optimizacion con restricciones

Matemáticas Avanzadas – Relación 5
Problemas de optimización de funciones implícitas y de funciones con una
restricción de igualdad
1.- Halle los extremos relativos de la función z = f ( x, y ) definida implícitamente por la
ecuación x 2 + 2 y 2 + z 2 − 64 = 0 .
2.- Halle el valor máximo de la función f ( x, y ) = xy sujeta a la restricción x + y = 1 .
3.- Halle los valores máximos y mínimos de la función f ( x, y ) = xy sujeta a la
restricción x 2 + y 2 = 1 .
4.- Estime el cambio que se producirá en los valores máximo y mínimo alcanzados en el
ejercicio anterior en el caso en que ahora la restricción sea x 2 + y 2 = 2 (Ayuda: Hay que
utilizar la interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange).
5.- El departamento de carreteras planea construir un área de excursión para los
automovilistas a lo largo de una vía principal. Será rectangular, tendrá un área de 5000
yardas cuadraras y se cercarán los tres lados no adyacentes a la carretera. ¿Cuál es la
cantidad mínima de cercado que se necesitará para completar el trabajo?
6.- Halle los valores máximos y mínimos de la función f ( x, y ) = xy sujeta a la
restricción x 2 + y 2 = 8 .
7.- Se va a construir un joyero. El material de la parte inferior cuesta 1$ la pulgada
cuadrada, el de los lados cuesta 2$ la pulgada cuadrada, el de la parte superior o tapa
cuesta 5$ la pulgada cuadrada. Si el volumen total es de 96 pulgadas cúbicas, ¿qué
dimensiones minimizarán el costo total de construcción?
8.- Un consumidor tiene 600$ para invertir en dos artículos: el primero de ellos cuesta
20$ la unidad y el segundo 30$ la unidad. Suponga que la utilidad obtenida por el
consumidor de las x unidades del primer artículo y de las y unidades del segundo
artículo está dada por la función de utilidad de Cobb-Douglas U ( x, y ) = 10 x 0'6 y 0'4 .
¿Cuántas unidades de cada artículo debería comprar el consumidor para maximizar la
utilidad?
9.- A un editor se le han asignado 60000$ para invertir en desarrollo y promoción de un
nuevo libro. Se estima que si se invierten x miles de dólares en desarrollo e y miles de
dólares en promoción, se venderán aproximadamente f ( x, y ) = 20 x3/ 2 y ejemplares del
libro. ¿Cuánto dinero debería asignar el editor a desarrollo y cuánto a promoción para
maximizar las ventas?
10.- Suponga que al editor del ejercicio anterior se le asignan 61000S en lugar de 60000
para invertir en desarrollo y promoción del nuevo libro. Estime cómo afectarán los
1000$ adicionales al nivel máximo de ventas. (Ayuda: Hay que utilizar la interpretación
económica de los multiplicadores de Lagrange).