Mecánica Analıtica Curso 2016 Práctico 3 Fuerzas no conservativas

Mecánica Analı́tica
Curso 2016
Práctico 3
Fuerzas no conservativas y reactivas. Vı́nculos no holónomos
km
1. Una partı́cula de masa m sujeta al potencial central atractivo V (r) = −
se enr
→
−
→
−
cuentra en un medio dispersivo que le aplica una fuerza F D = −γm V . Suponga que la
órbita es plana, use coordenadas polares y halle las ecuaciones de movimiento usando el
formalismo Lagrangeano con fuerzas disipativas.
2. Para el problema de un aro homogéneo de radio R y siempre vertical, que rueda sin
deslizar sobre una superficie horizontal (vı́nculos no holónomos), halle las ecuaciones de
movimiento, resuélvalas y demuestre que el centro de masa se mueve en un cı́rculo. Halle
el radio de este movimiento circular y su rapidez en términos de R y las velocidades
angulares.
3. Considere una barra homogénea de masa M y longitud H restringida a moverse en un
plano vertical. Tome como coordenadas generalizadas las componentes cartesianas (x,
y) de la posición de su centro de masa y el angulo θ que forma la barra con la horizontal.
a. Si S es el referencial laboratorio y S 0 el referencial con origen en el centro de
masa y sin velocidad angular respecto a S. Halle la energı́á cinética de la barra en los
referenciales S y S 0 . Escriba el Lagrangeano.
b. Suponga que la barra anterior se desliza sin fricción apoyando un extremo en el
piso horizontal y el otro en una pared vertical.
b1) Debido al contacto de la barra con dos superficies aparecen dos vı́nculos. Escriba cada uno de ellos en función de las coordenadas cartesianas de la partı́cula que
está en contacto con el piso. Luego re-escriba los vı́nculos en función de las coordenadas
generalizadas (x, y, θ).
b2) Halle las ecuaciones de Lagrange y obtenga los multiplicadores de Lagrange en
función de θ y θ̇.
b3) Halle el vector fuerza reactiva que actúa sobre la partı́cula en contacto con la
pared.
b4) Escriba la energı́a del sistema en función de θ y θ̇.
b5) Inicialmente la barra está en reposo y θ = θ0 . Demuestre que la barra se despega
de la pared (i.e. la fuerza reactiva de la parte b3 se anula) cuando sen θ = 32 sen θ0 .
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4. Considere un aro homogéneo de masa M y radio R restringido a moverse en un plano
vertical. Tome como coordenadas generalizadas las coordenadas polares (r, θ) de su centro de masa y el ángulo de giro φ alrededor de su centro de masa.
a. Halle la energı́a cinética, la energı́a potencial y el Lagrangeano del sistema.
b. Suponga que el aro anterior rueda sin deslizar apoyado sobre un alambre semicircular de radio b como se muestra en la siguiente figura.
b1) Escriba los vı́nculos y encuentre todas las ecuaciones diferenciales que permitan
hallar las coordenadas generalizadas y los multiplicadores de Lagrange asociados a los
vı́nculos.
b2) Halle los multiplicadores de Lagrange en función de θ. Suponga que el aro parte
del reposo en θ = 0.
b3) La fuerza reactiva asociada al vı́nculo r = cte es la normal; halle para qué ángulo
θ se anula, i.e. se desprende el aro del alambre.
5. Considere un aro homogéneo de masa M y radio R restringido a moverse en un plano
vertical.
a. Suponga que el aro cae libremente. Tome como coordenadas generalizadas las
coordenadas polares (r, θ) de su centro de masa y el angulo de giro φ alrededor de
su centro de masa. Halle la energı́a cinética, la energı́a potencial y el Lagrangeano del
sistema.
b. Suponga ahora que el aro rueda sin deslizar por el interior de otro aro vertical fijo
y de radio H. Use las mismas coordenadas generalizadas de la primera parte a) (r, θ,
phi).
b1) Escriba los vı́nculos y halle todas las ecuaciones cuya solución proporcione todas
las coordenadas generalizadas y multiplicadores de Lagrange. Desacoplando las ecuaciones anteriores halle una ecuación diferencial que sólo involucre a la variable θ.
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b2) Halle a θ̇2 y los multiplicadores de Lagrange en función del ángulo θ, suponga
que inicialmente el aro se encuentra en la posición más baja y con velocidad angular
φ̇2 = g(H − R)/2R. Halle hasta qué ángulo θ sube el aro.
6. Una rueda uniforme rueda sin deslizar sobre una superficie plana que forma un ángulo
α con la horizontal. La rueda ha de permanecer en un plano perpendicular al inclinado,
pero puede girar alrededor de un eje perpendicular a la superficie. Halle las ecuaciones
integradas del movimiento bidimensional de la rueda, utilizando las ecuaciones de Lagrange y el método de los multiplicadores de Lagrange.
7. La figura siguiente a la izquierda muestra dos partı́culas de igual masa, m1 = m2 = m,
unidas por una barra sin masa de longitud H = 6D. Las partı́culas están obligadas a
moverse en un plano vertical x − z con el eje z apuntando hacia abajo. Tome como coordenadas generalizadas las coordenadas polares (r, θ) del centro de la barra y el angulo α
que forma la barra con la horizontal.
a. Halle en función de las coordenadas generalizadas: las coordenadas cartesianas de
cada partı́cula, la energı́a cinética, la energı́a potencial y el Lagrangeano del sistema.
b. Suponga que el sistema anterior se dispone de tal forma que las partı́culas están
obligadas a moverse sin roce sobre un aro vertical de radio R = 5D como se muestra en
la figura anterior a la derecha.
b1) Escriba los vı́nculos que restringen las partı́culas al aro en función de las coordenadas cartesianas de las partı́culas. Estos vı́nculos producen fuerzas reactivas, R1 y
R2 , sobre las partı́culas. Halle estos vectores fuerza en función de los multiplicadores de
Lagrange y de las coordenadas cartesianas de las partı́culas. Determine las direcciones
de R1 y R2 y muéstrelas en un dibujo.
b2) Escriba los vı́nculos anteriores en función de las coordenadas generalizadas (r, θ, α).
Halle las fuerzas reactivas generalizadas asociadas a estos vı́nculos, (Θr , Θθ , Θα ), en función de los multiplicadores de Lagrange y de las coordenadas generalizadas.
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b3) A partir de las ecuaciones de Lagrange encuentre todas las ecuaciones diferenciales que permitan hallar las coordenadas generalizadas y los multiplicadores de Lagrange
asociados a los vı́nculos. Recuerde utilizar los vı́nculos para simplificar las ecuaciones.
Encuentre una ecuación diferencial donde sólo aparezca como variable θ.
b4) Suponga que el sistema parte del reposo en θ = π/2. Halle θ̇2 y los multiplicadores de Lagrange en función de θ. Encuentre |R1 | para θ = 0.
8. Considere el sistema de la figura, formado por dos masas M y m, conectadas entre
sı́ y al techo por un hilo inextensible y sin masa (las poleas tampoco tienen masa). La
masa m a su vez esta unida a un resorte ideal de constante k y longitud natural nula.
a. Encuentre y resuelva las ecuaciones de Lagrange del movimiento.
b. Calcule las tensiones de la cuerda por el metodo de multiplicadores de Lagrange.
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