funcions. continuitat. derivades. - matematicas

MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS.
EXERCICIS DE SELECTIVITAT
FUNCIONS. CONTINUITAT. DERIVADES.
x
.
(x + 1)2
Utilitzeu els resultats obtinguts per calcular els màxims i mínims relatius
de f.
Set 1992
1.- Trobeu les zones de creixement i decreixement de la funció f ( x ) =
2.- Donada la funció
.
f (x) = x −
3
− 4 ln x , es demana:
x
a) Domini de definició.
b) Intervals de creixement i decreixement.
c) Trobar els extrems relatius de f, fent servir els resultats de l'apartat b).
Juny 1993.
x− 2
en el punt x =2. Explica de forma
x+ 2
intuïtiva la relació entre la derivada i el límit de la taxa de variació mitjana, indicant
el que significa el valor obtingut de la derivada de la funció f(x) en x = 2.
A. Juny 1999.
3.- Obtindre la derivada de la funció f(x) =
4.- A través de la utilització raonada de la relació de la derivada d’una funció amb
el seu creixement o decreixement, obtindre en què punts de l’interval [-2, 2]
són creixents o decreixents les funcions:
a) f(x) = x2.
b) g(x) = x3 – 7.
A. Set.2000.
2
en el punt d’abscissa x = 4.
x− 3
Expliqueu què significa el valor obtingut de la derivada. Calculeu la taxa de
variació instantània en el punt d’abscissa x = 5.
A. Set.2001
5.- Obteniu la derivada de la funció
f (x) =
6.- Donada la funció y = x3 + x2 – 5x + 3, es demana:
a) El seu domini i punts de tall amb els eixos coordenats.
b) Intervals de creixement i decreixement.
c) Màxims i mínims locals.
d) Representació gràfica a partir de la informació dels apartats
anteriors.
A. Juny. 2006.
- 23 -
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS.
7.-Estudia la continuïtat en l’interval [ -3, 3] de la funció:

− 3≤ x < −2
 3x + 10
 2
− 2≤ x< 1
f(x) =  x
 x+ 3
1≤ x ≤ 3
 2
EXERCICIS DE SELECTIVITAT
B. Juny. 2006.
8.- a) Determina el valor de a perquè la següent funció siga contínua
en x = -1:

x< −1
 3x + a

− 1≤ x < 1
f(x) =  ax + 2
 2 x − 11
x≥ 1
 x − 3
b) Estudia la continuïtat de la funció anterior en el cas a = 0.
A. Set. 2006.
2x
, es demana:
x2 + 1
Domini i punts de tall amb els eixos coordenats.
Equació de les seus asímptotes
Intervals de creixement i decreixement
Màxims i mínims relatius
Utilitza la informació anterior per a representar-la gràficament.
B. Set. 2006.
9.- Donada la funció f(x) =
a)
b)
c)
e)
f)
10.- a)Estudia la continuidad de la función y = f(x) en el intervalo [-4, 2], siendo:
x≤ −3
 2;
 2
− 3< x < 1
f(x) =  x ;
 1;
x≥ 1

b) Calcula el área limitada por la gráfica de la función y = f(x), las rectas
x = -3, x = 2 y el eje de abscisas.
A. Juny. 2007.
11.- La función y = f(x) tiene las siguientes propiedades:
 Su dominio es la recta real salvo los puntos –1 y 1. Es continua en
todo su dominio y corta al eje OX en el punto (2, 0)
 Tiene asíntota horizontal en y = 0, con f(x)< 0 si x>2 y f(x) > 0 si x<2,
x ≠ 1, x ≠ -1
f ( x ) = + ∞ y lim− f ( x ) = + ∞
 Tiene una asíntota vertical en x=1, con xlim
→ 1+
x→ 1
.
f (x) = + ∞ y
 Tiene una asíntota vertical en x=-1, con xlim
→ − 1+
lim f ( x ) = + ∞ .
Tiene un mínimo en (4, -2) y otro en (0, 3). No tiene máximos.
x → − 1−

- 24 -
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS.
EXERCICIS DE SELECTIVITAT
a) Representa gráficamente dicha función.
b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
B. Juny. 2007.
12.- Dada la función:
 x + 2;
 2
f(x) =  x − 6 x + 12 ;
 − 2 x + a;

0≤ x< 2
2≤ x≤ 4
4< x≤ 8
Halla el valor de a para que la función y = f(x) sea continua en el intervalo
[0, 8].
b) Halla los máximos y mínimos absolutos de y = f(x) en el intervalo [0, 4].
Justifica que los puntos encontrados son máximos y mínimos absolutos.
c) Calcula el área de la región del plano limitada por las rectas y = 0, x = 0,
x = 3 y la gráfica de y = f (x).
A. Set. 2007.
a)
x2 + 4
13.- Dada la función f(x) =
, se pide:
2x − 3
a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales.
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Máximos y mínimos locales.
e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados
anteriores.
B. Set. 2007.
14.- Dada la función f(x) = x3 – 9x2 + 24x +3:
a) Calcula los máximos y mínimos locales. Justifica que los puntos
encontrados son máximos y mínimos locales.
b) Halla el área de la región del plano determinada por la gráfica de
y = f(x) y las rectas y = 0, x = 0, y x = 5.
B. Set. 2007.
15.- a) Calcula els màxims i mínims absoluts de la funció f(x) = x 3 – 6x2 + 9x +1
en l’interval [1, 4]. Justifica que els punts trobats són màxims o mínims absoluts.
b) Estudia la continuïtat i calcula els màxims i mínims absoluts en l’interval
[0, 4] de la funció següent:
 2x + 3 ;
f(x) =  3
2
 x − 6 x + 9 x + 1;
0≤ x< 1
1≤ x ≤ 4
A. Juny. 2008.
- 25 -
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS.
EXERCICIS DE SELECTIVITAT
x2
, es demana:
4 − x2
Domini i punts de tall amb els eixos coordenats.
Equació de les seus asímptotes.
Intervals de creixement i decreixement.
Màxims i mínims relatius.
Utilitza la informació anterior per a representar-la gràficament.
B. Juny. 2008.
16.- Donada la funció f(x) =
a)
b)
c)
d)
e)
x3
, se pide:
1− x2
Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Máximos y mínimos locales.
Representación gráfica a partir de la información de los apartados
anteriores.
A. Set. 2008.
17.- Dada la función f(x) =
a)
b)
c)
d)
e)
18.- Obtén los parámetros r, s y t para que la función f(x) = x3 + r x2 + s x + t
tenga un máximo en x = -2, un mínimo en x = 0 y pase por el punto ( 1, -1).
A. Set. 2008.
− x;
x< −1


− 1≤ x < 4
19.- Dada la siguiente función:
f(x) =  x − 1 ;
 x 2 − 2 x − 6;
4≤ x< 6

a) Estudia la continuidad de la función f(x) en el intervalo ]-2, 6[.
b) Calcula el área de la región del plano limitada por y = f(x) y por las rectas
y = 0; x =1, y x = 5
B. Juny. 2009.
20.- Dada la función f(x) = x3 - 6x, se pide:
a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales.
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Máximos y mínimos locales.
e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados
anteriores.
A. Junio. 2009.
21.- Dada la función f(x) = x3 – 12x + 7, se pide:
a) Hallar sus máximos y mínimos relativos.
b) Hallar sus máximos y mínimos absolutos en el intervalo [-3, 3].
c) Hallar sus máximos y mínimos absolutos en el intervalo [-4, 4].
d) Hallar sus máximos y mínimos absolutos en el intervalo [-5, 5].
D. Junio. 2009.
- 26 -
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS.
EXERCICIS DE SELECTIVITAT
x
, se pide:
1+ x2
Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Máximos y mínimos locales.
Representación gráfica a partir de la información de los apartados
anteriores.
B. Set. 2009.
22.- Dada la función f(x) =
a)
b)
c)
d)
e)
x2 + 1
, se pide:
x2 − 9
Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Máximos y mínimos locales.
Representación gráfica a partir de la información de los apartados
anteriores.
A. Juny. 2009.
23.- Dada la función f(x) =
a)
b)
c)
d)
e)
24.- Sea la función:
 2
si
 x


si
1
f(x) = 

2
 − x + 6 x − 8 si


si
0
1≤ x ≤ 2
2< x≤ 3
3< x ≤ 4
4< x≤ 5
definida en el intervalo[1, 5]. Se pide:
a) Estudia la continuidad en todos los puntos del intervalo [1, 5].
b) Calcula el área de la región del plano limitada por el eje de abscisas, las
rectas x =2 y x= 4 y la gráfica de y = f(x).
B. Set. 2010.
x3
. Calculeu:
x2 − 1
a) Les equacions de les asímptotes verticals i horitzontals, si n’hi ha.
b) Els intervals de creixement i decreixement
c) Els màxims i els mínims locals
A. Juny. 2011
25.- Siga la funció: f(x) =
 − x 2 − 2x + 3;
si
0≤ x< 1
26.- Donada la funció f(x) = 
si
1≤ x ≤ 3
 x − 1;
a) Estudieu la continuïtat de la funció en l’interval [0, 3]
b) Calculeu els màxims i mínims absoluts de f(x).
- 27 -
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS.
EXERCICIS DE SELECTIVITAT
c) Calculeu l’àrea de la regió determinada per la gráfica de la funció i les
rectes x = 0, y = 0, i x = 3.
B. Juny. 2011
3x + 2
, se pide:
x2 − 1
Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Máximos y mínimos locales.
Representación gráfica a partir de la información de los apartados
anteriores.
A. Set. 2011.
27.- Dada la función f(x) =
a)
b)
c)
d)
e)
28.- Dibuixeu la gràfica de la funció y = f(x) sabent que:
a) Està definida per a tots els valors de x excepte per a x = 1, i la recta x = 1
és l’única asímptota vertical.
b) La recta y = 3 és l’única asímptota horitzontal.
c) L’únic punt de tall amb els eixos és el (0,0)
d) La derivada de la funció y = f(x) només s’anul·la en x = 3/2.
e) f’(x)< 0 en el conjunt ]- ∞ , 1[ ∪ ]1, 3/2[
f) f’(x)> 0 en l’interval ]3/2, + ∞ [
g) f(3/2) = 13/2
A. Juny. 2012
29.-Sea la función f(x) = (x2 + x)2. Se pide:
a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales, si hay.
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Máximos y mínimos locales.
e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados
anteriores.
B. Set. 2012.
−x 24 x−4
30.-Donada la funció f(x) =
, es demana:
x 2−4x3
a) El seu domini i els punts de tall amb els eixos de coordenades.
b) Equació de les seues asímptotes verticals i horitzontals, si n'hi ha.
c) Intervals de creixement i decreixement.
d) Màxims i mínims locals.
e) Representació gràfica a partir de la informació dels apartats anteriors
A. Juny. 2013.
31.- Dada la función
x+2
si −2 x < 0
2
f(x) = x – 2x + 2
si 0 ≤x <3
3x – 1
si 3≤ x≤5
a) Estudia la continuidad de la función en todos los puntos del intervalo [-2, 5].
- 28 -
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS.
EXERCICIS DE SELECTIVITAT
[
5
b) Calcula los máximos y mínimos absolutos de f(x) en el intervalo −2, 2
c) Calcula
∫ f  x  dx
]
B. Juny 2013.
32.- La gràfica de la funció f(x) és la següent:
Es demana:
a) El seu domini i els punts d'intersecció amb els eixos de coordenades.
b) Equació de les seues asímptotes verticals i horitzontals, si n`hi ha.
c) Els valors de x per als quals la funció derivada de f(x) és positiva o nul.la,
respectivament.
lim f  x
lim f  x 
x ∞ i
d) El valor dels següents límits:
x0 .
e)
∫  x 42x 3−3 x2−4 x4 
dx
B. Juliol 2013.
33.-Sea la función f(x) = (x-1)2 (x+2)2. Se pide:
a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) Máximos y mínimos locales.
d) El valor de la integral definida de f(x) entre x = -1 y x = 1. B. Juny. 2014.
x 2−8x16
, es demana:
x 2−8x15
El seu domini i els punts de tall amb els eixos de coordenades.
Equació de les seues asímptotes verticals i horitzontals, si n'hi ha.
Intervals de creixement i decreixement.
Màxims i mínims locals.
Representació gràfica a partir de la informació dels apartats anteriors
A. Juliol 2014
34.-Donada la funció f(x) =
a)
b)
c)
d)
e)
a
x
35.- Sea la función:
si 2 x < 5
f(x) =
x2 - 3x - 8
si 5≤ x≤7
a) Calcula el valor de a para el que f(x) es continua en el intervalo [2, 7].
b) Para a = 15, estudia el crecimiento y decrecimiento de f(x) en el intervalo [2, 7].
c) Calcula ∫ f  x  dx de extremos 5 y 6
B. Juliol 2014.
36.-Calcula:
2x 32x−1
a) Totes les asímptotes verticals i horitzontals de la funció f(x) =
x 3−9x
- 29 -
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS.
EXERCICIS DE SELECTIVITAT
b) Els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x) = x 4 + 4x3 + 4x2 - 8.
c) Els màxims i mínims de la funció g(x) de l'apartat anterior.
A. Juny. 2015
x1
x2 +2
37.- Siga la funció :
f(x) =
6
x 1
2
x< 1
a) Estudia la continuïtat de f( x ) en l'interval ]− ∞, +∞[ .
b) Calcula els màxims i mínims locals de f(x) .
c) Calcula l'àrea de la regió limitada per f(x) i les rectes x = −1 i x =1 .
A. Juliol 2015.
- 30 -
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS.
EXERCICIS DE SELECTIVITAT
OPTIMITZACIÓ.
1.- Un número enter més el quadrat d'un altre número enter sumen 48.
¿Com han de triar-se aquests números perquè el seu producte siga màxim?.
Set 1995.
2.- Un exceso de fabricación satura el mercado, provocando la caída de precios y
la disminución de beneficios.
El beneficio en millones de pesetas f(x) por la venta de x unidades es:
si 10 ≤ x ≤ 20
 10 + 0,6 x

si 20 ≤ x ≤ 30
f(x) =  14 + 0,4 x
 32 − 0,2 x
si 30 ≤ x ≤ 40

Representar la gráfica de la curva y = f(x), y explicar razonadamente
cuándo el beneficio es máximo, en función del crecimiento o decrecimiento
de f(x).
B. Junio 1996.
3.- Un fabricant ven el seu producte a S € per tona. La demanda mensual x en
tones ve donada per x = 8000 - 4 S. El cost en € de producció de x tones és
C(x) = 2’5 x2 + 50000 i les despeses generades són de 300 € per tona.
Calculeu el valor de S per al qual serà màxim el benefici.
Juny 1996
4.- La rendibilitat f(x) de la publicitat en funció de la inversió de x milions en
publicitat per a certa empresa és:
f(x) = x2 – 100x
Esbrineu els trams en què a més inversió correspon més rendibilitat, així
com els valors de x als quals correspon una rendibilitat negativa. A.Juny 1997.
5.- He de dissenyar un escenari rectangular de 100 m 2, i per a optimitzar la
visibilitat dels espectadors desitge que el perímetre siga mínim. Calculeu de forma
raonada la llargària i l'ample de l'escenari.
B. Juny 1997
6.- Un banc llança al mercat un pla d’inversió la rendibilitat del qual R(x) en milers
de pessetes en funció de la quantitat x que s’inverteix en milers ve donada per
l’expressió:
R(x) = - 0,0004 x2 + 0,4x +2.
a) Deduir raonadament quina quantitat s’ha d’invertir per obtenir la rendibilitat
màxima.
b) Calcular quina seria la rendibilitat màxima.
A. Set. 1997.
- 31 -
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS.
EXERCICIS DE SELECTIVITAT
7.- La qualificació f(x) obtinguda per un estudiant en cert examen depèn de les
hores x de preparació mitjançant la funció:

x
si 0 ≤ x ≤ 15

5

f(x) = 
 2x
si 15 < x
 0,2 x + 3

a) Estudiar el conjunt de valors positius de x per als quals f(x) és creixent.
Té sentit afirmar, que a més temps de preparació correspon més
qualificació?
b) Contesta raonadament si hi ha algun punt en què estudiar un poc més
pot ser molt rendible.
c) Es pot obtenir la qualificació 10? Justifica la resposta. B. Set. 1997.
8.- Calculeu les dimensions d’una finestra de 6 metres de perímetre perquè tinga
la màxima superfície possible, i , així produïsca la màxima lluminositat.
A. Juny 1998.
9.- El preu diari del préssec és 200 – 2t, i la quantitat venuda cada dia és
80 + 10t, per a 0 < t < 60. Digueu quin dia l’ingrés obtingut per les vendes va
obtenir el valor màxim.
B. Set.1998.
10.- El valor en mils de milions d’una empresa en funció del temps t ve donat per
f(t) = 9 – (t – 2)2; 0 ≤ t ≤ 4,5 . Deduir en què valor de t l’empresa va alcançar el seu
màxim valor i en què valor de t va tindre el seu valor mìnim.
B. Juny 1999
11.- El saldo en milions d’una empresa en funció del temps és:
si
0≤ t≤ 4
• f(t) = 4 – 0,2 t
4≤ t≤ 8
• f(t) = 3,2 + 0,04 (t - 4) si
2
8< t ≤ 12
• f(t) = 3,84 + 0,1 (t - 8) si
Deduïu raonadament el valor de t en què el capital va ser màxim.
A. Set. 1999
12.- El benefici y en milions d’una societat d’acord amb la inversió x en milions ve
donat per y = x2 + 2x + 7. Obteniu la derivada del benefici y respecte de la
inversió x quan la inversió és de 2 milions i quan la inversió és de 3 milions.
A. Juny. 2000.
13.- Ens diuen que la funció f(t) = t – 2, és la derivada de la inflació en funció del
temps de cert país, quan 0 ≤ t ≤ 5 . Determinar el valor de t per al qual la inflació
arriba al valor mínim.
B. Set 2000
- 32 -
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS.
EXERCICIS DE SELECTIVITAT
14.- Es calcula que el valor d’una acció t mesos després d’eixir al mercat i durant
el primer any ve donat per la funció v(t) = t 2 – 6t + 10. Expliqueu raonadament en
quin mes convé comprar les accions per adquirir-les al preu més avantatjós.
A. Juny. 2001.
15.- El rendiment f(t) en un examen que dura una hora en funció del temps t ve
0≤ t≤ 1
donat per f(t) = t – t2,
Deduïu raonadament:
a) Quan el rendiment és nul.
b) Quan el rendiment és màxim.
c) Quan el rendiment és creixent i quan és decreixent.
B. Set.2001.
16.- La velocitat (en m/s) que assolix un atleta en una carrera de 200 metres és
donada en funció de l’espai recorregut, x, per l’expressió següent:
f(x) = - 0,00055x (x – 300).
Deduïu de forma raonada:
a) Quina distància ha recorregut l’atleta quan assolix la seua velocitat
màxima? Quina és esta velocitat?.
b) Entre quines distàncies la velocitat de l’atleta va augmentant? I disminuint?
c) A quina velocitat arriba a la meta?
A. Juny. 2002.
17.- La funció f( t) = 2’1 t2 + 0’8 t – 1, per a 0 ≤ t ≤ 9 , en què el temps, t, és
expressat en anys, proporciona els beneficis d’una empresa en milers d’euros
entre els anys 1991 ( t = 0) i 2000 (t = 9).
a) Calculeu de forma raonada la taxa de variació mitjana del benefici d’esta
empresa en este període de temps.
b) Obteniu de forma raonada la taxa de variació mitjana del benefici els dos
últims anys.
c) Què podem concloure sobre la variació del benefici en els períodes
anteriors?
B. Juny. 2002.
18.- Es calcula que entre 2.000 i 5.000 revolucions per minut el consum de
gasolina d’un motor és donat per la funció f(x) = 2x 2 – 12 x + 23, en què f(x) indica
els litres consumits en una hora i x és expressada en milers de revolucions per
minut. Calculeu de forma raonada:
a) Les revolucions amb què el consum del motor es mínim.
b) Les revolucions amb què el consum es màxim, i
c) Aquests consums.
B. Set. 2002.
19.- Es creu que el nombre y d’unitats venudes d’un cert producte en funció del
preu d’aquest en euros, x, és donat per y = 50 – x, en què el preu varia entre 0 y
50 euros. Si per cada unitat venuda s’obté un benefici de x –10, determineu de
forma raonada el preu x que produirà un major benefici, el nombre d’unitats
venudes i el benefici obtingut.
A. Juny. 2003.
- 33 -
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS.
EXERCICIS DE SELECTIVITAT
20.- Descomposeu de forma raonada el número 90 en dos sumands tals que el
resultat de sumar el quadrat del primer i el doble del quadrat del segon siga
mínim.
B. Juny. 2003.
21.- El cost total en euros de la producció de x litres d’un determinat producte ve
1
donat per C(x) = x2 + 5x + 800. Definiu la funció que determina el cost mitjà per
2
litre produït i determineu de forma raonada amb quina producció l’esmentat cost
mitjà serà mínim. Quin és el valor de l’esmentat cost?.
A. Set. 2003.
22.- La concentració C d’ozó contaminant, en micrograms per metre cúbic, en una
ciutat durant els 20 primers dies d’un determinat mes es pot aproximar per la
funció C(x) = 90 + 15x – 0’6 x2, on x representa el temps transcorregut en dies.
a) Estudieu de forma raonada el creixement i decreixement de la concentració
d’ozó en relació amb els dies transcorreguts.
b) Quina és la concentració màxima d’ozó assolida durant aquells 20 dies?
Justifiqueu-ne la resposta.
B. Set. 2003.
23.- Una multinacional ha estimat que anualment els seus ingressos en euros
vénen donats per la funció
I(x) = 28 x 2 + 36.000 x,
mentre que les
seues despeses (també en euros) poden calcular-se mitjançant la funció
G(x) = 44 x2 + 12.000 x + 700.000, on x representa la quantitat d’unitats venudes.
Determineu:
a) La funció que defineix el benefici anual en euros.
b) La quantitat d’unitats que han de ser venudes perquè el benefici siga
màxim. Justifiqueu que és màxim.
c) El benefici màxim.
A. Juny. 2004.
24.- Un restaurant obri a las 8 de la nit i tanca quan tots els clients se n’han anat.
La funció C(t) = 60t – 10 t 2 representa el nombre de clients que hi ha al
restaurant en funció del nombre d’hores t que duu obert l’establiment. Es demana:
a) Determineu el nombre màxim de clients que van una determinada nit al
restaurant. Justifiqueu que és màxim.
b) Si desitgem anar al restaurant quan hi haja almenys 50 persones i no més
de 80, entre quines hores hauríem d’anar?
A. Set. 2004.
25.- Es vol imprimir un cartell anunciador rectangular que ha de contenir 18 cm 2
de text imprès (també rectangular). Els marges superior i inferior han de ser de
2 cm cadascú, mentre que els laterals han de ser d’1 cm. Calculeu les dimensions
del cartell perquè la despesa de paper siga mínima i justifiqueu que l’esmentada
despesa és realment mínima.
B. Set. 2004.
- 34 -
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS.
EXERCICIS DE SELECTIVITAT
26.- S’estima que els beneficis mensuals d’una fàbrica de llepolies, en milers
d’euros, vénen donats per la funció f(x) = - 0,1x 2 + 2,5 x – 10, quan es venen x
tones de producte. Es demana:
a) Calcula la quantitat de tones que s’ha de vendre per a obtenir el benefici
màxim i calculeu aquest. Justifiqueu que és màxim.
b) La quantitat mínima que s’ha de vendre per a no tenir pèrdues.
c) Quina quantitat produeix el màxim benefici per tona venuda? Calculeu el
màxim benefici i justifiqueu que és màxim.
A. Juny. 2005.
27.- Una empresa de telefonia vol llançar al mercat una oferta de tarifa plana
d’Internet. S’ha realitzat un estudi que determina que si la tarifa fóra de 36 €
podrien aconseguir-se 4800 contractes. Tanmateix, per cada euro menys en la
tarifa, el nombre de contractes previst anteriorment s’incrementaria en 150. Es
demana:
a) Expresseu l’ingrés total previst com una funció d’una variable. Expliqueu el
significat de la variable utilitzada.
b) Quina hauria de ser la tarifa perquè l’empresa obtinguera l’ingrés màxim?
Quin és aquest i amb quants abonats s’aconseguiria? Justifiqueu que el
ingrés obtingut és realment màxim.
B. Juny. 2005.
28.- En unos almacenes se tienen 2000 kg de alimentos perecederos que se
pueden vender a 3 € el kg, pero si se venden más tarde, el precio aumenta en
0,1 € el kg cada día. Calcular cuándo interesa vender estos alimentos para tener
los máximos ingresos si cada día se estropean 50 kg de ellos. ¿Cuáles son esos
ingresos máximos? ¿Cuántos los kilos que se venden y a qué precio? Justificar
que es máximo.
A. Set. 2005.
29.- Els beneficis anuals B(x), en milers d’euros, previstos per una empresa per
als pròxims anys vénen donats per la següent funció, on x representa el nombre
25x
d’anys a partir de l’actual: B(x) = 2
.
x + 16
a) Quants anys han de transcórrer perquè l’empresa obtinga el màxim
benefici i quin és el valor de tal benefici? Justifica que és màxim.
b) Pot aquesta empresa tindre pèrdues algun any? Per què? A. Juny. 2006
30.- Els diners en efectiu, en euros, d’una oficina bancària durant les sis hores
que roman la caixa oberta al públic ve donat per l’expressió:
C(t) = 2000 – 234 t + 27 t 2,
sent t el tems transcorregut des de
l’obertura. Determina:
a) En quin moment hi ha més diners en efectiu i quants?
b) En quin moment hi ha menys diners en efectiu i quants?
Justifica que són màxim i mínim, respectivament.
B. Set. 2006
- 35 -
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS.
EXERCICIS DE SELECTIVITAT
31.- El cost de fabricació en euros de x unitats d’un article ve donat per la funció
f(x) =x - 2 x +20.
a) Quina ´s la funció que determina el cost de fabricació unitari?
b) Per a quina producció resulta mínim el cost unitari? Quant val aquest?
Justifica que és mínim.
B. Juny. 2008.
32.- La cuenta de resultados ( pérdidas o ganancias) en millones de euros, y, de
una empresa vienen dadas por la siguiente función de los años de existencia x de
5x 2 + 20 x − 25
la misma:
y=
x2 + 7
a) ¿A partir de qué año deja la empresa de tener pérdidas?
b) ¿En qué momento alcanza la empresa sus ganancias máximas? ¿A cuanto
ascienden éstas?
f) Describe la evolución de la cuenta de resultados de la empresa ¿Cuáles
serán sus beneficios a muy largo plazo?
B. Set. 2008.
33.- El rendimiento de cierto producto en función del tiempo de uso (medido en
3x
años) viene dado por la expresión: f(x) = 8´5 +
, x≥ 0 .
1+ x2
a) ¿Existen intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece? ¿Y
en los que decrece? ¿Cuáles son?
b) ¿En qué punto se alcanza el rendimiento máximo? ¿Cuánto vale
este?
c) Por mucho que pase el tiempo, ¿puede llegar a ser el rendimiento
inferior al rendimiento que el producto tenía inicialmente? ¿Por qué?
D. Junio. 2009.
34.- La especialidad de una pastelería es la fabricación de cajas de bombones
Xupladits. Los costes de fabricación, C(x) en euros, están relacionados con el
número de cajas producidas, x, mediante la función: C(x) = 0,1 x 2 + 20x + 2500.
Si el precio de venta de una caja de bombones es de 80 euros y se venden todas
las cajas producidas, se pide:
a) La función de ingresos que obtiene la pastelería con la venta de las cajas.
b) La función de beneficios, entendida como diferencia entre ingresos y costes de fabricación.
c) El número de cajas de bombones que se deben producir para maximizar el
beneficio y el beneficio máximo.
B. Set. 2009.
35.- La siguiente función representa la valoración de una empresa en millones de
euros en función del tiempo, t, a lo largo de los 13 años:
0≤ t< 5
 5 − 0'1t

5 ≤ t < 10
f(t) =  4'5 + 0'05( t − 5)
 4'75 + 0'1( t − 10) 2
10 ≤ t ≤ 13

Estudia analíticamente en el intervalo [0, 13]:
- 36 -
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS.
EXERCICIS DE SELECTIVITAT
a) Si la función f(t) es o no continua, indicando en caso negativo los puntos de
discontinuidad.
b) Instante t en el que la valoración de la empresa es máxima y dicha valoración
máxima.
c) Instante t en el que la valoración de la empresa es mínima y dicha valoración
mínima.
A. Juny. 2010.
36.- Una pastelería ha comprobado que el número de pasteles de un determinado
tipo que vende semanalmente depende de su precio p en euros, según la función:
n(p) = 2000 – 1000 p
donde n(p) es el número de pasteles vendidos cada semana. Calcula:
a) La función I(p) que expresa los ingresos semanales de la pastelería en
función del precio p de cada pastel.
b) El precio al que hay que vender cada pastel para obtener los ingresos
semanales máximos.¿A cuánto ascenderán dichos ingresos máximos?
A. Set. 2010.
37.- Un ganadero ordeña una vaca desde el día siguiente al día que ésta pare
hasta 300 días después del parto. La producción diaria en litros de leche que
obtiene de dicha vaca viene dada por la función:
120 x − x 2
f(x) =
donde x representa el número de días transcurridos
+ 40
5000
desde el parto. Se pide:
a) El día de máxima producción y la producción máxima.
b) El día de mínima producción y la producción mínima.
B. Set. 2011.
38.- Una empresa disposa de 15 comercials que proporcionen uns ingressos per
vendes de 5750 euros mensuals cadascun. Es calcula que per cada nou comercial que contracte l’empresa, els ingressos de cadascun disminueixen en 250
euros. Calculeu:
a) Els ingressos mensuals de l’empresa proporcionats pels 15 comercials.
b) La funció que determina els ingressos mensuals que s’obtindrien si es
contractaren x comercials més.
c) El nombre total de comercials que ha de tenir l’empresa per tal que els
ingressos per aquest mitjà siguen màxims.
d) Els ingressos màxims.
B. Juny. 2012.
39.-Se estima que el beneficio anual B(t), en %, que produce cierta inversión
viene determinado por eltiempo t en meses que se mantiene dicha inversión a
través de la siguiente expresión: B(t) =
36t
1 ,
t 324
2
t 0 .
a) Describe la evolución del beneficio en función del tiempo durante los
primeros 30 meses.
b) Calcula razonadamente cuánto tiempo debe mantenerse dicha inversión
para que el beneficio sea máximo. ¿Cuál es el beneficio máximo?
- 37 -
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS.
EXERCICIS DE SELECTIVITAT
c) ¿Cuál sería el beneficio de dicha inversión si ésta se mantuviera en el
tiempo de forma indefinida?
A. Set. 2012.
40.- Una cadena de muntatge està especialitzada en la producció d'un cert model
de motocicleta. Els costos de producció en euros, C(x), estan relacionats amb el
nombre de motocicletes fabricades, x, mitjançant la següent expressió: C(x) =
10x2 + 2000x +250000.
Si el preu de venda de cadascuna de les motocicletes és de 8000 euros i es
venen totes les motocicletes fabricades, es demana:
a) Definiu la funció d'ingressos que obté la cadena de muntatge en funció
de les vendes de les motocicletes produïdes.
b) Quina és la funció que expressa els beneficis de la cadena de muntatge?
c) Quantes motocicletes han de fabricar per a maximitzar els beneficis? A
quant ascendiran aquests beneficis?
A. Juliol. 2013.
41.- En una sesión, el valor de cierta acción, en euros, vino dado por la función:
-x + 15 0 ≤x≤3
f(x)= x -8x + 26 3 x≤6
6 x≤8
2x + 2
2
donde x representa el tiempo, en horas, transcurrido desde el inicio de la sesión.
Se pide:
a) Estudiar la continuidad de f(x).
b) Calcular el valor máximo y el valor mínimo que alcanzó la acción.
c) ¿En qué momentos convino comprar y vender para maximizar el
beneficio? ¿Cuál hubiera sido este?.
A. Juny. 2014.
42.-El rendiment d'un estudiant durant les primeres 6 hores d'estudi ve donat ( en
una escala de 0 a 100) per la funció R(t) =
700t
, en què t és el nombre d'hores
4t 29
transcorregudes.
a) Calcula el rendiment a les 3 hores d'estudi.
b) Determina l'evolució del rendiment durant les primeres 6 hores d'estudi ( quan
augmenta i quan disminueix). Quin és el rendiment màxim?
c) Una vegada obtingut el rendiment màxim, en quin moment el rendiment és igual
a 35?
B. Juny. 2015.
43.- Una empresa de material fotogràfic ofereix una màquina que és capaç de
revelar 15,5 fotografies per minut. No obstant això, les seues qualitats es van
deteriorant amb el temps de manera que el nombre de fotografies revelades per
minut ve donat per la funció:
- 38 -
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS.
f(x) =
15,5 – 1,1x
0 x 5
5 x45
x2
x>5
EXERCICIS DE SELECTIVITAT
, en què x és l'antiguitat de la màquina en anys.
a) Estudia la continuïtat de f(x) en l'interval [0, +∞[ .
b) Comprova que el nombre de fotografies revelades per minut decreix amb
l'antiguitat de la màquina. Justifica que si la màquina té més de 5 anys revelarà
menys de 10 fotografies per minut.
c) És cert que la màquina mai revelarà menys de 5 fotografies per minut? Per
què?
B. Juliol. 2015.
- 39 -