Unidad_III_Interpretacion_Geometrica_de_la_derivada

GIMNASIO VIRTUAL SAN FRANCISCO JAVIER
“Valores y Tecnología para la Formación Integral del Ser Humano”
UNIDAD III
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE
LA DERIVADA
Situación: Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva y = x² en el punto P (3, 9), como se
muestra en la ilustración.
Solución:
Calculamos la pendiente de rectas que nos aproximen a la
recta tangente en P (3, 9).
Tomamos puntos Qi en la curva y = x², cerca del punto P, y calculamos la
pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Qi. Este procedimiento lo
resumimos en la siguiente tabla:
Las ilustraciones indican que la pendiente de la recta tangente a la curva y =
x², en P (3, 9), posiblemente está entre 5,99 y 6,01.
Para hallar el valor exacto de la pendiente, tomamos el punto Q con abscisa muy cerca de 3:
Q(3 + Dx, (3 + Dx)²), donde Dx 0
(Dx se lee delta x), significa un cambio de x, Dx usualmente representa una cantidad pequeña, y puede
ser positiva o negativa; de esta manera 3 + Dx estará muy próxima a 3.
pendiente =
(desarrollando el cuadrado)
pendiente = 6 + Dx
(simplificando)
cuando Dx se aproxime a 0, es decir, cuando el punto Q se aproxime al punto P, entonces la pendiente
de la recta que pasa por P y Q, que es igual a 6 + Dx, se aproxima a 6.
En resumen, la pendiente de la recta tangente a la curva y = x² en el punto P (3, 9) es igual a
Matemáticas
Unidad 3
Calculamos la pendiente de la recta que pasa por P y Q:
Undécimo 1
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=
(6 + Dx) = 6
Conclusión
Si y = f(x) es una curva y P (a, f(a)) es un punto sobre esta curva, entonces la
pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (a, f(a) es igual a
Siempre y cuando este límite exista.
2. Ordenar de menor a mayor las pendientes halladas
anteriormente.
3. Escribir dos puntos de la curva y = x² donde la pendiente
de la recta tangente sea negativa.
4. Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva y = x³
en el punto: P(0, 0)
5. Calcular el valor de la función g(x) = 3x² para
x = 0, x = -1, x = 2.
Matemáticas
Unidad 3
Ejercicios
1. Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva y = x²
en cada uno de los siguientes puntos: P (0, 0); Q (1, 1); R (2,
4); S (3, 9).
Undécimo 2
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Links
Límites,
integrales
derivadas,
INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LA DERIVADA
Situación
Se lanza verticalmente al aire una pelota con velocidad de 64 pies/seg.
Su desplazamiento en el tiempo t viene dado, según las leyes cinemáticas del movimiento por la
función.
S(t) = -16t² + 64t, para 0 £ t £ 4.
a. Calculemos la velocidad media durante el primer medio segundo, el primer segundo y el segundo
segundo,
luego
de
ser
lanzada.
b. Calculemos la velocidad instantánea de la pelota al cabo de medio segundo, un segundo, dos
segundos, t segundos.
Solución
a. Como la velocidad media (Vm) de un cuerpo es igual a distancia recorrida, entonces, durante:
tiempo transcurrido
El primer medio segundo la velocidad media = S(1/2) - S(0) = 56 pies /seg
1/2 - 0
El primer segundo
la velocidad media = S(1) - S(0) = 48 pies /seg
1-0
El segundo segundo
/seg
la velocidad media = S(2) - S(1) = 16 pies
b. Calculamos la velocidad instantánea de la pelota a los t segundos.
Primero hallamos la velocidad media de la pelota en el intervalo de tiempo [t, t + Dt], dondEe Dt
representa un incremento en la variable tiempo t:
Matemáticas
Unidad 3
2-1
Undécimo 3
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velocidad media en [t, t + Dt]
Segundo, calculamos:
(velocidad media en [t, t + Dt])
(-32t - 16Dt + 64) = -32t + 64
Por consiguiente, la velocidad instantánea de la pelota en el tiempo t es igual a
V(t) = -32t + 64
así la velocidad instantánea al cabo de ½, 1 y 2 segundos, es V(½) = 48 pies/seg,
V(1) = 32 pies /seg, v(2) = 0, respectivamente.
Conclusión
Velocidad
media
en
el
intervalo
de
tiempo
[t,
t
+
Dt]
=
Velocidad
instantánea
en
el
tiempo
t
=
siempre y cuando este límite exista, en cuyo caso la velocidad instantánea se simboliza por S'(t) y se
llama derivada de la función de desplazamiento: S’(t) = V(t).
Ejercicios
a. ¿Cuál es la altura de la casa?
b. ¿Cuál es la velocidad media de la pelota en el primer segundo?
Matemáticas
Unidad 3
1. Se lanza al aire una pelota desde la azotea de una casa; su altura h (en pies) sobre el suelo, t
segundos
después
de
haberla
lanzado,
está
dada
por:
h(t) = -16t² + 48t +160
Undécimo 4
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c. Calcular la velocidad instantánea de la pelota en t = 1 segundo.
d. Trazar una gráfica de la función h y determinar la altura máxima a la que llega la pelota.
e. ¿Cuál debe ser la velocidad en el instante en que la pelota llega al punto más alto?
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Undécimo 5