problemas de estadistica economica probabilidad

1
PROBLEMAS DE ESTADISTICA ECONOMICA
PROBABILIDAD
1. Un experimento consiste en preguntarle a 3 personas elegidas al azar si lavan sus platos
con el detergente marca X.
a) Enumerar los elementos del espacio muestral Ω utilizando la letra s para las respuestas
afirmativas y n para las negativas.
b) Escribir los elementos de Ω que corresponden al suceso A = “al menos una de las personas
utilizan la marca X”.
c) Definir (describir) un suceso que tenga como elementos los puntos {sss, nss, ssn, sns}.
2. Una compañía recibe una maquinaria nueva que debe ser instalada y revisada antes de
ser operativa. En la siguiente tabla se muestra la valoración de probabilidades de un gerente
correspondiente al número de días necesarios para que la maquinaria sea operativa
Número de días
Probabilidad
3
0.08
4
0.24
5
0.41
6
0.20
7
0.07
Sea A el suceso “la maquinaria tardará más de cuatro días en ser operativa” y sea B el suceso
“la maquinaria tardará más de seis días en ser operativa”.
a) Calcular la probabilidad del suceso A.
b) Calcular la probabilidad del suceso B.
c) Describir el suceso complementario del suceso A.
d) Calcular la probabilidad del complementario del suceso A.
e) Describir el suceso intersección de los sucesos A y B.
f) Calcular la probabilidad del suceso intersección de A y B.
g) Describir el suceso unión de los sucesos A y B.
h) Calcular la probabilidad de la unión de los sucesos A y B.
i) ¿Son los sucesos A y B mutuamente excluyentes?
j) ¿Forman los sucesos A y B un sistema completo de sucesos?
3. El director de unos almacenes ha supervisado el número de quejas recibidas a la semana por
un servicio deficiente. Las probabilidades correspondientes al número de quejas por semana
encontradas en la revisión se muestran en la tabla.
1 Sol.: a) {sss, ssn, sns, nss, nns, nsn, snn, nnn}, b) A = {sss, ssn, sns, nss, nns, nsn, snn}, c) Al menos dos
personas utilizan el detergente X.
2 Sol.: a) 0.68, b) 0.07, d) 0.32, f) 0.07, h) 0.68, i) No, j) No.
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2
Número de quejas
0
1-3
4-6
7-9
10 - 12
más de 12
Probabilidad
0.14
0.39
0.23
0.15
0.06
0.03
Sean A el suceso “se recibirá al menos una queja por semana”, y B “se recibirán menos de 10
quejas por semana”.
a) Calcular la probabilidad del suceso A.
b) Calcular la probabilidad del suceso B.
c) Describir el complementario del suceso A.
d) Calcular la probabilidad del complementario del suceso A.
e) Describir el suceso intersección de los sucesos A y B.
f) Calcular la probabilidad del suceso intersección de A y B.
g) Describir el suceso unión de los sucesos A y B.
h) Calcular la probabilidad de la unión de los sucesos A y B.
i) ¿ Son los sucesos A y B mutuamente excluyentes?
j) ¿ Forman los sucesos A y B un sistema completo de sucesos?
4. Se pidió a un analista financiero evaluar las perspectivas de beneficio de siete compañías
para el próximo año, y ordenarlas respecto a las previsiones correspondientes al crecimiento
del beneficio.
a) ¿Cuántas ordenaciones diferentes son posibles?
b) Si, de hecho, simplemente se supone una determinada ordenación, ¿cuál es la probabilidad
de que esta suposición sea correcta?
5. Una urna contiene 5 bolas rojas y 7 amarillas. Una persona en una sola extracción saca 3
bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que 0, 1, 2 o 3 sean rojas? ¿Cuál es la probabilidad de que
al menos una sea roja?
6. Una baraja de 52 cartas se reparte entre 4 jugadores. ¿Qué probabilidad tiene un jugador
de obtener 0, 1, 2, 3 o 4 reyes?
7. Se lanzan al aire simultáneamente dos dados distinguibles y se desea obtener dos cincos.
3 Sol.:
a) 0.86, b) 0.91, d) 0.14, f) 0.77, h) 1, i) No, j) No.
a) 5040, b) 0,000198
5 Sol.: P (0 Rojas) = 0,1591, P (1 Rojas) = 0,4773, P (2 Rojas) = 0,3182, P (3 Rojas) = 0,0454,
P (al menos una roja) = 0,8409
6 Sol.: 0.303818, 0.438848, 0.213493, 0.04120048, 0.00264106
4 Sol.:
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3
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos cincos en una tirada?
b) ¿Cuál es la probabilidad de no obtener dos cincos en una tirada?
c) ¿Cuál es la probabilidad de no obtener dos cincos en exactamente n tiradas?
d) ¿Y si los dados fueran indistinguibles?
8. Calcular la probabilidad de P (Ā ∩ B̄) conocidas P (A) = a, P (B) = b y P (A ∪ B) = c.
9. Calcular la probabilidad de P (A ∩ B̄) conocidas P (A) = a, P (B) = b y P (A ∪ B) = c.
10. Sean A, B y C tres sucesos de un mismo experimento. Consideremos los sucesos:
S1 = Ā ∩ B̄ ∩ C
y
S2 = (A ∪ B) ∩ C
Demostrar que:
a) S1 y S2 son dos sucesos mutuamente excluyentes.
b) Calcular la probabilidad de S1 y S2 sabiendo que
P (A) = 0,5,
P (B) = 0,6,
P (A ∩ C) = 0,2,
P (C) = 0,7,
P (B ∩ C) = 0,1,
P (A ∩ B) = 0,3
P (A ∩ B ∩ C) = 0,05
11. La probabilidad de que un niño, de mayor, estudie carrera universitaria es 1/6 y de que
lo haga una niña es 1/10, siendo ambos casos independientes. Elegidos al azar un niño y una
niña, hallar las siguientes probabilidades:
a) Ambos estudien una carrera universitaria.
b) Al menos uno estudie una carrera universitaria.
c) Ninguno estudie una carrera universitaria.
d) Solamente la niña estudie carrera universitaria.
12. Las probabilidades de que tres hombres hagan diana en una competición de tiro al blanco
es 1/5, 1/4 y 1/3 respectivamente. Cada uno dispara una vez. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que sólo uno de ellos haga diana.
b) Si solamente uno de ellos hace diana. ¿Cuál es la probabilidad de que sea el tercer hombre?
7 Sol.:
a) 0.0278, b) 0.9722, c) 0,9722n
1-c
9 Sol.: c-b
10 Sol.: b) P (S ) = 0,45, P (S ) = 0,25
1
2
11 Sol.: a) 1 , b) 1 , c) 3 , d) 1
60
4
4
12
8 Sol.:
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4
13. Una urna contiene 8 bolas blancas, 7 rojas y 5 verdes. Se extraen sucesivamente tres bolas
de la urna. Hallar la probabilidad de que sean extraídas en este orden: blanca, roja, verde en
los siguientes casos:
a) La extracción es sin reemplazamiento.
b) La extracción es con reemplazamiento.
14. Una urna A contiene 10 bolas blancas y 4 bolas negras y otra urna B contiene 5 bolas
blancas y 7 negras. Se extrae una bola de cada urna. Calcular la probabilidad de que:
a) Ambas sean blancas.
b) Las dos negras.
c) Una sea negra.
15. Los clientes se encargan de evaluar los diseños preliminares de varios productos. En el
pasado, el 95 % de los productos de mayor éxito en el mercado recibieron buenas evaluaciones, el
60 % de los productos de éxito moderado recibieron buenas evaluaciones, y el 10 % de productos
de escaso éxito recibieron buenas evaluaciones. Además, el 40 % de los productos han tenido
mucho éxito, el 35 % un éxito moderado, y el 25 % un escaso éxito.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto obtenga una buena evaluación?
b) Si un nuevo diseño obtiene una buena evaluación, ¿cuál es la probabilidad de que se
convierta en un producto de gran éxito?
c) Si un producto no obtiene una buena evaluación, ¿cuál es la probabilidad de que se
convierta en un producto de gran éxito?
16. Una compañía eléctrica tiene en uno de sus transformadores tres interruptores automáticos
que evitan que en caso de accidente el transformador se estropee. Los interruptores están
instalados de forma que operan independientemente unos de otros. Cada interruptor es de un
tipo diferente de forma que sus porcentajes de error en caso de tener que intervenir son 7 %,
10 %, y 5 %. ¿Si hubiese un accidente, cuáles serían la probabilidades de que:
a) las tres válvulas operen correctamente?
b) las tres válvulas fallen?
c) sólo una de las válvulas opere correctamente?
6
a) 13
, b) 13
30
7
7
a) 171 , b) 200
14 Sol.: a) 25 , b) 1 , c) 15
84
6
28
15 Sol.: a) 0.615, b) 0.617886, c) 0.0519481
12 Sol.:
13 Sol.:
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5
d) el transformador no se estropee?
17. El 20 % de los clientes que han contratado un crédito con la “First Financial Corporation”
han retrasado sus pagos. El 40 % de los que han retrasado pagos tenían el calificativo de clientes
de alto riesgo. El 8 % de los clientes que no han faltado en su pago tenían el calificativo de
clientes de alto riesgo. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente seleccionado al azar entre los
de no están calificados de alto riesgo retrase sus pagos?
18. Un contable tiene sobre su mesa dos grupos de 20 facturas cada uno. En el primer lote
hay dos facturas con errores de cálculo y en el segundo tres. Una corriente de aire hace que las
facturas caigan de la mesa y, al recogerlas, una del primer grupo se confunde en el segundo.
¿Cuál es la probabilidad de que, al revisar una factura del segundo grupo tenga un error?
19. Las piezas producidas por una máquina automática presentan dos tipos de defectos, D1
y D2 . El 5 % de piezas presenta el defecto D1 , el 4 % de las piezas tiene el defecto D2 , el 1 %
de las piezas tiene ambos defectos. Responder a las siguientes preguntas:
a) ¿Qué tanto por ciento de piezas no presenta defectos?
b) ¿Qué tanto por ciento de piezas presenta al menos un defecto?
c) ¿Qué tanto por ciento de piezas presenta exactamente un defecto?
d) ¿Qué tanto por ciento de piezas presenta solamente el defecto D1 ? ¿Qué tanto por ciento
de piezas presenta solamente el defecto D2 ?
20. En una fábrica se utilizan tres máquinas, A, B, y C, para producir, independientemente,
un mismo artículo. La máquina A produce 100 cajas diarias, la B produce 200, y la C produce
300, todas con igual número de artículos. La probabilidad de que un articulo sea defectuoso
es: para la máquina A 0.06, para la máquina B 0.02 y para la C 0.01. Al final de una jornada
se revisa la producción eligiendo una caja al azar, y de ella se extrae un artículo de forma
aleatoria, resultando ser defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que dicho artículo haya sido
fabricado por la máquina B?
21. Una financiera de una conocida marca de automóviles, opera en tres grandes regiones
europeas, A, B y C, con las siguientes proporciones 50 %, 30 % y 20 % respectivamente. La
probabilidad de que un cliente no cumpla uno de los plazos es 0.001 en A, 0.002 en B y 0.008
en C. Se eligió al azar una de las operaciones firmadas en una de las regiones y se comprobó
que no había sido pagada. ¿Cuál es la probabilidad de que la operación sea de la región C?
22. Cierta empresa envía el 40 % de sus paquetes de correo nocturno por el servicio Mallorca
Express, el 50 % son enviados por el servicio IB Express y el 10 % por el servicio Chispas. De
los enviados por Mallorca Express el 2 % llega después de la hora garantizada de entrega, de los
16 Sol.:
17 Sol.:
a) 0.79515, b) 0.00035, c) 0.01445, d) 0.99965.
0.140187
18 Sol.: 31
210
19 Sol.:
a) 92 %, b) 8 %, c) 7 %, d) 4 %, 3 %
0.307692
21 Sol.: 0.592593
20 Sol.:
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enviados por IB Express sólo el 1 % llega tarde, mientras que el 5 % de los paquetes manejados
por Chispas llega tarde.
a) Identifica los sucesos y las probabilidades que aparecen en el problema.
b) Si seleccionamos al azar un envío nocturno, ¿cuál es la probabilidad de que sea enviado
por el servicio Mallorca Express y llegue tarde?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete elegido al azar llegue tarde?
d) Si un paquete elegido al azar llega a tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido
enviado por IB Express?
e) Si un paquete seleccionado al azar es enviado por el servicio Chispas, ¿cuál es la probabilidad de que no llegue tarde?
23. En una bolsa hay 7 bolas blancas y 10 bolas negras, en otra bolsa hay 8 bolas blancas y
5 negras. Se extrae al azar una bola de cada bolsa:
a) Calcular la probabilidad de que las bolas extraídas sean de distinto color. Razona tu
respuesta.
b) Sabiendo que las bolas han salido de distinto color, ¿cuál es la probabilidad de que la
bola de la primera bolsa haya sido blanca?
c) ¿Qué es un suceso? Identifica los sucesos que has utilizado en la resolución de los apartados
anteriores del problema. ¿Qué entiendes por probabilidad de un suceso?
d) ¿Qué son sucesos independientes? ¿Aparecen sucesos independientes en este problema?
En caso afirmativo indica cuales.
24. Luis, Pedro y María se reúnen para resolver problemas de estadística. Lluis resuelve el
40 % del total de los problemas, Pedro el 30 % y María el 30 % restante. Luis se equivoca en un
2 % de los problemas que resuelve, Pedro en el 6 % y María en el 1 %. Tomamos un problema
al azar.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que esté bien resuelto?
(b) Si el problema está mal resuelto ¿cuál es la probabilidad de que lo haya resuelto Pedro?
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que esté bien resuelto si lo ha resuelto Luis?
25. Veinticinco turistas recorren Mallorca en dos microbuses. En el primero de ellos viajan 3
hombres y 7 mujeres, en el segundo 5 hombres y 10 mujeres. En una parada para refrescarse
22 Sol.:
b) 0.008, c) 0.018, d) 0.504, e) 0.95
7
a) 105
, b) 23
221
24 Sol.: a) 0.971, b) 0.621, c) 0.98
23 Sol.:
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uno de los turistas del segundo autobús se pasa al primero. ¿Cuál es la probabilidad de que al
elegir al azar un viajero del primer autobús sea hombre?
26. Un ciclista entrena diariamente en la carretera. La probabilidad de pinchar una rueda es
0.05. Si pincha, la probabilidad de tener un accidente es de 0.40. Si no pincha, la probabilidad
de que un ciclista tenga un accidente es de 0.15.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un ciclista tenga un accidente?
b) Si sabemos que ha tenido un accidente, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido debido
a un pinchazo?
27. Un país está dividido en 4 distritos A, B, C y D. La población activa en cada distrito y
sus respectivas tasas de paro aparecen en la siguiente tabla:
A
B
C
D
población
200000
600000
800000
400000
tasa de paro
5%
8%
3%
10 %
a) Calcular el porcentaje de paro del país.
b) Se escoje al azar una persona cualquiera del país y resulta que está en paro. ¿Cuál es la
probabilidad de que sea del distrito A?, ¿y del B?
c) Se escoje al azar una persona cualquiera del país y resulta que no está en paro. ¿Cuál es
la probabilidad de que sea del distrito C?, ¿y del D?
28. Una empresa de seguridad hace un estudio sobre el sistema de emergencia de una fábrica
que está dotado de alarma. La empresa de seguridad sabe que la probabilidad de que se
produzca una situación de peligro es de 0.1. Si ésta se produce, la probabilidad de que suene la
alarma es de 0.95. La probabilidad de que se dispare la alarma sin haber situación de peligro
es de 0.03. Calcula:
a) la probabilidad de que funcione la alarma;
b) la probabilidad de que habiendo funcionado la alarma, no haya situación de peligro;
c) la probabilidad de que habiendo peligro, la alarma no funcione;
d) la probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma, haya peligro.
29. Una compañía petrolera tiene clasificados los terrenos que pueden tener yacimientos de
petróleo en cinco tipos: el tipo I, que son el 50 %, los tipos II, III y IV, que son el 10 % cada
25 Sol.:
26 Sol.:
10
33
a) 0.1625; b) 0.1231.
27 Sol.: a) 6.1 %; b) 0.082; 0.393; c) 0.413; 0.192
28 Sol.: a) 0.122, b) 0.22, c) 0.05, d) 0.005695
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uno, y el tipo V, el restante 20 % de los terrenos. Las probabilidades de obtener petróleo en
cada uno de ellos son, respectivamente, 0.1, 0.1, 0.3, 0.4 y 0.4. Calcular la probabilidad de que:
a) Un terreno escogido al azar sea del tipo III y no tenga petróleo.
b) Un terreno escogido al azar no tenga petróleo.
c) Un terreno que no tenga petróleo sea del tipo III.
29 Sol.:
a) 0.07, b) 0.79, c) 0.0886
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9
PROBLEMAS DE ESTADISTICA ECONOMICA
VARIABLES ALEATORIAS
30. Queremos estudiar el sexo de la descendencia en una familia con 4 hijos. Estamos interesados en el número de varones y en la cantidad de cambios en la secuencia de sexos (es decir,
tendremos un cambio si después de un varón nace una mujer o viceversa). Para ello responder
ordenadamente a las siguientes cuestiones:
a) Construir el espacio muestral asociado al experimento.
b) Calcular las probabilidades de los sucesos elementales.
c) Construir la variable aleatoria, X = “número de varones en familias de 4 hijos”. Construir
su función de probabilidad y de distribución.
d) Construir la variable aleatoria, Y = “número de cambios en la secuencia de sexos en
familias de 4 hijos”. Construir su función de probabilidad y de distribución.
e) Representar gráficamente las funciones de los dos apartados anteriores.
f) Calcular la esperanza y la varianza de ambas variables aleatorias.
31. Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad
½
kx si x ∈ {1, 2, 3, . . . , n}
f (x) =
0
en el resto
a) Hallar el valor de k.
b) Calcular la función de distribución.
c) Calcular la esperanza y la varianza de esta variable aleatoria.
n(n+1)
,
2
n (1+n)2
)
4
(Indicación: 1+2+3+. . .+(n−1)+n =
13 + 23 + 33 + . . . + (n − 1)3 + n3 =
12 +22 +32 +. . .+(n−1)2 +n2 =
2
n(n+1)(2n+1)
,
6
32. Determinar el valor c de tal forma que cada una de las siguientes funciones sirva como
una función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X:
a) PX (x) = c(x2 + 4)
¡ ¢¡ 3 ¢
b) PX (x) = c x2 3−x
para x = 0, 1, 2, 3 y cero en el resto.
para x = 0, 1, 2 y cero en el resto.
X
0
1
2
3
4
0
1
2
3
Y
d)
1
4
6
4
1
2
6
6
2
P (X = x)
P (Y = y)
16
16
16
16
16
16
16
16
16
3
f) E(X) = 2; E(Y ) = 23 ; V ar(X) =
1; V ar(Y ) = 4

0
si
x<1

x0 (x0 +1)
2
31 Sol.: a)
si
x0 ≤ x < x0 + 1con x0 = 1, 2, 3, . . . , n , c) E(X) =
,
b)
F
(x)
=
X
n(n+1)
n(n+1)

 1
si n ≤ x
30 Sol.:
c)
V ar(X) =
n2 +n−2
18
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2n+1
,
3
10
33. Un contratista estima la probabilidad del número de días necesarios para concluir un
proyecto como indica la tabla siguiente:
Tiempo (en días)
Probabilidad
1
0.05
2
0.20
3
0.35
4
0.30
5
0.10
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un proyecto elegido aleatoriamente necesite de tres días
para su conclusión?
b) Hallar el tiempo esperado necesario para acabar un proyecto.
c) Hallar la desviación típica del tiempo necesario para terminar un proyecto.
d) El coste del proyecto se divide en dos partes: un coste fijo de dos mil euros, más 200 euros
por cada día de duración del proyecto. Hallar la media y la desviación típica del coste
total del proyecto.
34. Consideremos la v.a. W = “número de caras menos el de cruces en tres lanzamientos de una
moneda”. Indicar los elementos del espacio muestral para los tres lanzamientos de la moneda
y asignar un valor w de la variable W a cada punto muestral. Calcular E(W ) y V ar(W ).
35. Encontrar la distribución de probabilidad de la variable W que da el número de caras
menos el de cruces en tres lanzamientos de una moneda cargada de forma que la probabilidad
de cara es el doble que la de cruz. Calcular la función de distribución o distribución acumulada
de la variable W . Calcular (basándose en lo anterior) P (W > 0) y P (−1 ≤ W ≤ 3). Dibujar
la gráfica de la función de distribución.
36. De una caja que contiene 4 monedas de 1 euro y 2 de 0.20 euros, se seleccionan tres
de ellas al azar sin reemplazo. Determinar la distribución de probabilidad para el total T de
las 3 monedas. Expresar gráficamente la función de probabilidad y la función de distribución.
Calcular E(T ) y V ar(T ).
37. De una caja que contiene 4 pelotas negras y 2 verdes, se seleccionan 3 de ellas en sucesión
con reemplazamiento. Representar gráficamente la función de probabilidad de la variable X =
2
“número de pelotas negras”. Calcular µX y σX
.
38. Consideremos la siguiente función:
(
f (x) =
3
2 x(x
0
− 1) si 0 < x < 2
en el resto
1
1
a) c = 30
, b) c = 10
a) 0.35, b) 3.2, c) 1.0296, d) 2640; 205.912
34 Sol.: E(W ) = 0, V ar(W ) = 3
35 Sol.: P (W = −3) = 1 , P (W = −1) = 2 , P (W = 1) =
27
9
26
P (−1 ≤ W ≤ 3) = 27
36 Sol.: E(T ) = 11 , V ar(T ) = 32
5
125
2
37 Sol.: µ
2
X = 2, σX = 3
32 Sol.:
33 Sol.:
4
,
9
P (W = 3) =
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8
,
27
P (W ≥ 0) =
20
,
27
11
¿Es función de densidad? Si es posible, calcular la función de distribución asociada.
39. Consideremos la siguiente función:
(
f (x) =
1−x2
c
0
si 0 < x < 1
en el resto
Calcular c para que f sea una función de densidad. Calcular la función de distribución asociada.
40. Consideremos la siguiente función:
(
x + c si 0 < x < 1
f (x) =
0
en el resto
Calcular c para que f sea función de densidad. Calcular la función de distribución asociada.
41. La v.a. X tiene por función de densidad f (x) = ax2 si x ∈ (0, 3) y cero en el resto de
casos. Hallar el valor de la constante a. Hallar la función de distribución y calcular las siguientes
probabilidades: P (X < 0), P (1 < X ≤ 2,5) y P (X > 1). Obtener la función de distribución.
42. Un inversor planea dividir 2000 euros entre dos inversiones diferentes. La primera da
un beneficio fijo del 10 %, la segunda da un beneficio que tiene un valor esperado de 18 % y
desviación típica 6 %.
a) Si el inversor decide invertir su dinero en dos partes iguales, hallar la media y la desviación
típica del beneficio que obtendrá.
b) ¿Cuál es la diversificación de la inversión que maximiza la ganancia esperada? ¿qué
varianza tiene?
c) ¿Cuál es la diversificación de la inversión que minimiza la varianza de la ganancia? ¿qué
esperanza tiene?
43. Un consultor comienza a trabajar en tres proyectos. Los beneficios esperados de estos
proyectos son 5000, 7200, y 4000 euros. Sus desviaciones típicas son 1000, 1200 y 900 respectivamente. Suponiendo independencia en los resultados, hallar la media y la desviación típica
del beneficio total del consultor entre estos tres proyectos.
44. Un inversor tiene 1000 euros que tiene la posibilidad de invertir con distintas proporciones
en dos activos financieros alternativos. Los intereses por euro en estos activos se representan
38 Sol.:
No es función de densidad, toma algún valor negativo.

si x ≤ 0
 0
39 Sol.: c = 2 , F (x) =
3x−x3
si 0 < x < 1
3
2

1
si 1 ≤ x

si x ≤ 0
 0
40 Sol.: c = 1 , F (x) =
x2 +x
si 0 < x < 1
2
2

1
si 1 ≤ x
41 Sol.: a = 1 , P (X < 0) = 0, P (1 < X ≤ 2,5) = 0,541667, P (X > 1) = 26
9
27
42 Sol.: a) media = 280, desviación típica = 60, b) invertirlo todo en la segunda, varianza = 14400, c) invertirlo
todo en la primera, esperanza = 200
43 Sol.: esperanza = 16200, desviación típica = 1802.78
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12
mediante las v.a. X e Y . Supongamos que ambas inversiones tienen la misma media µ y la
misma varianza σ 2 , y que son independientes entre sí. Supongamos que el inversor decide
colocar α euros en el primer activo, y por lo tanto 1000 − α euros en el segundo. Se pide
calcular la esperanza y la varianza del beneficio en función de α. ¿Qué valor de α hace mínima
la varianza?
45. Un jugador tramposo utiliza una moneda cargada tal que la probabilidad de que salga
cara es el triple de la que salga cruz. Sea X la variable aleatoria que nos da el número de cruces
en tres lanzamientos consecutivos de la moneda.
a) Hallar la distribución de probabilidad y la función de distribución (acumulada) de la
variable X.
b) Hallar el valor medio y la varianza del número de cruces.
c) Si el jugador da 6 euros por cada cara aparecida en los tres lanzamientos y recibe 4 euros
por cada cruz, ¿cuál es la esperanza matemática y la desviación tíıpica de la ganancia
del jugador en este juego?
46. Una empresa de limpieza recibe 100 euros diarios por la limpieza de unas oficinas. El
número de horas necesarias para la limpieza diaria varía de acuerdo con la siguiente tabla:
número de horas
1
2
3
4
5
probabilidad
0.40
0.30
0.15
0.10
0.05
El coste diario de la limpieza consta de una cantidad fija de 50 euros (independiente del número
de horas) más 10 euros por hora trabajada.
a) Calcular el valor esperado y varianza del coste.
b) Calcular la esperanza matmática y la desviación típica del beneficio diario.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el beneficio diario sea de 30 euros o más?
47. El encargado de un kiosco pide diariamente 20 revistas especializadas. La probabilidad de
vender una revista es de 0,8.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que se vendan todas las revistas?
44 Sol.:
α = 500 euros

si
 0


27

 64 si
54
45 Sol.: a) F (x) =
si
64

63


 64 si

1
si
46 Sol.: a) E(C) =71, Var(C)
x<0
0≤x<1
9
1 ≤ x < 2 b) E(X) = 43 , Var(X) = 16
; c) E(G) = -10.5, d.t.(G) = 7.5
2≤x<3
x≥3
= 139; b) E(B) =29, d.t.(B) = 11.79; c) 0,70.
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13
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que al final del día no se hayan vendido 5 o menos?
(c) Calcular el número esperado de revistas vendidas ¿Cuál es la desviación típica?
Por cada revista vendida ingresa 3 euros y por cada una no vendida tiene una pérdida de 0,5
euros en gastos de devolución.
(d) Escribir los ingresos netos en función del número de revistas vendidas.
(e) Calcular la esperanza y la desviación típica de los ingresos netos.
48. Una tienda vende paquetes de caramelos. El número de caramelos por paquete varía tal
como indica la tabla adjunta.
caramelos
probabilidad
97
0.05
98
0.14
99
0.21
100
0.29
101
0.20
102
0.09
103
0.02
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete elegido al azar tenga 101 o más caramelos?
b) Halla el número esperado de caramelos por paquete y la desviación típica.
c) El coste en la elaboración de un paquete de caramelos viene dada por una cantidad fija de
2.00 euros más 0.05 euros por cada caramelo. Cada paquete de caramelos cuesta 10.00 euros
(independientemente del número de caramelos que contiene). Halla la media y la desviación
típica del beneficio por paquete.
49. El Obispado de Mallorca está organizando viajes desde Roncesvalles hasta Santiago de
Compostela con motivo del Año Santo Compostelano. La duración del viaje es de 15 a 20 dias
con las siguientes probabilidades
número de dias
15
16
17
18
19
20
probabilidad
0.10
0.15
0.30
0.25
0.15
0.05
a) Define el concepto de variable aleatoria e indica cuál es la variable aleatoria de interés
para este problema. Hallar su esperanza matemática y su varianza.
b) Calcular la probabilidad de que un peregrino elegido al azar tarde más de 17 dias en
realizar el camino.
c) El coste del viaje (para el Obispado) viene dada por una cantidad fija de 80 euros más
25 euros por dia. Cada peregrino paga 575 euros por el viaje (independientemente del
número de dias). Halla el valor esperado y la desviación típica del beneficio obtenido por
el Obispado.
d) Dos amigos inician el trayecto el mismo dia caminando de forma independiente. Calcular
la probabilidad de que ambos terminen el mismo dia.
√
√
a) 0.01153, b) 0.3704, c) 16, 2 2, e) 30, 5 2
48 Sol.: a) 0.31, b) E(X) = 99.8, d.t.(X) = 1.386, c) E(B) = 3.01, d.t.(B) = 0.069.
47 Sol.:
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14
50. Se lanzan tres monedas, dos de ellas están balanceadas y la tercera moneda está cargada,
la probabilidad de cruz es el triple que la probabilidad de cara. Encontrar:
a) El espacio muestral. Indica claramente la notación utilizada.
b) Probabilidad de que salgan dos cruces. Probabilidad de que salga una cara o más.
c) ¿Qué es una variable aleatoria? ¿Qué es la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta?
d) Consideramos la variable aleatoria X = “número de caras”, hallar su función de probabilidad.
e) Encontrar la esperanza matemática y la varianza.
49 Sol.:
50 Sol.:
b) 0.45, c) E(B) = 61.25, d.t.(B) = 32.86, d) 0.21
7
3
7
5
b) 16
, 13
, d) PX (0) = 16
, PX (1) = 16
, PX (2) = 16
, PX (3) =
16
1
,
16
e) E(X) =
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5
,
4
V ar(X) =
11
16
15
PROBLEMAS DE ESTADISTICA ECONOMICA
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
51. Un estudiante contesta a una prueba con 20 cuestiones. Cada una de ellas admite diez respuestas posibles, de las cuales sólo dos son verdaderas. El cuestionario se cumplimenta eligiendo
sólo una de las diez opciones. ¿Cuál es la probabilidad de responder mal a las 25 preguntas?
¿Cuál es la probabilidad de responder bien a 5? ¿Cuál es la probabilidad de responder bien a
más de 5? ¿Cuál es el valor esperado y la varianza de las respuestas correctas?
52. Una moneda es lanzada al aire 100 veces consecutivas. Suponiendo que la probabilidad
de obtener cara en cada lanzamiento vale 0,01. Calcular las probabilidades:
a) No obtener ninguna cara.
b) Obtener dos caras.
c) Obtener seis o menos caras.
d) Obtener más de siete caras.
e) Obtener dos o más caras y menos de seis
53. Una prueba de inteligencia consta de 4 cuestiones, cada una de ellas con cinco respuestas,
siendo verdadera sólo una. Por cada respuesta acertada se le suma un punto y por cada repuesta
incorrecta se restan 0.5 puntos. Suponiendo que el individuo contesta al azar, calcular la función
de probabilidad, de distribución, la esperanza y la varianza de la v.a. suma de la puntuaciones
de las 4 preguntas.
54. Cinco personas lanzan al aire dos monedas cada una. Sea X = “número de personas que
obtienen al menos una cara”.
a) Especificar la función de probabilidad de la variable X de forma analítica y mediante
una tabla.
b) Calcular P (X ≤ 3).
51 Sol.: X = “número de respuestas correctas”, P (0) = 0,0115, P (5) = 0,1746, P (X > 5) = 0,1958,
X
X
E(X) = 4, V ar(X) = 3,2
52 Sol.: a) 0.3660323, b) 0.1848648, c) 0.999924, d) 0.0000138, e) 0.2637035. Aproximando por una P(1), a)
0.3679, b) 0.1839, c) 0.9999, d) aproximadamente cero, e) 0.2636

0,4096 si y = −2



 0,4096 si y = −0,5


0,1536 si y = 1
53 Sol.: Sea Y = “puntuación”, P (y) =
,
Y
0,0256 si y = 2,5




 0,0016 si y = 4

0
en el resto de casos

0
si y < −2



0,4096 si − 2 ≤ y < −0,5



0,8192 si − 0,5 ≤ y < 1
FY (y) =
, E(Y ) = −0,8, V ar(Y ) = 1,44
 0,9728 si 1 ≤ y < 2,5



0,9984
si
2,5
≤
y
<
4


1
si 4 ≤ y
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16
55. Un conjunto de n bolas numeradas de 1 a n se introducen en N cajas. Hallar la probabilidad
de que en la primera caja se hayan introducido k de las n bolas.
56. Por una larga experiencia se ha estimado que el promedio de errores tipográficos al
componer un libro es de 2 por cada 20 páginas.
a) Hallar la probabilidad de que en un libro de 100 páginas existan a lo sumo 10 erratas.
b) Hallar la probabilidad de que en un libro de 50 páginas existan más de 15 erratas.
c) Hallar la probabilidad de que el número de erratas de una publicación de 10 páginas sea
mayor o igual que 2 y menor o igual que 4.
57. En promedio llegan 2.4 clientes por minuto al mostrador de una compañía aérea durante
el período de máxima actividad. Asumir que el número de llegadas es Poisson.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no llegue nadie en un minuto?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan más de tres llegadas en un minuto?
58. Consideremos una v.a. X que sigue una distribución U(0, 100). Calcular:
a) Sus funciones de densidad y de distribución y sus gráficas.
b) P (2 < X ≤ 3), P (X < 3X), P (X + 1 < 3), P (X 2 < 50).
59. Consideremos una v.a. X que sigue una distribución U(−5, 5). Calcular:
a) Sus funciones de densidad y de distribución y sus gráficas.
b) P (2 < X ≤ 3), P (X < 3X), P (X + 1 < 3), P (X 2 < 5).
60. Dibujar y hallar el área encerrada bajo la curva normal estándar en cada uno de los casos
siguientes:
54 Sol.:
55 Sol.:
56 Sol.:
a) PX (x) =
¡ 5 ¢ ¡ 3 ¢x ¡ 1 ¢(5−x)
x
4
(N −1)n−k
n!
k!(n−k)!
Nn
4
si x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 y cero en el resto de casos, b) P (X ≤ 3) = 0,3672
a) 0.5830, b) 0.0001, c) 0.2605
a) 0.0907, b) 0.2213

½ 1
 0
si
0
<
x
<
100
x
58 Sol.: a) f (x) =
100
, FX (x) =
X
0
en el resto de casos
 100
1
57 Sol.:
b) P (2 < X ≤ 3) =
1
,
100
½
59 Sol.:
a) fX (x) =
b) P (2 < X ≤ 3) =
1
,
10
1
10
P (X < 3X) =
1
,
2
P (X + 1 < 3) =
1
, P (X 2
50 
√
50
< 50) = 100
si x ≤ −5
 0
si − 5 < x < 5
x+5
, FX (x) =
si − 5 < x < 5 ,
en el resto de casos
 10
1
si x ≥ 5
P (X < 3X) = 1, P (X + 1 < 3) =
0
si x ≤ 0
si 0 < x < 100
si x ≥ 100
7
,
10
P (X 2 < 5) =
√
5
5
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17
a) Entre z = 0 y z = 1,2.
b) Entre z = −0,68 y z = 0.
c) Entre z = −0,46 y z = 2,21.
d) Entre z = 0,81 y z = 1,94.
e) A la izquierda de z = −0,6.
f) A la derecha de z = −1,28.
g) A la derecha de z = 2,05 o a la izquierda de z = −1,44.
h) El valor z tal que el área a su izquierda es 0,4960.
i) El valor z tal que el área a su derecha es 0,9678.
j) El valor z > 0 tal que el área comprendida entre −z y z es 0,6318.
61. Dada una distribución normal con µ = 30 y σ = 6, encontrar:
a) El área de la curva normal a la derecha de x = 17.
b) El área de la curva normal a la izquierda de x = 22.
c) El área de la curva normal entre x = 32 y x = 41.
d) El valor de x que tiene el 80.23 % del área de la curva normal a la izquierda.
e) El valor δ tal que P (µ − δ ≤ X ≤ µ + δ) = 0,75.
62. Dada la v.a. X distribuida normalmente con media 18 y desviación típica 2.5, encontrar:
a) P (X ≤ 15).
b) El valor de k tal que P (X < k) = 0,2236.
c) El valor de k tal que P (X > k) = 0,1814.
d) P (17 < X < 21).
63. Cuantiles:
Dada una v.a. continua X, llamaremos cuantil de orden q (0 ≤ q ≤ 1) a cualquier valor, xq ∈ <
tal que
P (X ≤ xq ) = q
60 Sol.:
a) 0.3849, b) 0.2517, c) 0.6636, d) 0.1828, e) 0.2743, f) 0.8997, g) 0.0951, h) -0.01, i) -1.85, j) 0.9
a) 0.9850, b) 0.0918, c) 0.3371, d) 35.1, e) δ = 6,9
62 Sol.: a) 0.1151, b) 16.1, c) 20.275, d) 0.5403
61 Sol.:
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18
Sea X una v.a. tal que X ∼ U(0, 100). Calcular sus cuantiles 0,25, 0,5, 0,75. Dar una fórmula
general para el cuantil q de una v.a. X ∼ U(a, b).
64. A los cuantiles 0,25, 0,5 y 0,75 se les denomina primer, segundo, y tercer cuartil respectivamente. Al cuantil 0,5 también se le denomina mediana. Los percentiles son los cuantiles
formados por centésimas partes de la unidad.
a) Calcular el primer cuartil, el tercel cuartil y la mediana para una v.a. X ∼ N (0, 1).
b) Calcular el percentil 0,25 y el percentil 0,96 para una v.a. Y con distribución normal de
media 1 y varianza 4.
65. Un ejecutivo de televisión está estudiando propuestas para nuevas series. A su juicio, la
probabilidad de que una serie tenga audiencia mayor que 17,35 es 0,25; además la probabilidad
de que la serie tenga audiencia mayor que 19,2 es 0,15. Si la incertidumbre de este ejecutivo
puede representarse mediante una v.a. normal, ¿cuál es la media y la desviación típica de esta
distribución?
66. Supongamos que el número de horas que un auxiliar administrativo necesita para aprender
el nuevo programa de facturación es una v.a. X con distribución normal. Si el 84.13 % de los
2
auxiliares emplean más de tres horas y sólo el 22.96 % más de nueve, ¿cuánto valen µX y σX
?
67. Si X es una v.a. con distribución normal estándar y se define Y = 2X − 1, calcular la
probabilidad de que Y no se aparte de su media más de una desviación típica.
68. Si un conjunto de calificaciones de un examen de estadística se aproxima a la distribución
normal con media 74 y desviación típica 7.9, encontrar:
a) La calificación más baja de apto si el 10 % de los estudiantes de nota más baja se les
declararon no aptos.
b) El notable de puntuación más alta si el 5 % de los estudiantes tiene un sobresaliente.
c) El notable más bajo si al 5 % de los estudiantes se les dió sobresaliente y al siguiente 25 %
se le dió notable.
69. Un cierto test de diagnóstico es un indicador de los problemas sólo si un individuo
se encuentra en el décimo percentil. Si la puntuación media del test es 150 y la desviación
típica 30, asumiendo que la distribución es normal, ¿a partir de que nota un individuo tendrá
problemas?
63 Sol.:
64 Sol.:
65 Sol.:
66 Sol.:
67 Sol.:
68 Sol.:
69 Sol.:
x0,25 = 25, x0,5 = 50, x0,75 = 75, xq = (b − a)q + a con 0 ≤ q ≤ 1
a) x0,25 = −0,67, x0,75 = 0,67, x0,5 = 0, b) y0,25 = −0,34, y0,96 = 4,6
µ = 14, σ = 5
2 = 11,8906
µX = 6,4483, σX
0.6826
a) 63.888, b) 86.956, c) 78.108
111.6
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19
70. La vida promedio de un cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación
típica de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro del periodo
de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo el 3 % de los motores que fallan, ¿cuál debe ser
la duración de la garantía que otorgue? (Suponer que las vidas de los motores siguen una
distribución normal.)
71. La compra media que realiza un cliente en un determinado comercio, es de 82 euros, siendo
la desviación estándar 5 euros. Todos los clientes que compran entre 88 y 94 euros son clientes
clasificados como preferentes. Si las compras están distribuidas aproximadamente como una
normal y 8 clientes son preferentes, ¿cuántos clientes tiene este comercio?
72. Consideremos la siguiente función de distribución de una cierta v.a. X:

si x < 0
 0
x
si 0 ≤ x ≤ 100
FX (x) =
 100
1
si x > 100
a) Justificar qué tipo de distribución conocida es.
b) Calcular su función de densidad.
c) Calcular su esperanza y su varianza.
d) Calcular el cuantil p (0 < p < 1) de una variable que tenga por función de distribución
F.
73. La empresa de Don Gabriel se dedica a la fabricación de repuestos para maquinaria de
grandes obras. Entre las piezas que fabrica están los repuestos de cabezas de taladradoras, que
deben tener un diámetro aproximado de 10 cm. El diámetro de las cabezas producidas sigue
aproximadamente una distribución normal con media 10 cm y desviación típica 0.4.
a) Calcular un intervalo centrado en la media que contenga al 90 % de las piezas fabricadas.
b) ¿Qué porcentaje de piezas se tendrán que desechar si el error máximo admisible es de ±1
cm?
c) ¿Cuál es la probabilidad de fabricar una pieza de más de 15 cm de diámetro?
d) ¿Por encima de qué tamaño se encuentra el 20 % de la producción?
74. En cierta fabricación mecánica el 96 % de las piezas resultan con longitudes admisibles
(dentro de las toleradas), un 3 % defectuosas cortas y un 1 % defectuosas largas. Calcular la
probabilidad de:
70 Sol.:
6.24
75
72 Sol.: a) Es una distribución uniforme sobre el intervalo (0,100),
½ 1
si 0 < x < 100
100
b) fX (X) =
, c) E(X) = 50, V ar(X) = 2500
,
3
0
en el resto de casos
d) xp = 100p con 0 ≤ p ≤ 1
73 Sol.: a) (9.344, 10.656), b) 1.24 %, c) prácticamente nula, d)10.336
71 Sol.:
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20
a) En un lote de 250 piezas sean admisibles 242 o más.
b) En un lote de 500 sean cortas 10 o menos.
c) En 1000 piezas haya entre 6 y 12 largas.
75. Una organización de investigación de mercados ha encontrado que el 40 % de los clientes de
un supermercado no quieren contestar cuando son encuestados. Si se pregunta a 1000 clientes,
¿cuál es la probabilidad de que menos de 500 de ellos se nieguen a contestar?
76. Un servicio de grúa de auxilio en carretera recibe diariamente una media de 70 llamadas.
Para un día cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que se reciban menos de 50 llamadas?
77. Debido a su dilatada experiencia, la Compañía de Seguros de Vida “SEVISA” ha determinado que 1 de cada 1500 trabajadores fallecen anualmente por accidente laboral. La Compañía
“SEVISA” tiene hechos 13500 seguros de vida de este tipo en toda la nación.
a) Calcular la probabilidad de que en un año fallezcan por accidente laboral:
i) 7 personas o menos;
ii) entre 10 y 17 (ambos inclusive) personas;
iii) más de 20.
b) El seguro de vida estipula que a los familiares de las víctimas se les tiene que abonar 6000
euros por cada póliza. ¿Cuál es la probabilidad de que la Compañía “SEVISA” tenga que
pagar en un año por lo menos 90000 euros en concepto de primas?
78. Un pequeño hotel rural dispone de 10 habitaciones. El departamento de reservas hace 12
reservas al día porque sabe que la probabilidad de que cada una de ellas falle es del 25 %. Las
reservas se realizan de forma independiente.
a) Hallar la probabilidad de que en un día elegido al azar no tenga suficientes habitaciones
para atender todas las reservas. (Indica claramente la variable que utilizas y el tipo de
distribución que sigue la variable.)
b) Hallar la probabilidad de que en un día elegido al azar no llene todas las habitaciones.
c) Hallar la probabilidad de que en un fin de semana largo (3 dias) no le falten habitaciones
ningún dia.
79. Un fabricante utiliza un sistema automático para llenar cajas de detergente, garantizando
5 kg por caja. Debido a las fluctuaciones aleatorias del mecanismo utilizado, el peso de las
cajas es una variable aleatoria con distribución normal. Sabiendo que la probabilidad de que
haya más de 4.5 kg de detergente en la caja es 0.6255 y la probabilidad de que haya más de 7
kg de detergente en la caja es 0.0051,
74 Sol.:
Aproximando por el T.C.L. a) 0.2578, b) 0.0951, c) 0.6337
Aproximando por el T.C.L. prácticamente es 1
76 Sol.: Aproximadamente 0.0084
77 Sol.: a) i) 0.3239; ii) 0.4073; iii) 0.0004: b) 0.0415
78 Sol.: a) 0.0317, b) 0.6093, c) 0.9079
75 Sol.:
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21
a) Obtener la esperanza matemática y la desviación típica de la variable.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja elegida al azar no llegue al peso garantizado?
80. El número de llamadas que llegan a cierta centralita telefónica en determinado periodo
de tiempo sigue una distribución de Poisson de media 180 llamadas por hora. La capacidad de
la central telefónica permite atender un máximo de 5 llamadas por minuto.
a) Calcular la probabilidad de que en un minuto determinado se reciban más llamadas de
las que se pueden atender.
b) Calcular la probabilidad de que en un intervalo de 3 minutos se produzcan más de 10
llamadas.
c) Calcular la probabilidad de que en dos minutos se produzcan exactamente 4 llamadas.
79 Sol.:
80 Sol.:
a) 4.777, 0.865, b) 0.6026
a) 0.0839, b) 0.2940, c) 0.1339
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22
PROBLEMAS DE ESTADISTICA ECONOMICA
ESTIMACION DE PARAMETROS
81. El precio medio del m2 en la venta de casas nuevas durante el último año en una determinada ciudad fue de 2300 euros. La desviación típica de la población fue de 500 euros. Se toma
una muestra aleatoria de 100 casas nuevas de esta ciudad.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta sea menor que
2200 pts?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta esté entre 2260
y 2340 pts?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta esté entre 2280
y 2320 pts?
d) Sin hacer cálculos, razonar en cuál de los siguientes rangos resulta más probable que se
encuentre la media muestral de los precios de venta:
2260
2280
2300
2320
pts
pts
pts
pts
-
2300
2320
2340
2360
pts
pts
pts
pts
82. Se ha tomado una muestra de 16 directores de oficina de corporaciones de una gran
ciudad, con el fin de estimar el tiempo medio que emplean en desplazarse para ir a su trabajo.
Supongamos que la distribución de dichos tiempos en la población sigue una normal con media
87 minutos y desviación típica 22. Calcular:
a) El error estándar de la media muestral de los tiempos de desplazamiento.
b) La probabilidad de que la media muestral sea inferior a 100 minutos.
c) La probabilidad de que la media muestral sea superior a 80 minutos.
d) La probabilidad de que la media muestral esté entre 85 y 95 minutos.
e) Supongamos que se toma una segunda muestra de 15 directores, independiente de la
anterior. Sin hacer los cálculos, razonar si las probabilidades calculadas en los apartados
b), c) y d) serán mayores, menores o iguales para esta segunda muestra. Utilizar gráficos
para ilustrar las respuestas.
83. Una compañía produce cereales para el desayuno. La media del peso que contienen las
cajas de estos cereales es de 200 gr y su desviación típica de 6 gr. La distribución de los pesos
de la población es normal. Se eligen cuatro cajas, que pueden considerarse como una muestra
aleatoria del total de la producción.
81 Sol.:
82 Sol.:
a) 0.0228, b) 0.5762, c) 0.3108, d) el intervalo 2280 - 2320
a) 5.5, b) 0.9909, c) 0.8980, d) 0.5671, e) es menor en los tres casos
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a) ¿Cuál es el error estándar de la media muestral del peso de las cuatro cajas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio de esas cuatro cajas sea inferior a 197 gr?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio de estas cuatro cajas esté entre 105 y 195
gr?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma del peso de estas cuatro cajas sea menor de 800
gr?
e) Se eligen al azar dos de estas cuatro cajas ¿Cuál es la probabilidad de que el contenido
medio de estas dos cajas pese entre 195 y 200 gr?
84. La tasa de rentabilidad de ciertos tipos de acciones sigue una distribución con desviación
típica 3.8. Se extrae una muestra de tales acciones con el fin de estimar el precio medio.
a) ¿Qué tamaño ha de tener la muestra para asegurarnos que la probabilidad de que la
media muestral difiera de la media poblacional en una cantidad superior a 1 sea menor
que 0.1?
b) Sin realizar los cálculos, razonar si será preciso un tamaño muestral mayor o menor que el
requerido en el apartado a) para garantizar que la probabilidad de que la media muestral
difiera de la media poblacional en más de 1 sea inferior a 0.05.
c) Sin realizar los cálculos, razonar si será preciso un tamaño muestral mayor o menor que el
requerido en el apartado a) para garantizar que la probabilidad de que la media muestral
difiera de la media poblacional en más de 1.5 sea inferior a 0.1.
85. De acuerdo con los datos del ministerio de Economía y Hacienda, el 15 % de las declaraciones del IRPF del último año darán lugar a una devolución. Se toma una muestra aleatoria
de 50 declaraciones. Calcular:
a) La media de la distribución en el muestreo de la proporción muestral de declaraciones
que darán lugar a una devolución.
b) La varianza de la proporción muestral.
c) El error estándar de la proporción muestral.
d) La probabilidad de que la proporción muestral sea mayor que 0.8.
86. El dueño de una tienda de discos ha comprobado que el 20 % de los clientes que entran
en su tienda realizan una compra. Cierta mañana entraron en esa tienda 180 personas, que
pueden ser consideradas como una muestra aleatoria de todos sus clientes.
a) ¿Cuál será la media de la proporción muestral de clientes que realizaron alguna compra?
83 Sol.:
a) 3, b) 0.1587, c) 0.0475, d) 0.5000, e) 0.3810
a) n ≥ 40, b) mayor, c) menor
85 Sol.: a) 0.15, b) 0.00255, c) 0.0505, d) casi nula
84 Sol.:
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b) ¿Cuál es la varianza de la proporción muestral?
c) ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea mayor que 0.15?
87. El administrador de una gran cadena de hospitales opina que, de entre todos sus pacientes,
el 30 % generará facturas que se pagarán con más de dos meses de retraso. Se toma una muestra
aleatoria de 200 pacientes.
a) ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral de pacientes con facturas cuyo pago
se retrasará dos meses?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea inferior a 0.25?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor que 0.33?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que esté entre 0.27 y 0.33?
e) Sin realizar los cálculos, razonar en cuál de los siguientes intervalos es más probable que
se encuentre la proporción muestral: 0.29-0.31; 0.30-0.32; 0.31-0.33; 0.32-0.34.
f) Supongamos que se toma al azar una muestra de 500 pacientes. Sin realizar los cálculos
razonar si las probabilidades de los apartados b), c) y d) resultarán en este caso mayores,
menores o iguales que las calculadas para la muestra anterior.
88. Se toma una muestra aleatoria de 100 votantes con el fin de estimar la proporción de los
mismos que están a favor de un aumento en los impuestos sobre la gasolina para contar así con
un ingreso adicional para reparaciones de las autopistas. ¿Cuál es el mayor valor que puede
tomar el error estándar de la proporción muestral de esta medida?
Se decide que una muestra de 100 votantes es muy pequeña para obtener una estimación de la
proporción poblacional que resulte suficientemente creíble. Se decide exigir que la probabilidad
de que la proporción muestral difiera de la proporción poblacional (cualquiera que sea su valor)
en más de 0.03 no debe ser superior a 0.05. ¿Qué tamaño ha de tener la muestra para poder
garantizar que se cumple este requisito?
89. Una compañía quiere estimar la proporción de posibles compradores de máquinas de afeitar
eléctricas que ven retransmisiones de partidos de la Champions League. Se toma una muestra
de 120 individuos que se identificaron como posibles compradores de afeitadoras eléctricas.
Supongamos que la proporción de posibles compradores de afeitadoras eléctricas en la población
que ven estas retransmisiones es 0.25.
a) 0.10 es la probabilidad de que la proporción muestral exceda a la proporción poblacional
¿en qué valor?
b) 0.05 es la probabilidad de que la proporción muestral esté por debajo de la proporción
poblacional ¿en qué cantidad?
86 Sol.:
a) 0.2, b) 0.000889, c) 0.0298, d) 0.9535
a) 0.0324, b) 0.0618, c) 0.1762, d) 0.6476, e) 0.29-0.31, f) menor, menor, mayor
88 Sol.: 0.05; n ≥ 1068
87 Sol.:
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c) 0.30 es la probabilidad de que la proporción muestral difiera de la proporción poblacional
¿en menos de qué cantidad?
90. Supongamos que el 50 % de los españoles adultos opinan que es necesaria una revisión del
sistema nacional público de hospitales. ¿Cuál es la probabilidad de que más del 56 % de los
componentes de una muestra de 150 españoles adultos tenga esa opinión?
91. Las rentabilidades mensuales de cierto tipo de acciones son independientes unas de otras,
y siguen una distribución normal con desviación típica 1,7. Se toma una muestra de 12 meses.
Hallar las probabilidades de que:
a) la desviación típica muestral sea menor que 2.5.
b) la desviación típica muestral sea mayor que 1.
92. El número de horas que dedican a ver la televisión los estudiantes en la semana anterior a
los exámenes finales sigue una distribución normal con una desviación típica de 4.5 horas. Se
toma una muestra aleatoria de 30 estudiantes.
a) La probabilidad de que la desviación típica muestral sea mayor que 3.5 horas, ¿es mayor
que 0.95?
b) La probabilidad de que la desviación típica muestral sea menor que seis horas, ¿es mayor
que 0.95?
93. Se extrae una muestra aleatoria de 15 economistas y se les pregunta acerca de su predicción sobre la tasa de inflación para el próximo año. Supongamos que las predicciones para la
población completa de economistas sigue una distribución normal con una desviación típica σ
de 1.8.
a) 0.01 es la probabilidad de que la desviación típica muestral sea mayor que ¿qué número?
b) 0.025 es la probabilidad de que la desviación típica muestral sea menor que ¿qué número?
c) Encontrar una par de números, a y b, tales que la probabilidad de que la desviación típica
muestral se encuentre entre ellos sea 0.9.
94. Se toma una muestra de ocho lotes de un producto químico para comprobar la concentración
de impurezas. Los niveles porcentuales de impurezas encontrados en la muestra fueron
3,2
4,3 2,1
2,8 3,2 3,6
4,0 3,8
89 Sol.:
a) 0.0506, b) 0.0648, c) 0.0154
0.0708
91 Sol.: a) 0.99, b) 0.975
92 Sol.: a) Sí, b) Sí
93 Sol.: a) 2.595, b) 1.142, c) 1.233 y 2.342
90 Sol.:
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a) Hallar la media y la varianza muestrales.
b) Hallar la proporción muestral de lotes con nivel porcentual de impurezas mayor que
3.75 %.
c) ¿Para qué parámetros poblacionales se han hallado en los apartados a) y b) estimadores
por procedimientos insesgados?
95. De una población de barras de hierro se extrae una muestra de 64 barras y calculando la
resistencia a la rotura por tracción se obtiene que X = 1012 Kg/cm2 . Se sabe por experiencia
que en este tipo de barras σ = 25. Calcular un intervalo de confianza para µ al nivel 0.95.
96. Para investigar el coeficiente de inteligencia medio de una cierta población de estudiantes,
se realiza un test a 400 estudiantes. La media y la desviación típica muestrales obtenidas son
X = 86 y ŝX = 10,2. Calcular un intervalo del 98 % para µ.
97. Para investigar un nuevo tipo de combustible para cohetes espaciales, se disparan cuatro
unidades y se miden las velocidades iniciales. Los resultados obtenidos, expresados en km/h,
son: 19600, 20300, 20500 y 19800. Calcular un intervalo para la velocidad media µ con un nivel
de confianza del 95 %.
98. Un fabricante de cronómetros quiere calcular un intervalo de estimación de la desviación
típica del tiempo marcado en 100 horas por todos los cronómetros de un cierto modelo. Para
ello pone en marcha 10 cronómetros del modelo durante 100 horas y encuentra que ŝX =
50 segundos. Encontrar un intervalo para el parámetro σ con α = 0,01, suponiendo que la
población del tiempo marcado por los cronómetros es normal.
99. Un auditor quiere investigar la proporción de facturas que presentan una determinada
irregularidad. Para ello observa 120 facturas, 30 de ellas presentan esta característica. Con
estos datos buscar unos límites de confianza para la proporción p de facturas de la población
que presentan esa irregularidad con probabilidad del 95 %.
100. El número de reservas semanales de billetes de cierto vuelo de una compañía aérea sigue
una distribución aproximadamente normal. Se toma una muestra aleatoria de 81 observaciones
de números de reservas de este vuelo, el número medio de reservas muestral resulta ser 112 y
la desviación típica 36. Además de estos 81 vuelos, 30 llegaron a su destino con un retraso de
más de 15 minutos.
a) Calcular un intervalo de confianza del 95 % para el número medio poblacional de reservas
en este vuelo.
b) Calcular un intervalo de confianza del 95 % para la varianza.
c) Calcular un intervalo de confianza del 95 % para la proporción poblacional de vuelos que
llegan con un retraso de más de 15 minutos.
94 Sol.:
95 Sol.:
96 Sol.:
97 Sol.:
98 Sol.:
99 Sol.:
a) X = 3.375, ŝ2X = 0.4993, b) pˆX =
(1005.875, 1018.125)
(84.81, 87.19)
(19381.7, 20718.3)
(30.88, 114.04)
(0.1725, 0.3275)
3
,
8
c) para todos
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d) Calcular el tamaño muestral que asegura un intervalo de confianza de amplitud total 0.1
para la proporción de vuelos que llegan con un retraso de más de 15 minutos, al nivel de
confianza 95 %.
101. Una empresa cervecera sabe que las cantidades de cerveza que contienen sus latas sigue
una distribución normal con desviación típica 0.03 litros.
a) Se extrae una muestra aleatoria de 25 latas y, a partir de la misma, un experto en
estadística construye un intervalo de confianza para la media que discurre entre 0.32 y
0.34. ¿Cuál es el nivel de confianza de este intervalo?
b) Un gerente de esta empresa exige un intervalo de confianza del 95 % que tenga una amplitud máxima de 0.008 litros a cada lado de la media muestral. ¿Cuántas observaciones
son necesarias, como mínimo, para alcanzar este objetivo?
102. ¿Qué error máximo (en valor absoluto) podemos afirmar, con probabilidad 0.90, que
cometeremos al estimar la media µ de una población normal N (µ, 82 ) mediante la media X de
una muestra aleatoria simple de tamaño 16, extraída de dicha población?
103. Una revista especializada en viajes al Oriente Medio realiza un estudio sobre el precio
del trayecto aéreo entre Madrid y Tel Aviv. Los resultados obtenidos siguen una distribución
normal con media 1500 euros y desviación típica 250 euros.
a) Hallar la probabilidad de que un billete cueste menos de 1100 euros.
b) Hallar la probabilidad de que un billete cueste más de 1270 euros y menos de 1645 euros.
c) ¿Cuánto cuesta el viaje de un pasajero si el 77 % de los pasajeros pagan más que él?
d) Se considera una muestra aleatoria formada por los 100 clientes de Viajes Aladin. ¿Cuántos clientes de Viajes Aladin han pagado más de 1420 euros por el trayecto aéreo entre
Madrid y Tel Aviv?
e) Hallar la probabilidad de que el precio medio del billete de los clientes de Viajes Aladin
sea mayor que 1560.
104. La duración en minutos del trayecto del bus que va desde la plaza de España hasta la
UIB es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de desviación típica 6. En una
muestra de 10 viajes se obtuvieron los siguientes tiempos (en minutos):
20,6 16,8
15,5 23,4
18,7 26,9 19,3
22,0 13,8
19,3
a) Obtener una estimación de la duración media del trayecto y calcular la probabilidad de
que la media muestral difiera de la media poblacional en menos de 3 minutos.
b) Construir un intervalo de confianza del 88 % para la media poblacional.
100 Sol.:
a) (104, 120), b) (968.97, 1812.59), c) (0.2652 ,0.4756), d) n = 359
a) 90.5 %, b) n = 55
102 Sol.: 3.29
101 Sol.:
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c) El gerente de la EMT exige un intervalo de confianza del 95 % que tenga una amplitud
máxima de 1.5 a cada lado de la media muestral. ¿Cuántas observaciones son necesarias,
como mínimo, para alcanzar este objetivo?
105. El tiempo que un pasajero invierte esperando en un punto de seguridad del aeropuerto
es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con media 8.2 minutos y desviación
típica 3 minutos.
a) Hallar la probabilidad de que un pasajero tenga que esperar menos de 4 minutos.
b) ¿Cuánto tiempo ha esperado un pasajero si el 9 % de los pasajeros han esperado más que
él? ¿y si el 33 % han esperado menos que él?
Considerando una muestra aleatoria simple de 25 pasajeros,
c) Hallar la probabilidad de que el tiempo medio de espera esté entre 6 y 10 minutos.
d) ¿Cuántos pasajeros de la muestra esperan más de 8 minutos?
106. Una compañía de seguros afirma que sus demandas se resuelven en menos de 30 dias.
Para comprobar esta afirmación un grupo de consumidores eligió una muestra aleatoria de 75
demandas contra la empresa y encontró que 55 de ellas se resolvieron en menos de 30 dias.
Obtener los intervalos de confianza al 72 % y al 88 %.
107. Según la compañía VVV, el promedio de gasto telefónico por mes es de 31.65 euros con
una desviación típica de 12.25 euros. Suponiendo que el gasto telefónico sigue una distribución
normal y tomando un cliente al azar
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que este mes gaste más de 38 euros?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que este mes gaste menos de 33 euros?
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que este mes gaste más de 28 y menos de 35 euros?
(d) ¿Cuánto gasta un cliente si el 60 % gasta más que el?
Consideremos una muestra de 64 clientes de VVV.
(e) Indicar el tipo de distribución y los parámetros del gasto medio muestral.
(f) ¿Cuál es la probabilidad de que el gasto medio esté entre 30 y 32 euros al mes?
(g) ¿Cuántos clientes de la muestra gastan más de 40 euros?
108. Los pesos de los paquetes de café están distribuidos normalmente. Una muestra de 18
paquetes produce un peso medio de 225 gramos y una desviación típica de 17 gramos.
a) ¿Qué entiendes por intervalo de confianza y nivel de confianza del intervalo?
104 Sol.:
a) 0.8858; b) (16.68, 22.58); c) 62
a) 0.0808; b) 12.22; 6.88; c) 0.9713; d) 16 pasajeros.
106 Sol.: (0.6781, 0.7885); (0.6538, 0.8125)
105 Sol.:
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29
b) Un experto en estadítica construye un intervalo de confianza para el peso medio del
paquete de café que discurre entre 219.67 y 230.33. ¿Cuál es el nivel de confianza de este
intervalo?
c) Encontrar un intervalo de confianza del 99 % para la desviación típica del peso medio del
paquete de café.
109. Una empresa fabrica bombillas cuya duración en horas sigue una N (µ, 2002 ), una muestra
aleatoria de 36 bombillas ha dado una vida media de 7000 horas.
a) Constrúyase un intervalo de confianza del 94 % para la vida media de las bombillas
fabricadas por esa empresa.
b) Obténgase el tamaño muestral necesario para que la media de la muestra no difiera de la
media de la población en más de 10 horas con una confianza del 88 %.
c) Una lámpara utiliza 10 de estas bombillas. Tomando µ = 7000, ¿qué tipo de distribución
sigue sigue la duración media de las 10 bombillas? ¿cuál es la probabilidad de que la
duración media de estas 10 bombillas esté entre 6900 y 7250 horas?
108 Sol.:
109 Sol.:
b) 80 %, c) (11.73, 29.36)
a) (6937.33, 7062,67), b) 968, c) 0.9428
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30
PROBLEMAS DE ESTADISTICA ECONOMICA
CONTRASTE DE HIPOTESIS
110. Siendo x = 63,5 la media de una muestra aleatoria simple de tamaño 36 extraída de una
población normal con σ 2 = 144, poner a prueba, con un nivel de significación α = 0,05, la
hipótesis nula µ = 60 y decir si se rechaza en favor de la alternativa µ < 60.
111. Siendo x = 72,5 la media de una muestra aleatoria simple de tamaño 100 extraída de
una población normal con σ 2 = 900, poner a prueba, con un nivel de significación α = 0,10, la
hipótesis nula µ = 70 y decir si se rechaza en favor de las hipótesis alternativas µ 6= 70, µ > 70,
y µ < 70. Hallar el p-valor del contraste, para la hipótesis alternativa µ > 70.
112. En un contraste bilateral, con α = 0,01, ¿para qué valores de X rechazaríamos la hipótesis
nula H0 : µ = 70, a partir de una muestra aleatoria simple de tamaño 64 extraída de una
población normal con σ 2 = 256?
113. El peso medio de los paquetes de café puestos a la venta por la casa comercial CAFEINASA es supuestamente de 1 kg. Para comprobar esta suposición, elegimos una muestra aleatoria
simple de 100 paquetes y encontramos que su peso medio es de 0.978 kg y su desviación típica
ŝ = 0,10 kg. Siendo α = 0,05, ¿es compatible este resultado con la hipótesis nula H0 : µ = 1
frente a H1 : µ 6= 1? ¿Lo es frente a H1 : µ > 1?
114. El fabricante de la marca de tornillos FDE afirma que el diámetro medio de sus tornillos
vale 20 mm. Para comprobar dicha afirmación, extraemos aleatoria e independientemente 16
tornillos, y vemos que la media de sus diámetros es 22 mm y la desviación típica 4 mm.
¿Podemos aceptar la pretensión del fabricante suponiendo α = 0,05? Hallar el p-valor del
contraste.
115. Una máquina produce cierto tipo de piezas mecánicas. El tiempo en producirlas se distribuye normalmente con varianza desconocida σ 2 . Elegida P
una muestra aleatoria simple de 21
21
de dichas piezas (x1 , x2 , . . . , x21 ), se obtiene que x = 30 y i=1 x2i = 19100. Comprobar si es
compatible la hipótesis nula H0 : σ 2 = 22 frente a H1 : σ 2 6= 22, para α = 0,1, y construir un
intervalo de confianza del (1 − α)100 % para el verdadero valor de σ 2 .
116. A partir de las puntuaciones 15, 22, 20, 21, 19 y 23, construir el intervalo de confianza
de σ 2 y decir si es compatible con estos resultados la hipótesis H0 : σ = 2, siendo α = 0,01.
Decir si se utiliza alguna hipótesis adicional.
117. Sabiendo que con p̂ = 0,52 ha sido rechazada la hipótesis nula H0 : p = 0,50, al nivel de
significación α = 0,05, ¿cuál ha tenido que ser el tamaño mínimo de la muestra mediante la
cual fue rechazada H0
a) frente a H1 : p 6= 0,5?
110 Sol.:
111 Sol.:
112 Sol.:
113 Sol.:
114 Sol.:
115 Sol.:
116 Sol.:
No se rechaza
No se rechaza en ninguno de los tres casos, 20.33 %
Para X < 64,85 o X > 75,15
Con la primera, no; con la segunda, sí
Sí, 6.7 %
No es compatible, (6.37, 18.35)
Suponemos que la población es normal. La hipótesis es compatible, (2.395, 97.09)
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31
b) frente a H1 : p > 0,5?
118. Un fabricante de productos farmacéuticos tiene que mantener un estándar de impurezas
en el proceso de producción de sus píldoras. Hasta ahora el número medio poblacional de
impurezas es correcto, pero está preocupado porque en algunas partidas las impurezas se salen
del rango admitido, de forma que provocan devoluciones y reclamaciones por daños a la salud.
El gabinete de control de calidad afirma que si la distribución de las impurezas es normal
y el proceso de producción mantiene una varianza inferior a 1 no tendría que existir ningún
problema pues las píldoras tendrían una concentración aceptable. Preocupado por esta tema,
la dirección encarga una prueba externa en la que se toma una muestra aleatoria de 100 de las
partidas, obteniéndose ŝ2 = 1,1. Tomando α = 0,25, ¿puede aceptar el director de la prueba
externa que el proceso de producción cumple la recomendación del gabinete de control?
119. Una empresa que vende vacaciones está preocupada por su estándar de calidad y quiere
compararlo con el medio europeo. El estándar medio europeo dice que una empresa de este
sector tiene una calidad aceptable si tiene un número de quejas que no excede del 3 %. Se sabe
que la población es normal y la varianza de las quejas es 0,16. Examinando 64 ventas escogidas
al azar entre las del último mes se encuentra que el porcentaje de quejas es 3.07 %.
a) Contrastar, al nivel de significación del 5 %, la hipótesis nula de que la media poblacional
del porcentaje de quejas es del 3 % frente a la alternativa de que es superior al 3 %.
b) Hallar el p-valor del contraste.
c) Supongamos que la hipótesis alternativa fuese bilateral en lugar de unilateral (con hipótesis nula H0 : µ = 3). Deducir, sin hacer ningún cálculo, si el p-valor del contraste sería
mayor, menor o igual que el del apartado anterior. Construir un gráfico para ilustrar el
razonamiento.
d) En el contexto de este problema, explicar por qué una hipótesis alternativa unilateral es
más apropiada que una bilateral.
e) Hallar la probabilidad de que en un contraste unilateral al nivel del 5 % se rechace la
hipótesis nula cuando el verdadero porcentaje de quejas es del 3.10 %.
120. Para una población normal N (µ, 202 ), sabiendo que la probabilidad de rechazar la hipótesis nula H0 : µ = 80 en favor de la alternativa H1 : µ = 84,66 es 0.6293 y que el tamaño de la
muestra es 100, calcular la probabilidad de rechazar H0 siendo verdadera. (Suponer contraste
unilateral.)
121. En un contraste bilateral, con α = 0,01, ¿para qué valores de X rechazaríamos la hipótesis
nula H0 : µ = 70, a partir de una muestra aleatoria simple de tamaño 64 extraída de una
población normal N (µ, 162 )?
117 Sol.:
a) 2401, b) 1692
No
119 Sol.: a) Es compatible, b) 8.08 %, c) mayor, e) 0.6554
120 Sol.: 0.0228
121 Sol.: X ≤ 64,85, X ≥ 75,15
118 Sol.:
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32
122. Calcular β, al contrastar la hipótesis nula H0 : µ = 35 frente a la alternativa H1 : µ = 39,
como medias de una población normal N (µ, 120), valiendonos de una muestra aleatoria simple
de tamaño 30, extraída de dicha población. El contraste es unilateral y α = 0,10.
123. Lanzamos una moneda al aire 100 veces consecutivas,
a) ¿Podemos aceptar la hipótesis nula H0 : P (cara) = 1/2 frente a la alternativa H1 :
P (cara) 6= 1/2 si se han obtenido 40 caras? (Tomar α = 0,10.)
b) ¿Con qué número de caras rechazaríamos H0 : P (cara) = 1/2, siendo α = 0,01?
124.
½ A partir de una muestra aleatoria se contrasta:
H0 : µ = µ0
H1 : µ > µ 0
y se acepta la hipótesis nula al nivel de significación del 5 %.
a) ¿Implica esto necesariamente que µ0 está contenido en el intervalo de confianza del 95 %
para µ?
b) Si la media muestral observada es mayor que µ0 , ¿implica necesariamente que µ0 está
contenido en el intervalo de confianza del 90 % para µ?
125. Una compañía que se dedica a la venta de franquicias afirma que, por término medio, los
delegados obtienen un redimiendo del 10 % en sus inversiones iniciales. Una muestra aleatoria
de diez de estas franquicias presentaron los siguientes rendimientos el primer año de operación:
6,1 9,2
11,5 8,6
12,1 3,9 8,4
10,1 9,4
8,9
Asumiendo que los rendimientos poblacionales tienen distribución normal, contrastar la afirmación de la compañía tomando α = 0,05.
126. Una distribuidora de bebidas refrescantes creía que una buena fotografía de tamaño real
de un conocido actor incrementaría las ventas de un producto en los supermercados en una
media de 50 cajas semanales. Para una muestra de 20 supermercados, el incremento medio
fue de 41.3 cajas con una desviación típica de 12.2 cajas. Contrastar al nivel de significación
α = 0,05, la hipótesis nula de que la media poblacional del incremento en las ventas es al
menos 50 cajas, indicando cualquier supuesto que se haga. Calcular el p-valor del contraste e
interpretarlo.
127. Dos investigadores, Alberto y Timoteo, desean comprobar la hipótesis nula H0 : µ = 50,
acerca de la misma población normal con σ = 20 e imponiendo un mismo nivel de significación
α = 0,05 (contraste bilateral). Alberto extrae una muestra aleatoria simple de tamaño 100 y
Timoteo de tamaño 64.
122 Sol.:
0.2358
a) No, b) con 63 o más, 37 o menos
124 Sol.: a) No, b) sí
125 Sol.: Se acepta la afirmación
126 Sol.: Se rechaza la hipótesis nula. 0.005
123 Sol.:
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a) Siendo realmente verdadera la hipótesis nula, ¿para quién de los dos es mayor la probabilidad de cometer el error tipo I? ¿Cuánto valen ambas?
b) Siendo realmente verdadera la hipótesis alternativa H1 : µ = 52, ¿para quién de los dos
es mayor la probabilidad de cometer el error tipo II? ¿Cuánto valen ambas? (Suponer
contraste bilateral.)
128. Una cadena de restaurantes de comida rápida contrasta cada día que el peso medio de sus
hamburguesas es al menos de 320 gr. La hipótesis alternativa es que el peso medio es menor
que 320 gr., indicando que se necesiata un proceso nuevo de producción. Se puede asumir que
los pesos de las hamburguesas siguen una distribución normal, con una desviación típica de
30 gr. La regla de decisión adoptada es rechazar la hipótesis nula si el peso medio muestral es
menor de 308 gr.
a) Si se seleccionan muestras aleatorias de n = 36 hamburguesas, ¿cuál es la probabilidad
de cometer un error tipo I usando esta regla de decisión?
b) Si se seleccionan muestras aleatorias de n = 9 hamburguesas, ¿cuál es la probabilidad de
cometer un error tipo I usando esta regla de decisión? Explicar por qué el resultado es
distinto al del apartado anterior.
c) Suponer que el verdadero peso medio es de 310 gr. Si se seleccionan muestras aleatorias
de n = 36 hamburguesas, ¿cuál es la probabilidad de cometer un error tipo II usando
esta regla de decisión?
129. Un funcionario que trabaja en el departamento de colocación de una universidad, quiere
determinar si los hombres y las mujeres licenciados en Administración de Empresas reciben,
en promedio, diferentes ofertas de salario en su primer trabajo después de licenciarse. El funcionario seleccionó aleatoriamente ocho pares de licenciados en esa disciplina de manera que
las calificaciones, intereses e historial de los integrantes de cada pareja fuesen lo más parecidos
posible. La mayor diferencia fue que un miembro de cada pareja era hombre y el otro mujer. La
tabla adjunta ofrece la mayor oferta salarial en euros que recibió cada miembro de la muestra
al terminar su carrera.
pareja
1
2
3
4
5
6
7
8
mayor oferta salarial
HOMBRE MUJER
2620
2260
2470
2360
2840
2930
2170
2230
2860
2620
2930
2590
2830
2850
2430
2130
Asumiendo que las distribuciones son normales,
127 Sol.:
128 Sol.:
a) es igual para ambos; 0.05, b) Alberto: 0.8300; Timoteo: 0.8741
a) 0.0082, b) 0.1151, c) 0.6554
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a) Para α = 5 %, contrastar la hipótesis nula de que la diferencia de las medias poblacionales
es cero (la media poblacional de la diferencia es cero) frente a la alternativa que la
verdadera media es mayor para los hombres que para las mujeres.
b) Para α = 10 %, contrastar frente a una alternativa bilateral, la hipótesis nula de que la
media para los hombres difiere en 300 euros de la media para las mujeres.
130. Con el objeto de comparar dos métodos de aprendizaje de la lectura, se toman 6 parejas de
hermanos gemelos, aplicándose un método a cada hermano y evaluando los resultados mediante
un test. Dichos resultados fueron:
método 1
método 2
112
100
133
130
152
150
107
110
120
112
124
110
¿Puede afirmarse, con un nivel de signaificación 0.1, que los métodos no son igualmente eficaces?
129 Sol.: a) el salario medio de los hombres es superior al salario medio de las mujeres, b) los salarios medios
no difieren en 300 euros
130 Sol.: Si.
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