Los espacios totalmente antisimétrico y totalmente simétrico

Los espacios totalmente antisimétrico y totalmente
simétrico∗
Guido A. Raggio
Octubre 2000
Considere un sistema de N ≥ 2 partı́culas idénticas. Si se trata de fermiones,
los estados permitidos deben ser totalmente antisimétricos respecto de las permutaciones.¿Cuantos estados totalmente antisimétricos hay? Más precisamente, si H es el
espacio de estados de una partı́cula, ¿que dimensión tiene el subespacio totalmente
antisimétrico del producto tensorial HN = H
⊗H⊗
· · · ⊗ H} de N copias de H? Para
|
{z
N
responder esta pregunta recordamos que el subespacio totalmente antisimétrico Ha
de HN se obtiene proyectando HN con el antisimetrizador
Ha = AHN , A = (N !)−1
X
sgn(α)Pα ,
α∈SN
donde sgn(α) es la paridad de la permutación α y Pα es el operador unitario sobre HN
que implementa la permutación α. El antisimetrizador A es un proyector ortogonal:
A = A∗ = A2 y satisface
Pα A = APα = sgn(α)A , α ∈ SN .
(1)
Sea entonces D la dimensión del espacio H y {φj : j = 1, 2, · · · , D} una base
ortonormal arbitraria de H. Entonces, {φj1 ⊗ φj2 ⊗ · · · ⊗ φjN : j1 , j2 , · · · , jN ∈
{1, 2, · · · , D}} es una base ortonormal de HN (que tiene dimensión DN ). Considere
la proyección con el antisimetrizador, A(φj1 ⊗ φj2 ⊗ · · · ⊗ φjN ), de cualquier vector de
la base de HN .
Lema: A(φj1 ⊗ φj2 ⊗ · · · ⊗ φjN ) = 0 si y solo si por lo menos dos de los ı́ndices
{j1 , j2 , · · · , jN } son iguales.
Demostración: Sea φ = φj1 ⊗ φj2 ⊗ · · · ⊗ φjN . Si hay dos ı́ndices iguales, sea σ
la transposición que intercambia las posiciones donde están los dos ı́ndices iguales;
tenemos, sgn(σ) = −1, y Pσ φ = φ. Luego, por (1), Aφ = APσ φ = −Aφ, o sea
Aφ = 0. Esto verifica la suficiencia de la condición. Si ahora todos los ı́ndices son
distintos entonces para cualquier par de permutaciones α y β se tiene
hPα φ|Pβ φi = hφjα(1) ⊗ φjα(2) ⊗ · · · ⊗ φjα(N ) |φjβ(1) ⊗ φjβ(2) ⊗ · · · ⊗ φjβ(N ) i
Notas de las clases correspondientes de la materia Mecánica Cuántica II de la Licenciatura en
Fı́sica, FAMAF-UNC, 2do Cuatrimestre del 2000.
∗
1
=
N
Y
hφjα(ℓ) |φjβ(ℓ) iH =
N
Y
δjα(ℓ) ,jβ(ℓ) =
ℓ=1
ℓ=1
(
0 ,
1 ,
si α 6= β
si α = β
;
luego
k Aφ k2 =k (N !)−1
X
sgn(α)Pα φ k2 = (N !)−2
α∈SN
X
k φ k2 = (N !)−1
α∈SN
y en particular, Aφ 6= 0 lo que demuestra la necesidad de la condición.
Por lo tanto, si ψ es totalmente antisimétrico, o sea ψ ∈ Ha o lo que es lo mismo
Aψ = ψ, entonces los coeficientes cj1 ,j2 ,···,jN = hφj1 ⊗ φj2 ⊗ · · · ⊗ φjN |ψi de la expansión
de ψ respecto de la base, se anulan cuando dos o más de los ı́ndices son iguales. De
las DN dimensiones quedan anuladas todas salvo D(D − 1)(D − 2) · · · (D − N + 1) =
(D!)/((D − N )!) que es el número de posibilidades de elegir N ı́ndices distintos entre
D posibles. ¡Observese que si D < N esto elimina todas las dimensiones! Usando (1)
vemos que A(φj1 ⊗ φj2 ⊗ · · · ⊗ φjN ) y APα (φj1 ⊗ φj2 ⊗ · · · ⊗ φjN ) no son linealmente
independientes, pues son iguales para permutaciones pares y el uno el negativo del
otro para permutaciones impares. Dado entonces un (φj1 ⊗ φj2 ⊗ · · · ⊗ φjN ) con
todos los ı́ndices distintos, o sea A(φj1 ⊗ φj2 ⊗ · · · ⊗ φjN ) 6= 0, cualquier permutación
de los ı́ndices conduce –al antisimetrizar– a un vector linealemente dependiente de
A(φj1 ⊗ φj2 ⊗ · · · ⊗ φjN ):
APα (φj1 ⊗ φj2 ⊗ · · · ⊗ φjN ) = sgn(α)A(φj1 ⊗ φj2 ⊗ · · · ⊗ φjN ) .
Ya que hay N ! permutaciones de los ı́ndices distintos, quedan entonces
D!
=
(D − N )!N !
D
N
!
dimensiones posibles, i.e.:
Dimensión de Ha ≤
D
N
!
.
Para ver que hay igualdad, verificamos que si φ = A(φj1 ⊗ φj2 ⊗ · · · ⊗ φjN ) y ψ =
A(φk1 ⊗ φk2 ⊗ · · · ⊗ φkN ) donde los N ı́ndices {j1 , j2 , · · · , jN } que aparecen en φ son
distintos y los N ı́ndices {k1 , k2 , · · · , kN } que aparecen en ψ son distintos, y ambos
conjuntos son distintos, i.e., para algún jℓ con ℓ ∈ {1, 2, · · · , N } se tiene jℓ 6= km para
todo m ∈ {1, 2, · · · , N }, entonces φ es ortogonal a ψ. En efecto,
hψ|φi = hA(φk1 ⊗ φk2 ⊗ · · · ⊗ φkN )|A(φj1 ⊗ φj2 ⊗ · · · ⊗ φjN )i
= hφk1 ⊗ φk2 ⊗ · · · ⊗ φkN |A2 (φj1 ⊗ φj2 ⊗ · · · ⊗ φjN )i
= hφk1 ⊗ φk2 ⊗ · · · ⊗ φkN |A(φj1 ⊗ φj2 ⊗ · · · ⊗ φjN )i
= (N !)−1
X
sgn(α)hφk1 ⊗ φk2 ⊗ · · · ⊗ φkN |φjα(1 ⊗ φjα(2) ⊗ · · · ⊗ φjα(N ) )i
α∈SN
= (N !)
−1
X
sgn(α)
N
Y
m=1
α∈SN
2
δkm ,jα(m) = 0
ya que para cualquier α en el producto
(el factor con m tal que α(m) = ℓ).
QN
m=1 δkm ,jα(m)
hay a lo menos un factor nulo
Esto implica, en particular, que las imágenes bajo A de los vectores φj1 ⊗ φj2 ⊗
· · · ⊗ φjN con conjuntos distintos de ı́ndices distintos son linealmente independientes
y por ende
!
D
.
Dimensión de Ha =
N
Si ahora consideramos bosones, los estados permitidos deben ser totalmente simétricos con respecto a las permutaciones. El subespacio totalmente simétrico Hs de
HN se obtiene proyectando con el simetrizador S:
Hs = SHN , S = (N !)−1
X
Pα .
α∈SN
El simetrizador S es un proyector ortogonal: S = S ∗ = S 2 y satisface
Pα S = SPα = S , α ∈ SN .
(2)
Ahora, S no anula ninguno de los vectores φj1 ⊗ φj2 ⊗ · · · ⊗ φjN de la base ortonormal,
pero, debido a (2) se tiene
S(φj1 ⊗ φj2 ⊗ · · · ⊗ φjN ) = SPα (φj1 ⊗ φj2 ⊗ · · · ⊗ φjN )
para cualquier permutación α. Luego, dos vectores de la base que se diferencian
entre si por alguna permutación tienen la misma proyección totalmente simétrica.
La dimensión de Hs es entonces igual al número de vectores de la base que quedan
si no distinguimos vectores que son permutación el uno del otro. Para calcular este
número procedemos como sigue: A cada vector φj1 ⊗ φj2 ⊗ · · · ⊗ φjN le asociamos
un vector ~n = (n1 , n2 , · · · , nD ) de dimensión D cuyas componentes nj son iguales al
número de veces que aparece φj en φj1 ⊗ φj2 ⊗ · · · ⊗ φjN . Se tiene 0 ≤ nj ≤ N para
P
j = 1, 2, · · · , D y además, D
n no
j=1 nj = N . La asignación φj1 ⊗ φj2 ⊗ · · · ⊗ φjN → ~
distingue vectores de la base que son permutación el uno del otro. Luego, el número
buscado es precisamente el número de estos vectores ~n posibles. Indicamos cada
uno de los D componentes de los vectores ~n por los D espacios entre D + 1 rayitas
verticales | y el número de ocupación nj por una cantidad nj de estrellitas ∗ colocadas
donde corresponda; por ejemplo (D = 5, N = 4)
φ4 ⊗ φ1 ⊗ φ5 ⊗ φ4 y sus permutaciones → ~n = (1, 0, 0, 2, 1) → | ∗ ||| ∗ ∗| ∗ | .
Como cada concatenación de rayitas y estrellitas asociada a un vector ~n debe comenzar y terminar con una rayita quedan D + 1 − 2 = D − 1 rayitas a concatenar con
N estrellitas. Dicho de otra manera, tenemos D − 1 + N cajas en las cuales debemos meter una rayita o una estrellita. O, lo que es lo mismo, debemos elegir N de
!
D+N −1
.
D − 1 + N cajas en las cuales poner las estrellitas. Este número es
N
Por lo tanto:
!
D+N −1
.
Dimensión de Hs =
N
3
j
1/2
1/2
1
1
1
1
3/2
3/2
3/2
3/2
2
2
2
2
2
D (= 2j + 1)
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
5
N dim(Hs )
2
3
≥3
N +1
2
6
3
10
4
15
5
21
2
10
3
20
4
35
5
56
2
15
3
35
4
70
5
126
6
210
4
dim(Ha )
1
0
3
1
0
0
6
4
1
0
10
10
5
1
0
dim(HN ) = DN
4
2N
9
27
81
243
16
64
256
1024
25
125
625
3125
15625