vb va θ - Universidad de Córdoba

Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Ingenieros Agrónomos.
Examen Final / 9 de diciembre de 2004
1. Una pequeña embarcación es arrastrada por una corriente de 3 km/h dirigida hacia el Este. Quiere ir a un
lugar situado al Nordeste de su posición actual y su velocidad de máquinas es de 15 km/h (relativa). Determinar
el rumbo que debe seguir la embarcación y su velocidad efectiva (absoluta).
y
va
Norte
La velocidad efectiva o absoluta (vb) de la embarcación
es igual a la suma vectorial de su velocidad relativa a la
corriente de agua (vba) y a la velocidad de ésta (va); esto
es,
NE
vba
vb
45º
v b = v ba + v a
θ
tal como se indica en el diagrama vectorial adjunto.
Este
⎧
→ vb cos 45º = vba cos θ + va
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩ ↑ vb sen 45º = vba sen θ
x
y, puesto que sen 45º =cos 45º, se sigue
vba sen θ = vba cos θ + va
→ vba (sen θ − cos θ ) = va
→ sen θ − cos θ =
va
3
= = 0.2
vba 15
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación anterior y reduciendo términos,
tenemos
sen 2 θ + cos 2 θ − 2sen θ cos θ = 0.22
→ sen 2θ = 1− 0.22 = 0.96
de donde se sigue:
⎧⎪ 36.9º
⎧⎪73.74º
→ θ = ⎪⎨
2θ = ⎪⎨
⎪⎪⎩180º −73.74º = 106.26º
⎪⎪ 53.1º
⎩
y la velocidad absoluta de la embarcación es
vb = vba
sen θ
sen 53.1º
= 15×
= 16.97 km/h
sen 45º
sen 45º
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Revisión: 09/12/04
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Examen Final / 9 de diciembre de 2004
2. Un niño coloca una báscula sobre una plataforma que puede deslizar sin fricción sobre un plano inclinado,
como se indica en la figura. El niño se sube en la báscula y lee la indicación de su "peso" cuando la plataforma
desciende (aceleradamente) por el plano inclinado. Si el peso del niño en condiciones normales es P = 40 kg y el
ángulo de inclinación del plano es 10º, ¿cuál será la indicación de la báscula?
La aceleración con la que desciende el sistema
báscula-niño a lo largo del plano inclinado es:
N
S
a = g sen θ
y
x
S’
g sen θ cos θ
y sus componentes en las direcciones horizontal
y vertical (ejes xy ) son:
a0
θ
ax = g sen θ cos θ
a y = − g sen 2 θ
g sen 2 θ
mg
Sobre el niño actúan las dos fuerzas que se
indican en la figura: su peso (mg) y la reacción normal (N) ejercida por la plataforma de la
báscula. La reacción de esta última fuerza es la que mide la báscula (peso aparente del niño).
Aplicamos la ecuación del movimiento en la dirección vertical, bien sea en el referencial
inercial [S] o en el no-inercial [S’] ligado al sistema acelerado:
S
→ N − mg = ma y = − mg sen 2 θ
S′
→ N − mg + mg sen θ = ma′y = 0
2
→ N = mg (1 − sen 2 θ ) = mg cos 2 θ
Sustituyendo los valores del enunciado, obtenemos:
N = 40 × cos 2 10º = 38.79 kg
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3. Introducimos agua en un tubo en U de sección constante, colocado en posición vertical, y desnivelamos
momentáneamente las dos ramas de la U. a) Calcular la frecuencia y el periodo de las oscilaciones que se
producen; b) ¿Variarán los resultados del apartado anterior si en lugar de agua se colocara mercurio?
DATOS: densidad del mercurio, 13.6 g/cm3.
En la situación de equilibrio, el líquido alcanza el mismo nivel en las dos ramas. Supongamos
que, por algún procedimiento, se desnivela el líquido en las dos ramas. Consideremos un
instante genérico, ilustrado en la figura, cuando el nivel del líquido en cada una de las ramas
presenta una elongación x (desplazamiento respecto del nivel de equilibrio).
Método de las fuerzas: Sobre la totalidad de líquido actúa una fuerza F, no compensada,
igual el peso de la columna de líquido de sección S y altura 2x; i.e,
F = −m′g = −ρ S (2 x) g
de sentido contrario a la elongación x. La masa de todo el líquido es ρSL.
x
2x
La ecuación del movimiento se escribe
F = mx → − ρ S (2 x) g = ρ SLx → x +
2g
x=0
L
F
que es la ecuación diferencial correspondiente a un m.a.s. con
ω=
2g
l
→ T=
l
2π
= 2π
ω
2g
Método de la energía:. Expresamos la energía del sistema correspondiente a una elongación genérica, teniendo
en cuenta que la porción líquida contenida en el codo no cambia su energía potencial. Los centros de masas de
las ramas verticales de líquido se han marcado mediante un punto, cuya altura es la mitad de la longitud de dicha
columna. Tenemos,
⎛ h − x ⎞⎟ m
⎛ h + x ⎞⎟
1
m
E = Ek + Ep = mx 2 + (h − x) g ⎜⎜
⎟⎟ + ( h + x) g ⎜⎜⎜
⎟=
⎜
⎝ 2 ⎠ l
⎝ 2 ⎠⎟
2
l
1
m
1
m
2
2
= mx 2 + g ⎢⎡( h − x ) + ( h + x ) ⎥⎤ = mx 2 + g ⎢⎣⎡ h 2 + x 2 ⎥⎦⎤
⎦ 2
2
2l ⎣
l
x
x
h
Puesto que el sistema es conservativo, su energía permanece constante, de modo que
⎛
dE
m
2g
+ 2 gxx = mx ⎜⎜ x +
= mxx
⎜
⎝
dt
l
l
Ep=0
⎞
x⎟⎟⎟ = 0
⎠
y como esta relación debe satisfacerse en cualquier instante, cualquiera que sea la velocidad del sistema,
podemos escribir
x +
2g
x=0
L
que es la ecuación diferencial correspondiente a un m.a.s. (la misma obtenida anteriormente).
b) La frecuencia tan solo depende de la longitud de la columna líquida. Si el tubo contiene un
mismo volumen de agua, de mercurio,... la frecuencia de las oscilaciones serán las mismas,
con independencia de la densidad del líquido.
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4. Una máquina térmica reversible funciona intercambiando calor con tres focos térmicos cuyas temperaturas
son: T1 = 500 K, T2 = 400 K y T3 = 300 K. La máquina toma una cantidad de calor Q1 = 700 kcal del primer foco
y realiza un trabajo de 1 kWh. a) Calcular las cantidades de calor intercambiadas con los otros focos. b) Determinar el rendimiento de la máquina. c) Calcular los cambios de
T1=500K
entropía en los distintos niveles térmicos y el total.
Q1=700kcal
W = 1 kWh = 1000×3600 = 3.6×106 J = 860 kcal
a) Aplicamos el Primer y el Segundo Principio de la
Termodinámica:
Q2
W=860kcal
⎧Q + Q2 + Q3 = W
⎧Q + Q3 = W − Q1
⎪
⎪
⎪ 1
⎪ 2
⎪
⎪
→ ⎨ Q2 Q3
Q
⎨ Q1 Q2 Q3
⎪
⎪
+ + =0
+ =− 1
⎪
⎪
T1
⎪
⎪
⎪ T1 T2 T3
⎪ T2 T3
⎩
⎩
T2=400K
Q3
T3=300K
de modo que disponemos de dos ecuaciones con dos
incógnitas (Q2, Q3), que nos conducen a
⎧
⎧
Q2 + Q3 = W − Q1 = 160
Q2 + Q3 = 160
⎪
⎪
⎪
⎪
1 1 1 1
1
⎪
⎪
→
→
∆
=
= − =
⎨ Q2
⎨
Q
Q
700
Q
1
1
3
3
2
⎪
⎪
3 4 12
+
=−
+ = −140
4
3
⎪
⎪
⎪
⎪
500
3
⎩ 400 300
⎩4
Q2 = 12
160 1
= +2320 kcal
−140 13
Q3 = 12
1
1
4
160
= −2160 kcal
−140
b) Por definición de rendimiento de una máquina
η=
W
W
860
860
=
=
=
= 28.5%
Qabs Q1 + Q2 700 + 2320 3020
c) Cambios de entropía en cada nivel térmico:
⎫⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪
Q2 2320
kcal ⎪⎪
∆S 2 =
=
= +5.8
⎬ ∆S = 0
T2
400
K ⎪⎪
⎪⎪
Q3 −2160
kcal ⎪⎪
∆S3 =
=
= −7.2
⎪
T3
300
K ⎪⎪⎪⎭
∆S1 =
Q1 700
kcal
=
= +1.4
T1 500
K
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5. Una bobina muy larga tiene 1000 espiras/m de longitud y está recorrida por la una intensidad i = 3 cos 100 t
(en unidades del S.I.) En su interior y sobre su mismo eje, colocamos una pequeña bobina de 1 cm de radio y
50 espiras independientes de las de la bobina larga. a) Calcular la intensidad del campo magnético en el interior
de la bobina larga. b) Determinar el valor del flujo magnético a través de la bobina pequeña. c) Calcular la f.e.m.
inducida en la bobina pequeña.
a) Determinamos el campo magnético B en el
interior de la bobina o solenoide largo a partir del
Teorema de Ampère, calculando la circulación de B
a lo largo de una línea de campo:
B
N
S
l
B débil
∫ B idr = ∫ B dl = B ∫ dl = Bl = µ Ni
0
de donde
B=
µ0 Ni
l
= µ0 ni = µ0 nI cos ωt = 4π × 10−7 × 1000 × 3cos100t = 0.0012π cos100t
∴ B = 3.77×10−3 cos100t (S.I.)
B
que puede considerarse uniforme en el interior de la
bobina.
b) Flujo ligado a través de la bobina pequeña:
Φ = NBS = 50×(3.77×10−3 cos100t ) π (0.01) = 5.92×10−5 cos100t (S.I.)
2
c) Determinamos la f.e.m. a partir de la Ley de la Inducción de Faraday:
E =−
dΦ
d
= − (5.92×10−5 cos100t ) = 5.92×10−3 sen100t (S.I.)
dt
dt
de modo que Emáx = 5.92 mV .
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6. En el circuito de la figura, la tensión entre bornes de la bobina
es el doble que la tensión que soporta el condensador C1. a) Calcular
la d.d.p. entre los bornes del generador y la intensidad que éste proporciona al circuito. b) Determinar los valores de L, C1 y C2.
c) Evaluar la impedancia total del circuito y su factor de potencia.
1
A
2
L
50Hz
C2
C1
A
rama 3: VAB = I 3Z3 = 12 0º8 0º = 96 0º V
B
3
9A
8Ω
A
18 A
A
12 A
rama 2:
Z2 =
96 0º
VAB
1
=
= 5.33 −90º Ω → Z 2 =
I2
18 +90º
ωC2
→ C2 =
1
1
=
= 597 µF
ω Z 2 100π ×5.33
rama 1:
I1 =
VAB
VAB
=
1
Z1
ωL −
ωC1
ω L I1 = 2
Z3 =
L=
I1
ωC1
→ Z1 = ω L −
→ ωL =
2
ωC1
V
1
96
= AB = = 10.67 Ω → Z1 = 10.67 90º Ω
9
I1
ωC1
→ L=
2
ω C1
2
2
1
1
1
−
=
= 10.67 → C1 =
= 298 µF
100π ×10.67
ωC1 ωC1 ωC1
2
(100π ) 298×10−6
2
= 68 mH
Asociación de impedancias en paralelo:
j
j
1
1
1
1
1
1
1
1
= +
+
=
+
+ =−
+
+ = 0.125 + 0.094 j = 0.153 37º Ω−1
Z Z1 Z 2 Z3 10.67 j −5.33 j 8
10.67 5.33 8
de modo que Z = 6.4 −37º Ω y cos φ = cos 37º = 0.8 (capacitativo)
Intensidad suministrada por el generador:
I=
96 0º
V
=
= 15 37º A
Z 6.4 −37º
(adelantada)
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