d - Canek

1
Movimiento armónico simple .
E: Una masa de 40 kg alarga un resorte 9:8 cm. Al inicio, la masa se libera desde un punto que
está 40 cm arriba de la posición de equilibrio, con una velocidad descendente de 4 m/s.
a. ¿Cuáles son la amplitud, la frecuencia angular y el periodo del movimiento?
b. ¿Cuántos ciclos (completos) habrá completado la masa al final de 3 s?
c. ¿En qué momento la masa pasa por la posición de equilibrio con dirección hacia abajo por
sexta vez?
d. ¿Cuáles son la velocidad y la aceleración en ese instante?
e. ¿En qué instantes la masa alcanza sus desplazamientos extremos en cualquier lado de la
posición de equilibrio?
f. ¿Cuáles son la posición, velocidad y aceleración en los tiempos t D 5; 10; 15; 20 y 25 s?
g. ¿En qué instantes la masa está a 0:40 m abajo de la posición de equilibrio?
D: H De acuerdo con la ley de Hooke, la constante del resorte es
kD
mg
40.9:8/
F
D
D
D 4000 N/m:
l
l
0:098
Tenemos entonces que la ecuación diferencial que describe la posición x.t/ está dada por:
40x 00 .t/ C 4000x.t/ D 0;
cuya ecuación característica es
40r 2 C 4000 D 0 ) r 2 C 100 D 0;
que tiene como soluciones r1 D
la ecuación diferencial es
10i & r2 D 10i. De acuerdo con esto, la solución general de
x.t/ D c1 cos 10t C c2 sen 10t:
Derivando la posición, obtenemos la velocidad:
x 0 .t/ D v.t/ D 10c1 sen 10t C 10c2 cos 10t:
Utilizando en las expresiones previas las condiciones iniciales x.0/ D
emos:
c1 D 0:4 & 10c2 D 4 ) c2 D 0:4:
0:4 & x 0 .0/ D 4 obten-
La solución del PVI es
x.t/ D 0:4 cos 10t C 0:4 sen 10t:
Expresemos esta función como x.t/ D A sen.10t C /. Para ello desarrollamos, comparamos e
identificamos:
0:4 cos 10t C 0:4 sen 10t D A sen.10t C / D A.sen 10t cos C sen cos 10t/ D
D .A sen / cos 10t C .A cos / sen 10t:
8. canek.azc.uam.mx: 16/ 12/ 2010
2
Entonces, A sen D 0:4; A cos D 0:4.
p
p
De donde, A D . 0:4/2 C .0:4/2 D .0:4/ 2
Como cos > 0, entonces D arctan. 1/ D
&
.
4
tan D 1.
p
Por lo tanto, la posición en cualquier instante es x.t/ D .0:4/ 2 sen 10t
.
4
De lo anterior, obtenemos la velocidad y la aceleración:
p
p
v.t/ D 4 2 cos 10t
& a.t/ D 40 2 sen 10t
:
4
4
donde la posición x.t/ está dada en metros (m), la velocidad v.t/ en m/s & la aceleración a.t/
en m/s2 .
p
a. La amplitud es A D 0:4 2 m D 0:5657 m.
La frecuencia natural es ! D 10 rad/s; el periodo es T D s D 0:6283 s.
5
b. El número de ciclos completos en 3 s es 4, ya que 3=T D 4:7747.
c. La posición de equilibrio se alcanza en los tiempos donde 10t
D n, es decir, cuando
4
n
tD
C ; con n D 0; 1; 2; 3; : : :
10
40
Ahora la masa se mueve hacia abajo cuando la velocidad es positiva. Esto se logra cuando
n es par, es decir, la masa pasa por primera vez hacia abajo cuando n D 0; por segunda vez
cuando n D 2 y por sexta vez cuando n D 10. Este último tiempo es t D 41=40 s D 3:22 s.
p
d. En ese momento, la velocidad y la aceleración son v D 4 2 m/s D 5:6569 m/s; a D 0
m/s2 .
e. La masa alcanza sus desplazamientos extremos cuando
se anula; esto se logra
la velocidad
1 3
cuando 10t
D C n, es decir, cuando t D
C n , con n D 0; 1; 2; : : :
4
2
10 4
f. La posición, velocidad y aceleración de la masa a los t D 5; 10; 15; 20 y 25 s están dadas
por:
t
x.t/
v.t/
a.t/
5
0:4909 2:8104 49:0936
10
0:5475 1:4238 54:7474
15
0:5657
0:0625 56:5651
20
0:5442
1:5444 54:4194
25
0:4846
2:9182 48:4607
p
g. La masa está 0.40 m abajo de la posición de equilibrio cuando x.t/ D 0:4 2 sen 10t
D
4
1
0:4, es decir, cuando 10t
D arcsen p ; de aquí se tienen dos posibilidades:
4
2
1
La primera es que 10t
D C 2n; de donde t D
2n C
, con n D 0; 1; 2; : : :
4
4
10
2
3
.2n C 1/
La segunda posibilidad es que 10t
D
C 2n, de donde t D
, con n D
4
4
10
0; 1; 2; : : :
3