
du
E dS =
S1
2π
0
0
Análogamente, si parametrizamos la superficie S2 por
Φ2 (u, v) = (u cos v, u sen v, 0), 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π,
el vector normal asociado es
Tu × Tv = (cos v, sen v, 0) × (−u sen v, u cos v, 0) = (0, 0, u)
→
−
(que apunta hacia el interior de la superficie pues la componente k es positiva; el
resultado de la integral tendrá valor opuesto al flujo deseado).
El flujo a través de la superficie es
ZZ
Z
E dS =
S2
1
Z
du
0
2π
0 dv = 0.
0
La suma de ambos resultados da, en definitiva, que
ZZ
E dS = 4π.
S
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