Cálculo Diferencial e Integral - Longitud de una curva. Prof. Farith J

Cálculo Diferencial e Integral - Longitud de una curva.
Prof. Farith J. Briceño N.
Objetivos a cubrir
Código : MAT-CDI.10
• Longitud de una curva.
• Área de una superficie de revolución.
Ejercicios resueltos
Ejemplo 1 : Determine la longitud de la gráfica de la ecuación y =
1
en el intervalo 0, .
2
x2
Solución : Tenemos que la longitud de una curva de la forma y = f (x) en un intervalo [a, b], viene dada por
Z
b
s=
q
1 + [f 0 (x)]2 dx
a
ası́, puesto que f 0 (x) = 2x tenemos
1/2
Z
s=
1/2
Z
q
1 + [2x]2 dx =
0
p
1 + 4x2 dx
0
hacemos el cambio trigonométrico
2dx = sec2 t dt
2x = tan t,
=⇒
dx =
1
sec2 t dt
2
de aquı́,
si x = 0, entonces tan t = 0
=⇒
t=0
1
, entonces tan t = 1
2
=⇒
t=
si x =
π
4
la integral nos queda
Z
1/2
p
1 + 4x2 dx =
0
como sec t > 0 en el intervalo
h
0,
πi
4
π
4
π
4
Z
0
Z π √
Z π
p
4
4
1
1
1 + tan2 t sec2 t dt =
sec2 t sec2 t dt =
|sec t| sec2 t dt,
2 0
2 0
π
4
Z
, entonces la integral queda
sec t sec2 t dt, para calcular esta integral, integramos por partes
0
y se tiene
Z
1
2
u = sec t
Al derivar
−−−−−−−−−−−→
dt = sec t tan t dt
dv = sec2 t dt
Al integrar
−−−−−−−−−−−−→
v = tan t
π
Z π
4
4
sec t tan2 t dt =
sec t tan t −
0
sec t sec2 t dt =
0
π
Z π
4
4
sec t sec2 t − 1 dt
sec t tan t −
0
0
0
=
π
Z π
Z π
4
4
4
sec3 t dt +
sec t dt
sec t tan t −
0
0
0
ası́
Z
2
π
4
2
sec t sec t dt =
0
0
con lo que,
π
4
Z
π
4
sec t tan t +
sec t sec2 t dt =
0
1
2
π
4
1
sec t tan t +
2
0
π
4
ln |sec t + tan t| 0
π
4
ln |sec t + tan t| ,
0
entonces,
π
4
Z
0
sec t sec2 t dt =
1
2
sec
y obtenemos
π
4
Z
0
π
4
tan
π
4
sec t sec2 t dt =
!
− sec (0) tan (0)
+
1
2
!
π
π ln sec
+ tan
− ln |sec (0) + tan (0)|
4
4
√
1
1 2
1 2
2
1 √
√ + ln √ + 1 − ln (1) =
+ ln
2+1
2 2
2
2
2
2
2
1
luego
√
Z π
p
4
1
1
sec t sec2 t dt =
1 + 4x2 dx =
2
2
0
0
1
Finalmente, la longitud de la curva f (x) = x2 en el intervalo 0,
es
2
Z
!
2
1 √
+ ln
2+1
2
2
1/2
√
2
1 √
2+1
+ ln
4
4
s=
F
Z
Ejemplo 2 : Determine la longitud de la gráfica de la ecuación f (x) =
x√
t + 3 dt en [0, 1].
0
Solución :Tenemos que la longitud de una curva de la forma y = f (x) en un intervalo [a, b] viene dada por
Z
b
s=
q
1 + [f 0 (x)]2 dx
a
ası́, puesto que f 0 (x) =
0
x√
√
t + 3 dt = x + 3 tenemos
Z
0
1
Z
s=
1
Z
q
√
2
1+
x + 3 dx =
0
√
4 + x dx.
0
Hacemos el cambio de variable
u2 = 4 + x;
2u du = dx
de aquı́,
si x = 0, entonces u2 = 4 + (0)
si x = 1, entonces u2 = 4 + (1)
entonces,
1
Z
√
√
5
Z
4 + x dx =
2u2 du =
2
0
x
Z
Luego, la longitud de la curva dada por f (x) =
√
=⇒
=⇒
u=2
u=
√
5
√ 3
√5
5
2
2 (2)3
10 √
16
2u3 −
=
5−
=
3 2
3
3
3
3
t + 3 dt en [0, 1] es
0
10 √
16
5−
.
3
3
s=
F
Ejemplo 3 : Determine la longitud de la gráfica de la curva r dada en forma paramétrica por las ecuaciones


 x (t) = 4 sen t
r (t) =

 y (t) = 4 cos t − 5
en el intervalo [0, π].
Solución : Tenemos que la longitud de una curva de la forma r (t) = (x (t) , y (t)) en un intervalo [a, b] viene dada por
Z
b
s=
q
[x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 dt,
a
como
x0 (t) = 4 cos t
entonces
π
Z
s=
0
y
π
Z
q
[4 cos t]2 + [−4 sen t]2 dt =
y 0 (t) = −4 sen t,
π
Z
q
16 (cos2 t + sen2 t) dt =
0
√
16 dt = 4π.
0
Luego, la longitud de la curva dada en forma paramétrica por r (t) = (4 sen t, 4 cos t − 5) en [0, π] es
s = 4π
F
2
Ejemplo 4 : Determine la longitud de la gráfica de la curva r dada en forma paramétrica por las ecuaciones


 x (t) = a (t − sen t)
r (t) =

 y (t) = a (1 − cos t)
en [0, 2π].
Solución : Tenemos que la longitud de una curva de la forma r (t) = (x (t) , y (t)) en un intervalo [a, b] viene dada por
Z
b
s=
q
[x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 dt,
a
como
x0 (t) = a (1 − cos t)
entonces
2π
Z
s=
y 0 (t) = a sen t,
y
q
(a (1 − cos t))2 + (a sen t)2 dt
0
Desarrollando el argumento de la raı́z cuadrada
[x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 = [a (1 − cos t)]2 + [a sen t]2 = a2 1 − 2 cos t + cos2 t + a2 sen2 t
= a2 1 − 2 cos t + cos2 t + sen2 t = a2 (2 − 2 cos t) = 2a2 (1 − cos t)
es conocido que
1 − cos 2 (·)
2
sen2 (·) =
2 sen2 (·) = 1 − cos 2 (·)
=⇒
de aquı́,
1 − cos t = 1 − cos 2
t
t
= 2 sen2
2
2
por lo tanto,
0 2 0 2
x (t) + y (t) = 4a2 sen2
t
,
2
entonces,
Z
s=
2π
s
4a2 sen2
0
hacemos el cambio de variable
u=
Z 2π
Z 2π t
t sen t dt
dt =
2a sen
dt
=
2a
2
2
2 0
0
t
;
2
du =
1
dt
2
=⇒
2 du = dt
de aquı́,
si t = 0, entonces u =
si t = 2π, entonces u =
con lo que,
π
Z
|sen u| du = 2a
s = 2a
0
2π
2
=⇒
=⇒
u=0
u=π
π
− cos u = −2a
π
Z
0
2
sen u du = 2a
0
!
cos (π) − cos (0)
= 4a
0
Luego, la longitud de la curva dada en forma paramétrica por r (t) = (a (t − sen t) , a (1 − cos t)) en [0, 2π] es
s = 4a
F
Ejemplo 5 : Encuentre el área de la superficie de revolución generada al girar la curva dada por y =
en el intervalo [−1, 3] alrededor del eje x
√
x+2
Solución : Tenemos que el área de la superficie de una curva de la forma y = f (x) con a ≤ x ≤ b cuando se hace girar alrededor del
eje x, viene dada por
Z b
q
S = 2π
f (x)
1 + [f 0 (x)]2 dx,
a
3
1
como f 0 (x) = √
, se tiene
2 x+2
Z
3
S = 2π
√
s
x+2
1+
−1
1
√
2 x+2
√
3
Z
= 2π
2
Z
3
dx = 2π
√
s
x+2
1+
−1
x+2
−1
1
dx = 2π
4 (x + 2)
Z
3
√
s
x+2
−1
4 (x + 2) + 1
dx
4 (x + 2)
p
Z 3
√
4 (x + 2) + 1
√
dx = π
4x + 9 dx
2 x+2
−1
hacemos el cambio de variable
u = 4x + 9;
du = 4 dx
du
= dx
4
=⇒
de aquı́,
si x = −1, entonces u = 4 (−1) + 9
si x = 3, entonces u = 4 (3) + 9
=⇒
=⇒
u=5
u = 21
con lo que,
Z
21
S=π
5
√ du
π
u
=
4
4
!
2 3/2 21
π
u =
3
6
5
Luego
S=
3/2
(21)
3/2
− (5)
=
5π √
7π √
21 −
5
2
6
7π √
5π √
21 −
5
2
6
F
Ejemplo 6 : Encuentre el área de la superficie de revolución generada al girar la curva dada por y = ln x en
el intervalo [1, 2] alrededor del eje y
Solución : Tenemos que el área de la superficie de una curva de la forma y = f (x) con a ≤ x ≤ b cuando se hace girar alrededor del
eje y, viene dada por
Z b q
S = 2π
x 1 + [f 0 (x)]2 dx,
a
como
f0
1
(x) = , se tiene
x
s
2
Z
S = 2π
x
1
1+
2
Z 2 r
Z 2p
1
1
dx = 2π
x 1 + 2 dx = 2π
x2 + 1 dx
x
x
1
1
Si hacemos el cambio trigonométrico
dx = sec2 t dt
x = tan t;
obtenemos
Z p
Z
1
1
1 p
1 p
x2 + 1 dx =
sec3 t dt = sec t tan t + ln |sec t + tan t| + C = x x2 + 1 + ln x2 + 1 + x + C.
2
2
2
2
Por lo tanto,
2
Z
p
x2 + 1 dx =
1
=
=
√
2
1 p
1 p 2
x x + 1 + ln x2 + 1 + x
2
2
1
1
(2)
2
q
(2)2 + 1 +
q
q
q
1 1
1 ln (2)2 + 1 + (2) −
(1)
(1)2 + 1 + ln (1)2 + 1 + (1)
2
2
2
√
√
1√
√
1 √
1 √
1 5 + 2 2
5 + ln 5 + 2 −
2 − ln 2 + 1 = 5 + ln √
−
2
2
2
2 2 + 1
2
Luego
√
S = 2π
5+
√
√ !
1 5 + 2 2
ln √
−
2 2 + 1
2
F
Ejemplo 7 : Encuentre el área de la superficie de revolución generada al girar la curva paramétrica dada por
r (t) = t2 , t2 en [−1, 2] alrededor del eje x.
Solución : Tenemos que el área de la superficie de una curva dada en forma paramétrica r (t) = (x (t) , y (t)) con a ≤ t ≤ b cuando se
hace girar alrededor del eje x, viene dada por
Z b
q
S = 2π
y (t)
[x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 dt,
a
4
como
x0 (t) = 2t
y 0 (t) = 2t,
y
entonces
Z
2
S = 2π
t2
Z
q
[2t]2 + [2t]2 dt = 2π
2
t2
Z
p
4t2 + 4t2 dt = 2π
−1
−1
Z
√
= 4 2π −
0
t3 dt +
−1
Z
2
t2
√
√ Z
8t2 dt = 4 2π
−1
2
t3 dt
√
= 4 2π
"
−
0
Luego
(0)4
(−1)4
+
4
4
2
t2 |t| dt
−1
!
+
(2)4
(0)4
−
4
4
!#
√
√
1
+ 4 = 17 2π
= 4 2π
4
√
S = 17 2π
F
Ejercicios
1. Determine la longitud de la gráfica de la ecuación y = ex en el intervalo [0, 1].
2. Determine la longitud de la gráfica de la ecuación dada en el intervalo indicado
1. y = x, [−1, 1]
4. y =
3x2/3 ,
2. y = x3/2 + 4, desde (0, 4) hasta (1, 5)
Z
[1, 8]
5. y =
xp
u2 − 1 du, 1 ≤ x ≤ 2
3. y = 2x + 1, [0, 3]
√
6. y = 2 x + 1, [0, 3]
1
Z
x
7. y =
p
64 sen2 u cos2 u − 1 du,
π/6
π
π
≤x≤
6
3
8. 5x = y 5/2 + 5y −1/2 , [4, 9]
9. x = 4 − y 2/3 , [1, 8]
3. Determine la longitud de la gráfica de la curva r dada en forma paramétrica por las ecuaciones


 x (t) = a cos t
r (t) =

 y (t) = a sen t
en el intervalo [0, 2π].
4. Determine la longitud de la gráfica de la curva r dada en forma paramétrica por las ecuaciones
r (t) = (x (t) , y (t)) = 3t2 + 2, 2t3 − 1
en el intervalo [1, 2].
5. Determine la longitud de la gráfica de la curva r dada en forma paramétrica por las ecuaciones


 x (t) = t
r (t) =

 y (t) = t2 + 1
en el intervalo [0, 1].
6. Considere la región limitada por y = x y y = x2 . Determine la longitud del borde de la región.
√
7. Considere la región limitada por y = x y y = x2 . Determine la longitud del borde de la región.
8. Considere la región limitada por y = |x| y y = 2 − x2 . Determine la longitud del borde de la región.
5
9. Encuentre el área de la superficie de revolución generada al girar la curva dada alrededor del eje x
0≤x≤1
1. y = 6x,
x3
,
3
3. y =
1≤x≤
2. y =
√
√
25 − x2 ,
−2 ≤ x ≤ 3
4. x = t, y = t3 ,
7
0≤t≤1
10. Calcule el área de la superficie de revolución generada al girar la curva dada alrededor del eje y
1. y =
√
3
2. y = 4 − x2 ,
1≤x≤8
x + 2,
11. Se genera una esfera de radio r al girar la gráfica de y =
el área de la superficie de la esfera es 4πr.
√
0≤x≤2
r2 − x2 alrededor del eje x. Comprobar que
12. Se obtiene la forma de una bombilla ornamental al girar la gráfica de
y=
1 1/2
x − x3/2 ,
3
0≤x≤
1
3
alrededor del eje x, donde x e y se miden en pies. Calcular el área de la superficie de la bombilla.
Respuestas: Ejercicios
1.
√
e2 + 1 −
2.6. 2
√
5
2
√
2 + 1 + ln √ 22+1
e
+
√
5 − 1 + ln √5+2 ;
1
4
ln
√
5+2 ;
√
9.1. 6π 37;
10.2. 2π
17
12
2.7. 2;
6.
9.2. 50π;
√
17 −
1
12
√
2.1. 2 2;
;
+1+1 2+1
√
5.
√
;
√
2+
9.3.
√
5
2
248
π
9
11. 4πr;
2.8. 42.367;
+
√
1
4
ln
√
2;
1
π
3
28
135
√
7.
5
27
√
√
10 −
3−
64
15
1
54
√
√
2.4. 16 2 − 5 5;
√
2.3. 3 5;
2.9. 7.6337;
5+2 ;
9.4. 2π
12.
√
13 13−8
;
27
2.2.
1
2
;
ln
√
5+2 ;
10.1.
2
π
3
√
8 2−2
;
5
√
√
4. 10 5 − 4 2;
3. 2πa;
5+
2.5.
8.
145
18
√
√
145 −
5+
5
9
√
1
2
ln
√
√
5 + 2 + 2 2;
10 ;
;
Bibliografı́a
1. Purcell, E. - Varberg, D: “Cálculo con Geometrı́a Analı́tica”. Novena Edición. Prentice Hall.
2. Stewart, J.: “Cálculo”. Grupo Editorial Iberoamericano.
Cálculo Diferencial e Integral - Longitud de una curva.
Prof. Farith Briceño
e-mail : farith [email protected]
Última actualizacón: Enero 2010
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