Practico 3

FUNCIONES ANALÍTICAS – Fa.M.A.F. – Año 2016
Práctico 3
1. Sea γ : [a, b] → C una curva C 1 a trozos y supongamos que f es una función continua
sobre {γ}. Entonces
R
R
(i) γ f = − −γ f , donde (−γ)(t) = γ(−t), t ∈ [−b, −a].
R
R
(ii) Si c ∈ C, entonces γ f (z)dz = γ+c f (z − c)dz, donde (γ + c)(t) = γ(t) + c.
2. Mostrar que γ : [0, 1] → C definida por γ(t) = t + i t sen( 1t ), para t 6= 0, y γ(0) = 0, no es
un camino C 1 a trozos. Dar el bosquejo del camino.
3. Sean γ y σ los polı́gonos [1, i] y [1, 1 + i, i], respectivamente. Expresar γ y σ como caminos
R
R
y calcular γ f y σ f , donde f (z) = |z|2 . ¿Se cumple aquı́ la independencia del camino?
R
4. Sean n ∈ Z y γ : [0, 2π] → C dada por γ(t) = exp(i n t). Mostrar que γ z1 dz = 2πin.
5. Calcular
R
(i) γ z n dz, donde n ∈ Z y γ : [0, 2π] → C, γ(t) = eit .
R
(ii) σ dz
, donde σ es el polı́gono [1 − i, 1 + i, −1 + i, −1 − i, 1 − i].
z
Notar que resultan iguales las integrales de la función
1
z
sobre γ1 del ejercicio anterior
(n = −1 en (i)) y sobre el polı́gono σ en (ii).
R
1
6. Encontrar γ z − 2 dz donde
(i) γ es la mitad superior del cı́rculo unidad desde 1 hasta −1.
(ii) γ es la mitad inferior del cı́rculo unidad desde 1 hasta −1.
R
7. Calcular γ (z 2 − 1)−1 dz cuando:
(i) γ(t) = 1 + eit , 0 ≤ t ≤ 2π.
(ii) γ(t) = 2eit , −π ≤ t ≤ π.
8. Sea γ una curva cerrada C 1 a trozos en un conjunto abierto G. Mostrar que para todo a 6∈ G
R
y para todo n ≥ 2, γ (z − a)−n dz = 0.
9. En cada uno de los siguientes casos dar la expansión de f en series de potencias alrededor
de a y encontrar su radio de convergencia.
(i) f (z) = log z, a = i;
(ii) f (z) =
√
z, a = 1.
10. Evaluar las siguientes integrales
Z
Z iz
e
dz
it
a)
dz, γ(t) = e
0 ≤ t ≤ 2π.
b)
, γ(t) = a + reit 0 ≤ t ≤ 2π.
2
z
z
−
a
γ
γ
Z
Z
sin z
log z
1
c)
dz, γ(t) = eit 0 ≤ t ≤ 2π. d)
dz, γ(t) = 1 + eit 0 ≤ t ≤ 2π.
3
n
2
γ z
γ z
(con n ≥ 0)
2
11. Evaluar las siguientes integrales:
Z z
e − e−z
a)
dz, γ(t) = eit .
n
z
Zγ
dz
1
b)
γ(t) = + eit .
1 n,
2
γ (z − 2 )
Z
dz
, γ(t) = 2eit .
+
1
Zγ
sin z
d)
dz, γ(t) = eit .
z
γ
c)
z2
(0 ≤ t ≤ 2π y n ∈ N).
Z
z2 + 1
12. Calcular
dz, donde γ(t) = reit , 0 ≤ t ≤ 2π, para 0 < r < 2 y 2 < r < ∞.
2 + 4)
z(z
γ
13. Sea f una función entera y supongamos que existen una constante M , un R > 0 y un entero
n ≥ 1 tales que |f (z)| ≤ M |z|n para |z| > R. Mostrar que f es un polinomio de grado
≤ n.
14. Encontrar todas las funciones enteras f tales que f (x) = ex para todo x ∈ R.
15. Probar, usando Corolario IV.3.8 del libro de Conway, que:
(i) ez+a = ez ea ;
(ii) cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a) sen(b).
16. Sean G una región, a ∈ G y f : G → C analı́tica tal que |f (a)| ≤ |f (z)|, para todo z ∈ G.
Mostrar que f (a) = 0 o f es constante.
17. Sean G una región y f, g : G → C funciones analı́ticas tales que f (z)g(z) = 0, para todo
z ∈ G. Probar que f ≡ 0 o g ≡ 0.
18. Sea U : C → R una función armónica tal que U (z) ≥ 0, para todo z ∈ C. Probar que U es
constante.
19. Mostrar que si f y g son funciones analı́ticas sobre una región G tales que f g es analı́tica
entonces o f es constante o g ≡ 0.