Práctica N° 2 Simulink como herramienta para resolver ecuaciones

Universidad Simón Bolívar
Ingeniería Electrónica
SEÑALES Y SISTEMAS I
Práctica N° 2
Simulink como herramienta para resolver ecuaciones diferenciales
Preparación
Revisar el help que sobre Simulink tiene Matlab 7.0 También le puede ser útil consultar la
dirección http://www.ccs.ucsd.edu/matlab/toolbox/simulink/simulink.html.
Debe resolver TODAS las ecuaciones diferenciales que Ud. simulará en esta práctica antes del
día de la misma para poder comparar los resultados experimentales con los teóricos.
Experimentos
1. Ejecutar Matlab. Para esto debe escribir en el Command Window :
>>simulink
Se abrirá el Simulink Library Browser que contiene todos los tipos de bloques de simulink.
En el menú File coloque New Model. Se abrirá una ventana donde Ud. irá colocando:
a) La fuente: Escoja de los bloques de Sources (Fuentes) aquel que permite traer una señal
construida en el WorkSpace; este se identifica como simin (From Workspace). Arrástrelo
hasta la ventana del nuevo modelo
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b) El punto final o puntos intermedios de observación: Escoja de los Bloques de Sinks
(Destinos), por ejemplo, un osciloscopio (Scope).
c) Finalmente colocará elementos varios que conformarán el sistema a simular. Por ejemplo,
si Ud. quiere colocar dos generadores y un osciloscopio simplemente los coloca en la hoja
de trabajo y luego une los bloques entre si. Esto puede realizarlo colocándose, con el
ratón, a la salida de uno de los bloques y luego arrastrando hasta la entrada del siguiente
bloque (por ejemplo el osciloscopio). Ahora si en el menú Simulation escoge Start la
simulación se iniciará. Si hace doble clic en el oscilocopio podrá ver la o las señales.
d) Para simular una ecuación diferencial requerirá bloques integradores, derivadores,
sumadores, etc.
2. Montar en Simulink el sistema descrito por la siguiente ecuación:
d 2 y( t )
+ y( t ) = x ( t )
dt 2
Esto puede ser implementado usando integradores de la siguiente forma:
El bloque que indica [t x] tomará valores que se generarán en el workspace.
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Los vectores T y x que se utilizan como entrada al sistema deben ser creados de la siguiente
manera, en el workspace:
>>t=0:0.001:0.999;
>>t=t'; %Hay que trasponer la matriz t para adecuarla a lo requerido por el modelo
>>x=exp(t);
En la ventana donde está dibujado el diagrama de bloques Ud. debe ajustar los parámetros
de la simulación: Escoja del menú Simulation la opción Simulation parameters. En la primera
pestaña que indica Solver escoja un intervalo de simulación (Simulation time) apropiado al vector
t que Ud. creo en el workspace, en el presente ejemplo Start time=0 y Stop time=0.999. En cuanto
a Solver options seleccione Type: Fixed-step, ode5 (Dormand-Prince). Este es el método más
común para resolver ODE (Ecuaciones Diferenciales Ordinarias) de tiempo continuo.
En la ventana WorkSpace I/O no marque ninguna opción.
NO modifique las pestañas Diagnostic ni Advanced
En el diagrama de bloques, haga doble click en los bloques integradores y coloque en 0
las condiciones iniciales de los integradores.
En el bloque de entrada desde el workspace debe colocar en Parameter Data un vector [t
x] y un Sample Time de 0.001 (igual al del vector T).
Ahora puede iniciar la simulación seleccionando Start en el menu simulación.
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3. Ahora determinará la respuesta impulsiva del siguiente sistema. Escriba la ecuación
diferencial que representa
el modelo y resuélvala con las condiciones bajo las cuales
realizará los experimentos que siguen
.
Para esto escribirá en el command window las siguientes instrucciones:
t=0:0.001:0.999;
t=t';
x=zeros(size(t));
Recuerde que la respuesta impulsiva se obtiene resolviendo la homogénea; por esta razón la
excitación está conformada por puros ceros. Luego de correr estas instrucciones, corra el modelo
Simulink cambiando el tiempo de simulación. Coloque la condición inicial del integrador y(0)=3.
4. Ahora probaremos la condición de linealidad de este sistema en función de las condiciones
iniciales del mismo. Comenzaremos con una condición inicial y(0)=5.
a) Coloque como excitación x=exp(-t); Observe la respuesta del sistema. Evalúela en t=0.4
seg y t=0.8 seg.
b) Coloque como excitación x=exp(-2*t); Observe la respuesta del sistema. Evalúela en
t=0.4 seg y t=0.8 seg
c) Coloque como excitación x= exp(-t)+ exp(-2*t);
Evalúela en t=0.4 seg y t=0.8 seg
Se cumple el principio de superposición??
Observe la respuesta del sistema.
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Cambie las condiciones iniciales a. y(0)=0. Repita de nuevo el experimento. Se aplica el
principio de superposición?? CONCLUYA
5. Ahora se determinará la respuesta en frecuencia del sistema anterior. Para esto escriba en el
command window (o en un archivo .m) los siguientes comandos
w = -20:0.01:20;
s = j* w;
Hdew = '3./(s+3)';
H = eval(Hdew);
figure
plot(w,abs(H));
title('Función de Transferencia ')
Observe que esto responde a la respuesta en frecuencia dada por:
H( jω) =
3
3 + jω
Busque el punto de potencia mitad. Cuánto vale?? Por qué?
6. En este punto se resolverá el mismo sistema del punto 2 pero en el caso discreto:
a) Monte en simulink el siguiente esquema:
b) Haga n = 0:1:20; y x = zeros(size(n));
c) Fije las condiciones iniciales en los retardadores iguales a cero.
d) Grafique y[n] usando el comando stem y concluya.
e) Fije las condiciones iniciales en uno (1) para ambos retardadores.
f) Grafique y[n] usando el comando stem y concluya.
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g) Compare sus resultados con los valores teóricos y concluya.
h) ¿Que puede decir sobre la estabilidad del sistema?
7. Adicionalmente:
a) Consiga la respuesta al impulso del sistema descrito por la siguiente ecuación diferencial
d 2 y( t )
+ y( t ) = x ( t )
dt 2
Este sistema fue el primero que Ud. montó en esta práctica. Debe cambiar el tiempo de
simulación para poder
ver, más ampliamente la respuesta al impulso. Compare con lo
obtenido en teoría. Debe apoyarse en los resultados teóricos para fijar las condiciones iniciales
apropiadas.
b) Dibuje la respuesta en frecuencia asociada a este sistema. Recuerde que para obtener la
respuesta en frecuencia basta excitar al sistema con una exponencial compleja. La salida
será esta misma exponencial multiplicada por la respuesta en frecuencia.