Esfuerzos Principales y Eigenvalores.

Esfuerzos Principales y Eigenvalores.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica. Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E.
1
Introducción.
Una aplicación inmediata e interesante de los métodos numéricos, en particular de los métodos para la determinación numérica de eigenvalores y eigenvectores, es la determinación de los esfuerzos principales, y de las
direcciones principales asociadas al estado de esfuerzo en un punto. Estas notas muestran los fundamentos de
la determinación del estado de esfuerzos en un punto y ejemplifican el cálculo de los esfuerzos y direcciones
principales asociados al estado de esfuerzo en un punto.
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Estado de Esfuerzos en un Punto.
Una de las tareas mas importantes en la mecánica de sólidos es la determinación de los esfuerzos en un punto
arbitrario de un elemento de máquina sujeto a fuerzas arbitrarias. Si es posible determinar el estado de esfuerzos
en un punto arbitrario del elemento de máquina, será posible determinar si el elemento de máquina puede
soportar las fuerzas a las que está sujeto. Esta determinación involucra la selección y aplicación de una teorı́a
de falla apropiada al material de que está formado el elemento de máquina, sea dúctil o frágil, y el tipo de carga,
sea estática o dinámica.
El estado de esfuerzos en un punto, P , representa los esfuerzos a los que está sujeto el punto en tres planos
—que usualmente se seleccionan mutuamente perpendiculares— que pasan por el punto. El estado de esfuerzos
en un punto, P , se representa como un cubo en cuyas caras aparecen los esfuerzos a los cuales está sujeto el
punto. Es importante notar que los planos pasan por el mismo punto P , y que por lo tanto, las dimensiones
del cubo son infinitamente pequeñas.
Los esfuerzos que aparecen en cada una de las caras pueden representarse de manera matricial como
⎤
⎡
σxx τxy τxz
(1)
S = ⎣ τyx σyy τyz ⎦
τzx τzy σzz
De las ecuaciones de equilibrio, puede probarse que
τxy = τyx
τxz = τzx
τyz = τzy
(2)
Sustituyendo los resultados indicados en la ecuación (2) en la ecuación (1) se tiene que el estado de esfuerzos S
está dado por una matriz simétrica, es decir
⎡
⎤
σxx τxy τxz
S = ⎣ τxy σyy τyz ⎦
(3)
τxz τyz σzz
Mas aún, puede probarse que el estado de esfuerzos S está sujeto a reglas especı́ficas de transformación y
constituye lo que se llama un tensor simétrico de segundo orden.
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Figure 1: Estado de Esfuerzos en un Punto.
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Determinación de los Esfuerzos y Direcciones Principales.
Considere que se desea obtener los esfuerzos en el punto P en un plano, que pasa por el mismo punto P tal que
la normal al plano está dada por el vector unitario n̂ = (nx , ny , nz ), puede entonces probarse, vea [1], que las
componentes cartesianas del esfuerzo T que aparece en el plano están dadas por
Tnx
Tny
=
=
σxx nx + τxy ny + τxz nz
τxy nx + σyy ny + τyz nz
Tnz
=
τxz nx + τyz ny + σzz nz
Figure 2: Esfuerzos en un Plano Arbitrario.
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(4)
Esta ecuación (4) puede escribirse en forma matricial como
⎡
⎤⎡
⎤
σxx τxy τxz
nx
T = S n̂ = ⎣ τxy σyy τyz ⎦ ⎣ ny ⎦ .
τxz τyz σzz
nz
(5)
A fı́n de aplicar alguna de las teorias de falla, tanto para materiales frágiles como dúctiles, tanto para cuando
las cargas aplicadas al elemento mecánico son estáticas o dinámicas, es necesario y frecuentemente indispensable
determinar los esfuerzos principales que actuan sobre un punto. En la mecánica de los sólidos los esfuerzos
principales, en un punto P, se definen como los esfuerzos que aparecen en ese punto P en planos, que se
denominan principales, en los que el esfuerzo tiene la dirección de la normal al plano. Esta caracterı́stica
implica que en en los planos asociados a las direcciones principales, no hay esfuerzos cortantes y en esos planos
T = σ n̂.
(6)
En esas circunstancias, debe quedar claro que la busqueda de los esfuerzos y direcciones principales, se reduce
a la determinación de los eigenvalores y eigenvectores del estado de esfuerzo en un punto, pues sustituyendo la
ecuación (6) en la ecuación (5) se tiene que
⎡
⎤⎡
⎤
σxx τxy τxz
nx
T = S n̂ = ⎣ τxy σyy τyz ⎦ ⎣ ny ⎦ = σ n̂.
(7)
τxz τyz σzz
nz
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Ejemplo.
Considere un estado de esfuerzos en un punto S, dado por
σxx = 1000 σyy = −2000 σzz = 3000 τxy = −200 τxz = 100 τyz = −400
el estado de esfuerzos puede expresarse en forma matricial, como
⎡
1000 −200
100
⎢
S=⎢
⎣ −200 −2000 −400
100
−400 3000
⎤
⎥
⎥
⎦
(8)
A fı́n de determinar los esfuerzos principales, eigenvalores, y direcciones principales, eigenvectores, es necesario determinar la matriz S − λ I3 , dada por
⎡
⎤
1000 − λ
−200
100
⎢
⎥
−2000 − λ
−400 ⎥
(9)
S − λ I3 = ⎢
⎣ −200
⎦
100
−400
3000 − λ
La ecuación caracterı́stica asociada a los eigenvalores, esfuerzos principales, está dada por
p( λ) = −6244000000 + 5210000 λ + 2000 λ2 − λ3
Los esfuerzos principales están dados por
σ1 = −2043.849458,
σ2 = 1005.479902,
y σ3 = 3038.369556
(10)
Como puede observarse, uno de los esfuerzos principales es de compresión, mientras que los dos esfuerzos
principales restantes son de tensión.
Los eigenvectores, o direcciones principales, asociadas a cada uno de los esfuerzos principales, están dadas
por
3
1. Dirección principal asociada al esfuerzo principal σ1 = −2043.849458, está dada por
⎡
⎤
0.06282617492
n̂1 = ⎣ 0.9949982146 ⎦
0.07766224421
2. Dirección principal asociada al esfuerzo principal σ2 = 1005.479902, está dada por
⎡
⎤
0.9964074519
n̂2 = ⎣ −0.05810629894 ⎦
−0.06161044199
3. Dirección principal asociada al esfuerzo principal σ3 = 3038.369556, está dada por
⎡
⎤
0.05678961428
n̂2 = ⎣ −0.08125398734 ⎦
0.9950742333
Puede probarse que las direcciones principales, eigenvectores, de una matriz simétrica son mutuamente perpendiculares. Este resultado significa que los esfuerzos principales en un punto, aparecen en planos mutuamente
perpendiculares. Considere la matriz P dada por
n̂2
P = [n̂1
si se calcula
⎡
n̂3 ]
0.9999999996 −3.2 × 10−11
⎢
−11
PT I3 P = ⎢
⎣ −3.2 × 10
2.0 × 10−11
0.9999999988
1.0 × 10−11
(11)
2.0 × 10−11
⎤
⎥
1.0 × 10−11 ⎥
⎦
1.000000001
(12)
se muestra que las direcciones son mutuamente perpendiculares.
References
[1] Dally, J. W. y Riley, W. F., (2005), Experimental Stress Analysis, Fourth Edition, Knoxville, Tennessee:
College House Enterprises, L.L.C.
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