Prctico 1 1. Sea B la σ-álgebra de Borel sobre R, es decir, B es la σ

Introducción Anlisis Real
Curso 2010
Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
Prctico 1
1. Sea B la σ-álgebra de Borel sobre R, es decir, B es la σ-álgebra generada por los subconjuntos
abiertos de R. Probar que B también está generada por los siguientes conjuntos:
a) Los intervalos abiertos: E1 = {(a, b) : a < b}.
b) Los intervalos cerrados: E2 = {[a, b] : a < b}.
c) Los intervalos semiabiertos: E3 = {(a, b] : a < b} o E4 = {[a, b) : a < b}.
d ) Las semirrectas abiertas: E5 = {(−∞, b) : a < b} o E6 = {(a, ∞) : a < b}.
e) Las semirrectas cerradas: E7 = {(−∞, b] : a < b} o E8 = {[a, ∞) : a < b}.
l
f ) Los intervalos con extremos en los didicos: E9 = {( 2km , 2m
) : k, l ∈ Z, m ∈ N}
2. En los siguientes ejemplos averiguar si M tiene estructura de σ-álgebra.
a) Sean X un conjunto y τ : X −→ X una biyección. Se dice que un subconjunto E de X es
τ -invariante si τ (E) = E. Sea M = {E ⊆ X : E es τ − invariante}.
b) Sean X e Y dos conjuntos, y T : X −→ Y . Sea M = {T −1 (E) : E ∈ P(Y )}. Considerar la
misma pregunta sustituyendo P(Y ) por una σ-álgebra cualquiera de subconjuntos de Y .
c) Diremos que E ⊆ R3 es un cilindro si siempre que (a, b, c) ∈ E, entonces (a, b, z) ∈ E,
∀z ∈ R. Ahora M es la clase de todos los cilindros.
d ) M = {E ⊆ R2 : E puede ser cubierto por una cantidad numerable de rectas horizontales}.
3. Mostrar que un álgebra A es una σ-álgebra si y sólo si es una clase monótona, es decir, es cerrada
por uniones numerables crecientes.
4. Una familia elemental de subconjuntos de un conjunto no vacı́o X es una familia E ⊆ P(X) tal
que:
a) ∅ ∈ E
b) Si E, F ∈ E, entonces E ∩ F ∈ E
c) Si E ∈ E, entonces E c es una unión disjunta y finita de elementos de E.
Supongamos que E es una familia elemental, y sea A la colección de uniones finitas de miembros
de E. Probar que A es un álgebra de conjuntos sobre X.
5. Dados un espacio de medida (X, M, µ) y A ∈ M, definamos µA (E) = µ(A ∩ E), ∀E ∈ M.
Probar que µA es una medida.
6. En los casos siguientes, decidir si µ∗ es una medida exterior sobre X, y cuando corresponda
calcular la σ-álgebra de los conjuntos µ∗ -medibles.
(
1 si x0 ∈ E
∗
a) Sean x0 ∈ X fijo, µ (E) =
0 si x0 ∈
/E
b) µ∗ (E) = 1, ∀E ⊆ X.
(
0 si E = ∅
c) µ∗ (E) =
1 si E 6= ∅
d ) X no numerable, y µ∗ (E) es 0, 1 según que E sea numerable o tenga complemento numerable
respectivamente, y µ∗ (E) = +∞ en otro caso.
T
e) X = N, y µ∗ (E) = lı́m sup k1 #(E {1, 2, . . . , k})
1
f ) X tiene 100 elementos dispuestos en 10 columnas y 10 filas y, para E ⊆ X, µ∗ (E) es el
número de columnas en las que hay algún elemento de E.
g) X = R, µ∗ (E) = 0 si E es numerable, µ∗ (E) = 1 si E no es numerable y existe un intervalo
acotado I tal que E \ I es numerable, y µ∗ (E) = ∞ en otro caso.
7. Sean A ⊆ P(X) un álgebra, Aσ la colección de uniones numerables de elementos de A, y Aσδ la
colección de intersecciones numerables de elementos de Aσ . Sean µ0 una premedida sobre A, y
µ∗ la medida exterior inducida.
a) Para cada E ⊆ X y cada > 0, existe A ∈ Aσ con E ⊂ A y µ∗ (A) ≤ µ∗ (E) + .
b) Si µ∗ (E) < ∞, entonces E es µ∗ -medible si y sólo si existe B ∈ Aσδ tal que E ⊆ B y
µ∗ (B \ E) = 0.
c) Si µ0 es σ-finita, la restricción µ∗ (E) < ∞ hecha en (b) no es necesaria.
8. Sea µ∗ una medida exterior sobre X, inducida por una premedida finita µ0 . Si E ⊆ X, definimos
la medida interior de E como: µ∗ (E) = µ0 (X) − µ∗ (X \ E). Probar que E es µ∗ -medible si y
sólo si µ∗ (E) = µ∗ (E) (Sugerencia: Usar la parte (a) del ejercicio anterior.)
Ejercicios Complementarios
9. Sea X es un conjunto y M := {E ⊆ X : E o E c es numerable}. Probar que M es una σ-álgebra sobre
X.
10. Si (X, M, µ) es un espacio de medida y E, F ∈ M, entonces µ(E ∪ F ) + µ(E ∩ F ) = µ(E) + µ(F ).
S
11. Una medida µ sobre X es llamada σ-finita si X = n≥1 En , con µ(En ) < ∞, ∀n. Una medida µ es
llamada semifinita si para todo E tal que µ(E) = ∞ existe F ⊆ E tal que 0 < µ(F ) < ∞.
a) Probar que si µ es σ-finita entonces es semifinita. ¿Vale el recı́proco?
b) Si f : X −→ [0, ∞] y µ : P(X) −→ [0, ∞] está dada por µ(E) =
semifinita si y sólo si f (x) < ∞, ∀x ∈ X. ¿Cuándo es σ-finita?
P
x∈E
f (x), entonces µ es
c) Si µ es semifinita y E es tal que µ(E) = ∞, entonces ∀a > 0 existe F ⊆ E tal que a < µ(F ) < ∞.
12. Sea (X, M, µ) un espacio de medida. Un conjunto A ∈ M es llamado un átomo de µ si µ(A) > 0 y
para todo E ⊆ A medible se tiene que µ(E) = 0 o µ(E) = µ(A). Si µ no tiene átomos se dice que µ
es no–atómica. Dar un ejemplo de una medida con exactamente n átomos, n ∈ Z+ . Probar que si µ es
no–atómica, E ∈ M y 0 ≤ t ≤ µ(E) < ∞, entonces existe F ⊆ E tal que µ(F ) = t.
13. Sea B la σ-álgebra de Borel sobre R, y sea M la σ-álgebra generada por los conjuntos que tienen apenas
un punto. Mostrar que M ⊂ B, y que la inclusin es estricta.
14. Probar que si M es una σ-álgebra generada por una familia E, entonces M es la unión de las σ-álgebras
generadas por F, donde F varı́a sobre todas las subfamilias numerables de E.
15. Existe alguna σ-álgebra infinita y numerable?
16. Sea (X, M, µ) un espacio de medida, y sea M = {E ∈ M : µ(E) < ∞}
a) Si E, F ∈ M y µ(E∆F ) = 0, entonces µ(E) = µ(F ).
b) Digamos que E ∼ F si µ(E∆F ) = 0. Probar que ∼ es una relación de equivalencia sobre M.
c) Definamos d : M × M −→ R mediante d(E, F ) = µ(E∆F ). Probar que d es una seudométrica
sobre M. Por lo tanto d pasa al cociente M/ ∼, definiendo sobre este conjunto una métrica que
continuamos llamando d.
d ) Mostrar que si µ es finita y M está generado por una familia numerable, entonces M/ ∼ es separable.
e) Dar un ejemplo que muestre que el resultado anterior puede ser falso si µ no es finita.
17. Sean (X, d) un espacio métrico y µ∗ : P(X) → [0, ∞] una medida exterior métrica, es decir, una medida
exterior tal que µ∗ (E ∪ F ) = µ∗ (E) + µ∗ (F ) siempre que d(E, F ) > 0.
2
a) Probar que si E ⊆ U ⊆ X, con U abierto, y si En := {x ∈ X : d(x, X \ U ) ≥ 1/n}, entonces
lı́mn µ∗ (En ) = µ∗ (E).
b) Demostrar que cada boreliano es µ∗ –medible.
c) Recı́procamente, probar si ν ∗ es una medida exterior sobre X tal que cada abierto en X es ν ∗ –
medible, entonces µ∗ es una medida exterior métrica.
d ) Sea R un anillo de conjuntos sobre X (es decir: R es una familia no vaca de subconjuntos de X,
que es cerrada por uniones finitas y por diferencia de conjuntos).
1) Probar que si E, F ∈ R, entonces E∆F y E ∩ F ∈ R.
2) Demostrar que (R, ∆, ∩) es un anillo (en el sentido algebraico) con suma ∆ y producto ∩, y que
este anillo tiene unidad sii R es un lgebra. Notar que es un anillo de Boole, i.e.: cada elemento
es idempotente.
3) Cules son los divisores de cero de R? Si R es un lgebra, cules son los elementos invertibles?
4) Si µ : R → [0, ∞] es una medida, probar que la familia de conjuntos de R cuya medida es nula
forman un ideal de R.
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