CAMPO GRAVITATORIO Índice de contenidos: Introducción 1 Momento angular 2 Leyes de Kepler 3 Ley de gravitación Universal 4 Concepto de campo 6 Líneas de Fuerza 6 Campo gravitatorio 7 Campo conservativo 8 Energía potencial gravitatoria 9 Flujo de un campo gravitatorio. Teorema de Gauss 11 Aplicaciones del Teorema de Gauss. 11 Velocidad de escape. 13 Satélites 14 Campo gravitatorio _ 1 de 16 INTRODUCCIÓN La observación y posteriormente el estudio de los cuerpos celestes atrajo al hombre desde la antigüedad. Primero es una necesidad (control de los tiempos para la siembra o la recogida) y luego, controlado esto, se satisface la necesidad de un conocimiento mayor. De esta forma surgen desde tiempo remotos, teorías que intentan explicar el movimiento de estos cuerpos. Así por ejemplo Ptolomeo de Alejandría establece un sistema en el que la Tierra ocuparía el centro del Universo y en torno a ella se moverían los demás cuerpos celestes describiendo órbitas cuya forma sería una epicicloide (el planeta describiría con movimiento uniforme un círculo, epiciclo, cuyo centro se desplazaba a lo largo de otro círculo de mayor radio que está ocupado en su centro por la Tierra, este último círculo recibe el nombre de deferente. Estas y otras explicaciones similares fueron aceptadas como válidas hasta el siglo XVI en que Copérnico (1473 - 1543) consideró que todos los planetas, incluida la Tierra, giraban en torno al Sol que estaría en el centro de sus órbitas. Las ideas principales de su teoría son: • Los movimientos celestes son uniformes, eternos, y circulares o compuestos de diversos ciclos (epiciclos). • El centro del universo se encuentra cerca del Sol. • Orbitando el Sol, en orden, se encuentran Mercurio, Venus, la Tierra y la Luna, Marte, Júpiter, Saturno. • Las estrellas son objetos distantes que permanecen fijos y por lo tanto no orbitan alrededor del Sol. • La Tierra tiene tres movimientos: la rotación diaria, la revolución anual, y la inclinación anual de su eje. • El movimiento retrógrado, se refiere a la observación de que los otros planetas del Sistema Solar parecen ir hacia atrás en ciertos momentos de su movimiento (esto era lo que solucionaba Ptolomeo introduciendo los epiciclos), de los planetas es explicado por el movimiento de la Tierra. • Sistema solar de Copérnico. De revolutionibus orbium coelestium (1566) La distancia de la Tierra al Sol es pequeña comparada con la distancia a las estrellas. Sus propuestas agradaron en principio al papa Clemente VII quién le invitó a participar en la reforma del calendario. No obstante chocaron con la Puedes bajar este pdf y ver las animaciones en http://fisicayquimicaenflash.es Campo gravitatorio _ 2 de 16 incomprensión de muchos contemporáneos que se oponían a ellas e incluso las condenaban como heréticas. De hecho uno de sus primeros detractores fue Lutero aunque luego también la Iglesia Católica decide incluir su libro en el índice de obras prohibidas (Acta del Santo Oficio 16 de Febrero de 1616). También algunos científicos negaban la validez de las teorías copernicanas. Uno de los astrónomos más importantes en esa época, Tycho Brahe (1546 - 1601), se opone firmemente al modelo de Copernico y elabora, usando todas sus propias observaciones, que son las mejores en aquel momento, un modelo alternativo al de Copernico que sigue respetando la situación de la Tierra en el centro del Universo. Galileo (1564 – 1642), padre del método experimental y uno de los que más influye en el cambio de mentalidad en la Ciencia, basándose en sus propias observaciones y en las leyes elaboradas por Kepler (que veremos más adelante) de las que tenía noticia porque mantenía con él una relación espistolar, también abraza la teoría copernicana lo cual le traería serios problemas con la Inquisición. Repaso conceptos previos MOMENTO ANGULAR Se define el momento angular con respecto a O de una partícula de masa m que se mueve a una velocidad como el momento respecto a O del vector momento lineal de esa partícula: r r r L = r × mv El momento angular será un vector perpendicular al plano determinado por el punto O y el vector momento lineal. En general esta magnitud cambiará de dirección módulo y sentido según sea el movimiento de la partícula. Sin embargo, si la trayectoria está en un plano la dirección del momento angular permanece constante. En el caso de un movimiento circular el módulo de será r L m r v (pues r y v son en este caso perpendiculares) o lo que es lo mismo r r r mv L L=mω r2. Para estudiar la variación del momento angular estudiaremos su derivada respecto al tiempo. r r r r r r dp dL d (r × p) dr r = = ×p + r× dt dt dt dt Pero el primer producto será cero puesto que se multiplican dos vectores que tienen la misma Puedes bajar este pdf y ver las animaciones en http://fisicayquimicaenflash.es Campo gravitatorio _ 3 de 16 dirección (velocidad y momento lineal). Por otro lado el segundo sumando es el valor del momento de la fuerza que actúa sobre la partícula respecto del punto O. LEYES DE KEPLER La propuesta de Copérnico cautiva a Kepler ya que explica de una forma mucho más sencilla que hasta el momento el funcionamiento del Universo. En ella se basa para enunciar las leyes del movimiento planetario. Usando las observaciones y medidas realizadas por T. Brahe y por él mismo, éstas mucho menos importantes ya que su fuerte era el cálculo, pues a causa de una enfermedad en la infancia había perdido mucha vista, Kepler publica sus resultados en 1609, se pueden resumir en tres leyes: • 1ª Los planetas en su movimiento alrededor del Sol describen órbitas planas, cerradas de forma elíptica en uno de cuyos focos está el Sol. • 2ª El segmento que une el sol y un planeta barre superficies iguales en tiempos iguales (ley de las areas). Definiendo la velocidad areolar como el area barrida por el vector de posición de un planeta tomando como origen el Sol, esta ley se puede enunciar: "La velocidad areolar de un planeta es constante a lo largo de toda su trayectoria." • 3ª El cociente entre el cuadrado del periodo de un planeta cualquiera y el cubo del semieje mayor de la elipse descrita por el planeta tiene el mismo valor para todos ellos. 1ª ley de Kepler: Los planetas giran en órbitas planas cerradas que recorren siempre en el mismo sentido. r L F r r r mv La derivada del momento angular del planeta respecto r F F de la posición del Sol será: r r r dL d (r × mv ) = dt dt recordemos que la derivada de un producto es “derivada del primer factor por el segundo sin derivar más el primero por la derivada del segundo”. r r r r r d (mv ) r r r r r r dL dr = × mv + r × = v × mv + r × ma = r × F dt dt dt Pero como podemos observar el primer producto vectorial es cero puesto que los dos vectores tienen la misma dirección y el mismo sentido (sen 0 = 0) y en el segundo los dos vectores tienen sentidos opuestos (sen 180 = 0). Esto significa que el momento angular es constante. Lo es su módulo, su dirección y su sentido. r Al ser constante la dirección se deduce que mv y la posición del Sol estarán siempre en el mismo Puedes bajar este pdf y ver las animaciones en http://fisicayquimicaenflash.es Campo gravitatorio _ 4 de 16 plano y que el sentido de giro del planeta será siempre el mismo (en caso contrario se daría un cambio en el sentido de la dirección del momento angular. 2ª ley de Kepler (ley de las áreas) “El vector de posición del planeta, tomando como origen la estrella, barre áreas iguales en tiempos iguales” También aquí el valor constante del momento angular del planeta respecto de la posición de la estrella puede explicarla. Ahora es el valor constante de su módulo el que nos lo va a explicar: dA dl dA L = r·m· = 2m· dt dt dl r Como el momento angular y la masa son constantes la velocidad areolar también lo será. 3ª ley de Kepler si dos planetas/satélites giran en torno a una estrella/planeta lo hacen de forma que la relación entre el cuadrado del periodo de cada uno de ellos y el cubo del radio es constante. Se demostrará a partir de la Ley de Gravitación Universal de Newton. T12 T22 = R13 R23 LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL Basándose en las leyes de la Dinámica y en las leyes de Kepler planteadas anteriormente, Newton deduce (a consecuencia de una apuesta) la ley de gravitación universal. Para simplificar el cálculo, suponemos que el planeta gira en una órbita circular de radio R. El planeta estará sometido a una aceleración: r F21 r F12 4π v 2 an = = ω R = 2 R R T 2 2 Según lo expuesto anteriormente en la 2ª Ley de Kepler (velocidad areolar constante) su velocidad lineal (v) será constante y también su velocidad angular (ω). Aplicando la 2ª ley de Newton la fuerza a que estará sometido el planeta será: 4 2 F = m a n = m π2 R T Puedes bajar este pdf y ver las animaciones en http://fisicayquimicaenflash.es Campo gravitatorio _ 5 de 16 2 Multipliacando y dividiendo por R : 4π 2 F=m 2 T R 2 2 R3 3 Teniendo en cuenta la tercera ley de Kepler: (T / R ) constante: F=m 4π 2 R 2 K1 Según el principio de acción y reacción el planeta ejercerá sobre el Sol una fuerza de igual módulo, dirección y sentido contrario: F=M 4π 2 R Como ambas fuerzas son iguales: 2 K2 M⋅K2 = m⋅K1 es decir: K2/m = K1/M = K. Sustituyendo en la ecuación de la fuerza: 4π 2 F= K1 M ·m M 2 R Los primeros factores de la fórmula de la fuerza son constantes con lo que se puede poner: F =G m·M R 2 -11 Siendo G la Constante de Gravitación Universal cuyo valor es 6,67·10 2 -2 Nm s . "La fuerza de atracción entre dos cuerpos materiales, con masas M y m, es directamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros". El valor de G fue determinado experimentalmente por H. Cavendish utilizando la balanza de torsión. Permite calcular la fuerza gravitatoria entre las bolas pequeñas y las grandes de la figura a partir del ángulo medido de torsión del hilo metálico del que cuelgan. El ángulo de torsión φ se mide utilizando un espejo que refleja un rayo luminoso que llega a él. Midiendo el ángulo que forman el rayo incidente y el reflejado se calcula el ángulo de torsión. También se conoce la constante de torsión (k) del hilo así como el valor de las masas que interaccionan y la distancia entre sus centros (r). El momento del par que se genera (fuerzas de atracción gravitatoria por la longitud de la barra (de masa despreciable) que une las esferas pequeñas es igual al producto de la constante de torsión por el ángulo. Conocidos todos los valores menos G, se puede calcular éste. Puedes bajar este pdf y ver las animaciones en http://fisicayquimicaenflash.es Campo gravitatorio _ 6 de 16 G será numéricamente igual a la fuerza con que se atraen dos masas de 1 kg separadas una distancia de 1 metro. Las unidades son 2 -2 N·m ·kg Una vez calculado el valor de G y conociendo el peso de un cuerpo cualquiera se puede determinar el valor de la masa de la Tierra. También se puede determinar la masa del Sol o de cualquier planeta. CONCEPTO DE CAMPO. LINEAS DE FUERZA. onc Si en todos los puntos de una región del espacio, una magnitud física, escalar o vectorial, toma valores que dependen de las coordenadas y del tiempo, se dice que esa región del espacio es un campo. Si la magnitud física es un escalar se llama campo escalar y si la magnitud física es un vector se trata de un campo vectorial. Para representar un campo escalar se usan líneas que unen todos T1 los puntos en los que la magnitud escalar toma un valor constante T2 (líneas o superficies isoescalares o equiescalares). T3 Las lineas isoescalares no se cortarán nunca pues en cada punto del campo el escalar solamente toma un valor. Otro ejemplo de lineas isoescalares serían las isóbaras de un mapa meteorológico (estas líneas unen puntos de igual presión). B A Cuando se trata de representar un campo vectorial, siendo r F r F la magnitud vectorial definida en el campo se dibujan las líneas de campo. Se definen éstas como aquellas líneas que en cada punto del campo son tangentes al vector r r F en ese punto. El módulo de F viene dado por el número de líneas de campo que en cada lugar atraviesa la unidad de superficie. Así en A el módulo de r F es 4 mientras que en B es solamente 3. Las superficies en A y B son superficies unitarias. Tampoco las líneas de campo se cortan pues en cada punto la dirección de Cuando la magnitud r F es única. r F es una fuerza se dice que el campo vectorial es un campo de fuerzas y las líneas de campo se llaman líneas de fuerza. Puedes bajar este pdf y ver las animaciones en http://fisicayquimicaenflash.es Campo gravitatorio _ 7 de 16 Si de un punto de un campo salen más líneas de campo que las que entran en él se dice que ese punto es un manantial de líneas de campo (I), en caso contrario se habla de un sumidero de líneas de campo (II). CAMPOS DE FUERZAS. Son lugares del espacio donde al colocar un punto material, que posee una magnitud física determinada (masa, carga,...) aparece una fuerza sobre él. Esta fuerza depende de las coordenadas de cada punto y de la magnitud activa (puede ser la masa en un campo gravitatorio, la carga en un campo eléctrico…) La partícula que crea el campo posee también esa magnitud activa. La fuerza que en un punto determinado actúa sobre un punto material de magnitud activa (a) viene F = a·E dada por: E es el vector intensidad de campo. Se define como la fuerza que actua en un punto del campo sobre la partícula de magnitud activa (a=1) unidad cuando se situa en ese punto del campo. En estos campos las líneas de campo son líneas de fuerza tangentes en cada punto al vector E. CAMPO GRAVITATORIO. r f r ur Para describir la interacción a distancia entre dos cuerpos m’ m recurriremos al concepto anterior de campo de fuerzas. Ahora la magnitud activa que crea el campo es la masa. • Sea una masa m la que crea el campo de fuerzas. Hemos visto antes (Ley de Gravitación Universal) que toda masa m' situada en el campo experimenta una fuerza de atracción hacia m: r m·m′ r f =−G ur 2 d Donde r ur es un vector unitario cuya dirección es la línea que une los centros de masas de m y m' y sentido de m a m'. • Si en un punto del espacio existe una masa m crea un campo gravitatorio y en cada uno de sus puntos se define el vector intensidad de campo de dirección la recta que une el punto con m, sentido hacia m y módulo el de la fuerza que se ejercería en ese punto sobre una masa m' unidad: Puedes bajar este pdf y ver las animaciones en http://fisicayquimicaenflash.es Campo gravitatorio _ 8 de 16 r r f m r g = = − G 2 ur m′ d • Esto significa que una masa m' colocada en un punto del campo experimenta una fuerza sobre ella: • r r f = mg La trayectoria que seguiría cualquier masa m' situada en el campo converge en la masa m por lo que esta masa sería un sumidero de líneas de fuerza. La dirección del vector r intensidad de campo ( g ) será tangente en todos los puntos de las líneas de fuerza. Principio de superposición: Cuando dos o mas masas crean un campo, la intensidad del campo en cualquier punto es la intensidad de campo m2 gravitatorio en un punto es la suma vectorial de cada una de las intensidades de campo debidas a la presencia de las r g2 r g r g3 r g1 m1 m3 cargas respectivas. CAMPOS CONSERVATIVOS. Se pueden definir como tales aquellos campos vectoriales en los que el trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar una partícula de un punto a otro solamente depende de la posición inicial y final de la partícula y no del camino recorrido. Este trabajo realizado por las fuerzas del campo coincide con la disminución de la energía potencial y también con el aumento de la energía cinética. I Sea un campo de fuerzas conservativo. El trabajo realizado A II B para llevar una partícula desde el origen hasta un punto B r r (x,y,z) se puede definir como: W A → B = ∫A F dr El trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar a la partícula desde O hasta P será igual a la disminución de la energía potencial de la misma. W A→ B = r r F ∫A dr = E p A − E pB B Pero la disminución de la energía potencial implica un incremento de la energía cinética, es decir, el trabajo realizado por las fuerzas del campo también se puede considerar igual a la diferencia entre la energía cinética final menos la energía cinética inicial. W A→ B = r r F ∫A dr = E C B − E C A B Como el trabajo realizado es el mismo se deduce que la suma de energía cinética y potencial, la energía mecánica del sistema permanece constante en un campo conservativo. Son campos conservativos todos los campos de fuerzas centrales, es decir todos aquellos en los que las direcciones de las fuerzas del campo pasan por el mismo punto. Ejemplo: Las fuerzas que Puedes bajar este pdf y ver las animaciones en http://fisicayquimicaenflash.es Campo gravitatorio _ 9 de 16 provocan el MAS, los campos gravitatorios, los campos electrostáticos… X Y ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA. 1o m´ Supongamos una masa m' que se mueve en el seno de un campo r F gravitatorio creado por una masa m. La trayectoria que sigue m' es la línea entre 1 y 2. La única fuerza que actua sobre m' está dirigida m siempre hacia el mismo punto (es una fuerza central) por tanto la trayectoria que siga m' estará en un plano (por ejemplo el del papel). o 2 Para llevar m' de 1 a 2 actúa la fuerza ejercida por el campo f. La circulación entre 1 y 2 será: 2 W 1→ 2 = ∫ r r f dr = 2 ∫−G 1 1 m·m′ x 2 dx = G m·m′ x2 −G m·m′ x1 = E p1 - E p 2 De donde se deduce que la energía potencial gravitatoria de una masa m' en un punto que dista x de la masa que crea el campo será: Ep = −G m·m′ x Se sabe que el trabajo realizado sobre m' es también igual al incremento de energía cinética: W 1→ 2 = m′·v 22 m′·v12 m·m′ m·m′ − −G = G 2 2 x2 x1 Por tanto la suma de energía cinética y potencial correspondiente a cada posición será: m′·v 22 m·m′ m′·v12 m·m′ −G −G· = 2 2 x2 x1 Esto significa que, siempre que no actúen fuerzas externas, la energía mecánica del sistema permanece constante. (Teorema de conservación de la energía). ENERGÍA POTENCIAL EN LAS CERCANÍAS DE LA SUPERFICIE TERRESTRE En el caso particular de que un cuerpo de masa m se encuentre en el campo gravitatorio creado por la Tierra podemos poner que la energía potencial de dicho cuerpo que se encuentra a una determinada altura (h) sobre la superficie terrestre será: E p = −G m·M m·M = −G r R+h Supongamos que esa partícula se mueve (por la acción del peso) desde una altura h (a una distancia R del centro de la Tierra) hasta su superficie. El trabajo realizado por esta fuerza supone una variación en la energía potencial del sistema: ∆E p = E p ( h ) − E p ( 0 ) = − GmM GmM 1 1 − − = GmM − R+h R R R+h Operando se llega a que: Puedes bajar este pdf y ver las animaciones en http://fisicayquimicaenflash.es Campo gravitatorio _ 10 de 16 GM h = mgh ∆E p = 2 m R 1 + h R Puesto que h<<R y su cociente se puede considerar cero. Esto es válido para alturas sobre la superficie terrestre mucho menores que el radio de la Tierra, lo que significa que la fuerza de atracción gravitatoria se puede considerar constante entre los dos extremos del desplazamiento (RT = 6370 km). Observando la imagen se puede deducir lo poco que varía g en la estratosfera. POTENCIAL GRAVITATORIO. Se definió como potencial en un punto la energía potencial que en ese punto tenía la partícula de unidad de magnitud activa (en ese caso unidad de masa). El potencial gravitatorio en cada punto será pues: V = m Ep = −G m′ x El trabajo realizado sobre m' por la fuerza gravitatoria se m' se traslada de 1 a 2 es: W1→2= Ep1 - Ep2 = m'(V1 - V2) A V1 - V2 se le llama diferencia de potencial y representa el trabajo realizado por la fuerza del campo para trasladar una masa unidad desde 1 hasta 2. Si se pretende sacar fuera del campo a una masa unitaria situada en un punto del mismo (1) el trabajo realizado será numéricamente igual a la diferencia de potencial pero sus unidades serán J/kg y no J: V1 − V∞ = V1 Potencial en un punto es numéricamente igual al trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar la masa unidad desde ese punto hasta el infinito (fuera del campo). Como se puede deducir de la fórmula del potencial las superficies equipotenciales de un campo creado por una masa puntual son esferas centradas en la masa que crea el campo. Dado que el trabajo para llevar una masa de un punto a otro de una superficie equipotencial será cero (ver fórmula que relaciona trabajo y potencial) se deduce que las líneas de fuerza serán perpendiculares a las superficies equipotenciales en todos sus puntos. También lo será el vector intensidad de campo. Puedes bajar este pdf y ver las animaciones en http://fisicayquimicaenflash.es Campo gravitatorio _ 11 de 16 FLUJO DE UN VECTOR A TRAVES DE UNA SUPERFICIE En primer lugar se debe recordar que una superficie se puede r F representar por un vector de dirección perpendicular a ella y cuyo sentido depende del sentido de recorrido que se asigne al perímetro de la misma. Supongamos ahora la superficie de la figura situada en el interior de un campo, se define como flujo del campo a través de la superficie: r r Φ = ∫ S F·dS pero r r F · dS = F·dS·cos α y dado que dS⋅cosα sería el módulo de la superficie elemental perpendicular al vector r dS r F a (dS') resulta: r dS ' r r Φ = ∫ S F dS = ∫ S F dS cos α = ∫ S F dS ' r r Si la superficie fuese cerrada: Φ = ∫ S F dS Se considera como positivo el flujo cuando las líneas de campo salen hacia afuera de la superficie (recuérdese el signo del producto escalar). FLUJO DE UN CAMPO GRAVITATORIO. TEOREMA DE GAUSS. r d S r g Primer caso: masa m puntual y superficie esférica centrada en ella Calcularemos el flujo a través de dicha superficie: r r Φ = ∫ S g dS r g en cualquier punto de la superficie será perpendicular a r ella (igual dirección que dS ) y su sentido de fuera hacia la masa m r r r dS que crea el campo (contrario a dS ). El módulo de g será igual en El vector r g todos los puntos de la superficie pues todos distan r de m. Por todo ello: Φ = ∫ S − g dS = − g ∫ S dS = − g 4 π r 2 m Φ = − G 2 4 π r2 = − 4 π G m r Segundo caso: una masa puntual m encerrada en una superficie cualquiera S. Dado que el flujo es igual al número de líneas de fuerza que atraviesan dicha superficie, este número será el mismo que el de las líneas de fuerza que atraviesan la superficie esférica S' centrada en m. Por esta razón también aquí: Φ = - 4π⋅G⋅m Puedes bajar este pdf y ver las animaciones en http://fisicayquimicaenflash.es Campo gravitatorio _ 12 de 16 Tercer caso: en el interior de una superficie están las masas m1 y m2. Según el principio de superposición, en un punto de la superficie: r r r g = g1 + g 2 Por lo que el flujo a través de un elemento de superficie ds será: r r r r g1·dS + g 2·dS = dΦ1 + dΦ 2 El flujo total a través de toda la superficie: Φ = Φ1 + Φ 2 = - 4 π G m1 + ( - 4 π G m2 ) = - 4 π G minterior Que es la expresión matemática del teorema de Gauss para un campo gravitatorio (minterior - masa total en el interior de la superficie). Cuarto caso: Supongamos una superficie que no contiene ninguna masa en su interior. Todas las líneas de campo que entran en S salen de ella. Teniendo en cuenta que el flujo entrante es negativo y el saliente positivo: Φ entra + Φ sale = 0 También aquí se cumple el teorema de Gauss pues mint = 0. APLICACIONES DEL TEOREMA DE GAUSS. 1. Cálculo de un campo creado por una esfera homogénea de radio R y masa M. a) En el exterior de la esfera, a una distancia r de su r g centro. S Tomemos la superficie esférica S, centrada en el mismo centro de la masa M y con radio r. Calculamos el flujo del R r campo a través de S. Según la definición de flujo: r Φ = ∫ S g dS = ∫ S − g dS = − g ∫ S dS = − g 4 π r 2 Y según el teorema de Gauss: Φ = − 4 π G minterior Como el flujo es el mismo: − g 4 π r2 = − G 4 π M ⇒ g = G M r 2 La intensidad de campo en cualquier punto exterior a la masa es la misma que la que correspondería a la creada por una masa puntual en el centro de la esfera. Puedes bajar este pdf y ver las animaciones en http://fisicayquimicaenflash.es Campo gravitatorio _ 13 de 16 b) En el interior de la esfera. r dS r g R Al igual que antes: r Φ = ∫ S g dS = ∫ S − g dS = − g ∫ S dS = − g 4 π r 2 r Φ = − G 4 π minterior : g = G minterior 2 r Pero si la esfera es homogenea y su densidad es ρ: minterior = ρ 4 π r3 3 4 π r3 ρ 3 R ⇒g = G M r g = G 3 2 3 3 r R R Esto puede aplicarse al cálculo de la intensidad del campo gravitatorio terrestre si se considerarse a la Tierra una esfera homogénea. r g 9,8 r RT VELOCIDAD DE ESCAPE Es la mínima velocidad que debe tener un cuerpo para salir de un campo gravitatorio. Para el caso del campo gravitatorio terrestre, la energía potencial fuera del campo es cero, en la superficie terrestre tiene el siguiente valor: Ep = − GMm RT Para que el cuerpo escape del campo gravitatorio debe tener una cierta velocidad y su energía cinética: Ec = mv 2 2 Si simplemente se busca que el cuerpo pueda abandonar el campo gravitatorio, fuera de él puede permanecer en reposo y su energía total será 0 porque fuera del campo también la energía potencial vale cero. Puedes bajar este pdf y ver las animaciones en http://fisicayquimicaenflash.es Campo gravitatorio _ 14 de 16 − GMm mv 2 + =0 RT 2 Simplificando y despejando v (velocidad de escape): v= 2GM RT Teniendo en cuenta los valores de G, M y RT, la velocidad de escape es 11,2 km/s. SATÉLITES Un satélite, artificial o no, está girando en torno al planeta con una velocidad suficiente para no caer y además tiene una cierta energía potencial por encontrarse a una distancia del planeta que crea el campo gravitatorio. En primer lugar su energía potencial será: EP = −G Mm mv 2 y su energía cinética: EC = . r 2 Además no debe caerse con lo que la fuerza de atracción gravitatoria que actúa sobre él será la fuerza centrípeta que lo hace girar M v2 mismo valor se deduce que G = r r F =G F = m·ac = Mm que es la única r2 mv 2 como se trata del r y la energía cinética puede ponerse como: 1 Mm Ec = G y la energía mecánica del sistema será la suma de energía potencial y cinética 2 r con lo que se deduce que su valor será: 1 Mm E m = E p + Ec = − G 2 r Deducimos que si el satélite permanece en órbita, como su energía total es negativa permanece ligado al campo gravitatorio. Si lo que se pretende es poner el satélite en órbita desde la superficie del planeta tendremos en cuenta que ahí tiene energía potencial al encontrarse a una distancia del centro del mismo RT. Además tendrá que ser lanzado a una cierta velocidad desde la superficie. Esto implica que, al ser el campo gravitatorio un campo conservativo se conserva la energía mecánica y se cumple: 2 E m = Ec 0 + E p 0 mv Mm 1 Mm = 0 −G =− G 2 RT 2 r Despejando podemos deducir la velocidad con que sale de la Tierra para ponerse en una órbita determinada de radio r (a una altura h = r – RT): Puedes bajar este pdf y ver las animaciones en http://fisicayquimicaenflash.es Campo gravitatorio _ 15 de 16 2 1 2r − RT v = GM − = GM RT r r·RT Si la velocidad de lanzamiento fuese inferior el satélite volvería al suelo tras describir una parábola, si es igual permanece en órbita, como se ha calculado, si es mayor la órbita sería una parábola (Em = 0) o una hipérbola (Em > 0), en ambos casos se va del campo gravitatorio. (Recordar que si no se fuera, su energía total sería negativa). La sonda espacial Voyager (derecha) ha abandonado el campo gravitatorio terrestre mientras que el Telescopio Hubble (izquierda) orbita la Tierra a una distancia de su superficie de 593 km y un periodo de algo más de 96 minutos Puedes bajar este pdf y ver las animaciones en http://fisicayquimicaenflash.es