Álgebra Lineal - Universidad de los Andes

Álgebra Lineal
Departamento de Matemáticas
Universidad de Los Andes
Primer Semestre de 2007
Universidad de Los Andes ()
Álgebra Lineal
Primer Semestre de 2007
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Texto guı́a:
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Contenidos
1
Geometrı́a en Rn , matrices y sistemas de ecuaciones lineales
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Contenidos
1
Geometrı́a en Rn , matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2
Dimensión, rango y transformaciones lineales
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Contenidos
1
Geometrı́a en Rn , matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2
Dimensión, rango y transformaciones lineales
3
Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
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Contenidos
1
Geometrı́a en Rn , matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2
Dimensión, rango y transformaciones lineales
3
Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4
Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
Espacios vectoriales sobre el campo complejo
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1
Geometrı́a en Rn , matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2
Dimensión, rango y transformaciones lineales
3
Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4
Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
Espacios vectoriales sobre el campo complejo
5
Determinantes
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1
Geometrı́a en Rn , matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2
Dimensión, rango y transformaciones lineales
3
Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4
Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
Espacios vectoriales sobre el campo complejo
5
Determinantes
6
Valores y vectores propios
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Geometrı́a en Rn , matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2
Dimensión, rango y transformaciones lineales
3
Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4
Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
Espacios vectoriales sobre el campo complejo
5
Determinantes
6
Valores y vectores propios
7
Ortogonalidad
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Geometrı́a en Rn , matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2
Dimensión, rango y transformaciones lineales
3
Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4
Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
Espacios vectoriales sobre el campo complejo
5
Determinantes
6
Valores y vectores propios
7
Ortogonalidad
8
Cambio de base
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Geometrı́a en Rn , matrices y sistemas de ecuaciones lineales
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Dimensión, rango y transformaciones lineales
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Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4
Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
Espacios vectoriales sobre el campo complejo
5
Determinantes
6
Valores y vectores propios
7
Ortogonalidad
8
Cambio de base
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1
Geometrı́a en Rn , matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2
Dimensión, rango y transformaciones lineales
3
Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4
Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
Espacios vectoriales sobre el campo complejo
5
Determinantes
6
Valores y vectores propios
7
Ortogonalidad
8
Cambio de base
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1
Geometrı́a en Rn , matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2
Dimensión, rango y transformaciones lineales
3
Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4
Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
Espacios vectoriales sobre el campo complejo
5
Determinantes
6
Valores y vectores propios
7
Ortogonalidad
8
Cambio de base
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Álgebra vectorial en espacios vectoriales abstractos
Definición
Un Espacio Vectorial es una tripla (V , +, ·) donde V es un conjunto, +
una forma de sumar y · una forma de multiplicar elementos de V por
escalares reales, satisfaciendo las siguientes condiciones:
1
Asociatividad:
~ = ~u + (~v + w
~)
(~u + ~v ) + w
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Álgebra vectorial en espacios vectoriales abstractos
Definición
Un Espacio Vectorial es una tripla (V , +, ·) donde V es un conjunto, +
una forma de sumar y · una forma de multiplicar elementos de V por
escalares reales, satisfaciendo las siguientes condiciones:
1
Asociatividad:
~ = ~u + (~v + w
~)
(~u + ~v ) + w
2
Conmutatividad:
~u + ~v = ~v + ~u
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Álgebra vectorial en espacios vectoriales abstractos
Definición
Un Espacio Vectorial es una tripla (V , +, ·) donde V es un conjunto, +
una forma de sumar y · una forma de multiplicar elementos de V por
escalares reales, satisfaciendo las siguientes condiciones:
1
Asociatividad:
~ = ~u + (~v + w
~)
(~u + ~v ) + w
2
Conmutatividad:
~u + ~v = ~v + ~u
3
Existencia de identidad aditiva:
~u + ~0 = ~u
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Álgebra vectorial en espacios vectoriales abstractos
Definición
Un Espacio Vectorial es una tripla (V , +, ·) donde V es un conjunto, +
una forma de sumar y · una forma de multiplicar elementos de V por
escalares reales, satisfaciendo las siguientes condiciones:
1
Asociatividad:
~ = ~u + (~v + w
~)
(~u + ~v ) + w
2
Conmutatividad:
~u + ~v = ~v + ~u
3
Existencia de identidad aditiva:
~u + ~0 = ~u
4
Existencia de inverso aditivo:
~u + (−~u ) = ~0
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Definición (continuación)
~ son elementos de V (llamados vectores) y, si r , s escalares
donde ~u , ~v y w
en R, tenemos además
1
Distribitividad:
~ ) = r · ~v + r · w
~
r · (~v + w
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Definición (continuación)
~ son elementos de V (llamados vectores) y, si r , s escalares
donde ~u , ~v y w
en R, tenemos además
1
Distribitividad:
~ ) = r · ~v + r · w
~
r · (~v + w
2
Distributividad:
(r + s) · ~v = r · ~v + s · ~v
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Definición (continuación)
~ son elementos de V (llamados vectores) y, si r , s escalares
donde ~u , ~v y w
en R, tenemos además
1
Distribitividad:
~ ) = r · ~v + r · w
~
r · (~v + w
2
Distributividad:
(r + s) · ~v = r · ~v + s · ~v
3
Asociatividad:
r · (s · ~v ) = (rs) · ~v
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Definición (continuación)
~ son elementos de V (llamados vectores) y, si r , s escalares
donde ~u , ~v y w
en R, tenemos además
1
Distribitividad:
~ ) = r · ~v + r · w
~
r · (~v + w
2
Distributividad:
(r + s) · ~v = r · ~v + s · ~v
3
Asociatividad:
r · (s · ~v ) = (rs) · ~v
4
Existencia de unidad multiplicativa:
1 · ~v = ~v
Tenemos por ejemplo...
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Ejemplo 1
El Espacio Rn
El conjunto Rn con la suma y el producto escalar definidos, para
~v = (v1 , . . . , vn ), w
~ = (w1 , . . . , wn ) en Rn y r ∈ R, según:
~v + w
~ = (v1 , . . . , vn ) + (w1 , . . . , wn ) = (v1 + w1 , . . . , vn + wn ),
y
r · ~v = (rv1 , . . . , rvn ),
forma un espacio vectorial.
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Ejemplo 2
Espacios de Matrices
El conjunto Mmn (R) de matrices
reales con suma de matrices


a11 · · · a1n
 a21 · · · a2n 


 ..
..  +
.
.
 .
.
. 
am1 · · · amn
m × n con entradas (o componentes)








= 

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···
···
..
.
b1n
b2n
..
.
bm1 · · ·
bmn
b11
b21
..
.





···
···
..
.
a1n + b1n
a2n + b2n
..
.
am1 + bm1 · · ·
amn + bmn
a11 + b11
a21 + b21
..
.
Álgebra Lineal





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y producto de matrices por escalares

ra11 ra12
 ra21 ra22

rA =  .
..
 ..
.
···
···
..
.
ra1n
ra2n
..
.
ram1 ram2 · · ·
ramn



,

es un espacio vectorial.
Los ejemplos anteriores, con los que ya hemos trabajado anteriormente, no
son las únicas estructuras de espacio vectorial que podemos definir sobre
vectores y/o matrices, podemos modificar las operaciones para obtener
nuevos espacios vectoriales, o definir nuevos espacios...
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Ejemplo 3
Espacio de polinomios Pn [x]
Sea Pn [x] el conjunto de polinomios de grado menor o igual a n, en una
variable x, con coeficientes reales. Es decir, un elemento p(x) ∈ Pn [x] es
un polinomio de la forma
p(x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + an x n ,
con a0 , . . . , an reales. Si definimos la suma de polinomios p(x) = a0 + a1 x
+ · · · + an x n , q(x) = b0 + b1 x + · · · + bn x n ∈ Pn [x] y su producto por
escalares como
p(x) + q(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x 2 + · · · + (an + bn )x n
y
r · p(x) = ra0 + ra1 x + ra2 x 2 + · · · + ran x n ,
tenemos un espacio vectorial.
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Ejemplo 4
Espacio de funciones F (R)
Sea F (R) el conjunto de funciones continuas f : R → R. Definiendo la
suma de dos funciones f , g ∈ F (R) como la función f + g cuyo valor en
x ∈ R está dado por
(f + g )(x) = f (x) + g (x),
y el producto de una función f por un escalar r ∈ R como la función cuyo
valor en x ∈ R está dado por
(r f )(x) = r (f (x)),
tenemos un espacio vectorial.
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Combinaciones lineales, subespacios y bases
La gran mayorı́a de los conceptos relativos a la estructura lineal de Rn
pueden definirse de forma completamente análoga sobre espacios
vectoriales abstractos.
Definición
Una combinación lineal de n vectores ~v1 , ~v2 , . . . , ~vn , en un espacio vectorial
V arbitrario, es un vector que se puede escribir de la forma
~v = r1~v1 + r2~v2 + · · · + rn v~n ,
donde r1 , r2 , . . . , rn son escalares reales.
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Ası́, por ejemplo, el vector (polinomio)
p(x) = 2 − x + 3x 3 ∈ P3 [x]
es una combinación de los vectores 1 + x y 1 + x 3 ya que
2 − x + 3x 3 = (−1)(1 + x) + (3)(1 + x 3 ).
De igual forma, el vector (matriz)
1 2
A=
∈ M2 (R)
0 1
es una combinación de los vectores
1 2
0 1
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= (1)
1 0
0 1
1 0
0 1
y
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+ (2)
0 1
0 0
0 1
0 0
ya que
.
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Definición
El espacio generado por k vectores ~v1 , ~v2 , . . . , ~vk en un espacio vectorial V
es el conjunto
Sp (~v1 , ~v2 , . . . , ~vk ) = {r1~v1 + r2~v2 + · · · + rk v~k | r1 , r2 , . . . , rk ∈ R},
de todas las combinaciones lineales de tales vectores.
Ejemplo
1 0
La matriz
genera todas las matrices diagonales y con
0 1
diagonal idéntica en el espacio M2 (R).
Dos vectores (no paralelos) generan un plano en R3 .
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Definición
Un subconjunto V ⊂ W de un espacio vectorial W es llamado subespacio
de W si es cerrado bajo suma y multiplicación por escalares, es decir:
1
Si ~v1 , ~v2 ∈ V entonces ~v1 + ~v2 ∈ V .
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Definición
Un subconjunto V ⊂ W de un espacio vectorial W es llamado subespacio
de W si es cerrado bajo suma y multiplicación por escalares, es decir:
1
Si ~v1 , ~v2 ∈ V entonces ~v1 + ~v2 ∈ V .
2
Si ~v ∈ V entonces, para cualquier escalar r ∈ R, r~v ∈ V .
Al igual que en Rn , cualquier subespacio de un espacio vectorial debe
contener necesariamente al vector cero ~0:
Si ~v ∈ V entonces, por la propiedad 2, −~v ∈ V y, por la propiedad 1,
~v + (−~v ) = ~0 ∈ V .
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Ası́, por ejemplo,
{p(x) ∈ Pn [x] | p(0) = 1}
{p(x) ∈ Pn [x] | p(0) = 0}
No es un subespacio vectorial de
Pn [x].
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Es un subespacio vectorial de
Pn [x].
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Bases para espacios vectoriales
Al igual que en los espacios Rn , una base para un espacio es “lo mı́nimo
necesario para generar el espacio”:
Sea V un espacio vectorial. Un conjunto finito de vectores ~v1 , . . . , ~vk
(cuando existe) es llamado base para V si:
1
El conjunto {~v1 , . . . , ~vk } es linealmente independiente.
Ejemplo
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Bases para espacios vectoriales
Al igual que en los espacios Rn , una base para un espacio es “lo mı́nimo
necesario para generar el espacio”:
Sea V un espacio vectorial. Un conjunto finito de vectores ~v1 , . . . , ~vk
(cuando existe) es llamado base para V si:
1
El conjunto {~v1 , . . . , ~vk } es linealmente independiente.
2
Sp(~v1 , . . . , ~vk ) = V , es decir, cualquier vector de V puede escribirse
como combinación lineal de ~v1 , . . . , ~vk .
Ejemplo
−3, 1 + x, −1 + x + x
Es una base para P2 [x].
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2
1 0
0 0
1 1
1 1
,
,
1 0
1 1
No es una base para M2 (R).
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Igual que para Rn ,
base canónica:

1 0



 0 0

Bnm =  . .

 .. ..



0 0
cada espacio vectorial de dimensión finita tiene una
···
···
···
···
0
0
..
.
 
 
 
,
 
0
0 1 ···
0 0 ···
.. ..
. . ···
0 0 ···
0
0
..
.




,···

0


,

0 0 ···
0 0 ···
.. ..
. . ···
0 0 ···
0
0
..
.
1











para los espacios de matrices.
BPn [x] = 1, x, x 2 , . . . , x n ,
para los espacios de polinomios.
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Bases y Dimensión
Teorema
Sea V un espacio vectorial cualquiera. Un subconjunto {~v1 , . . . , ~vk } de V
es una base del espacio si cualquier vector ~v ∈ V se puede escribir en
forma única como combinación lineal de ~v1 , . . . , ~vk , es decir si existen
escalares únicos r1 , . . . , rk tales que
~v = r1~v1 + · · · rk ~vk .
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Dimensión
El número de elementos de cualquier base para un espacio vectorial es el
mismo cuando es finito, y es llamado la dimensión del espacio vectorial.
Cuando no existe un conjunto finito de vectores linealmente independientes
que generen a V decimos que tal espacio es de dimensión infinita.
Por ejemplo:
1
Rn es un espacio vectorial de dimensión n
2
Mn m(R) es un espacio vectorial de dimensión nm
3
Pn [x] es un espacio vectorial de dimensión n + 1
4
F (R) es un espacio vectorial de dimensión infinita.
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22 / 50
Por ejemplo, sea Dn = {A ∈ Mn (R) | Aij = 0 si i
matrices diagonales n × n. El conjunto Dn es un
Mn (R), y si A ∈ Dn , entonces

a11 0 · · · 0
 0 a22 · · · 0

A= .
..
..
 ..
. ···
.
0
luego












1 0 ···
0 0 ···
.. ..
. . ···
0 0 ···
0
0
..
.
 
 
 
,
 
0
0
0 0 ···
0 1 ···
.. ..
. . ···
0 0 ···
···
0
0
..
.



,

ann



,···

0
6= j} el conjunto de
subespacio vectorial de



,

0 0 ···
0 0 ···
.. ..
. . ···
0 0 ···
0
0
..
.
1











es una base para Dn , y
dim Dn = n.
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23 / 50
Cómo darle coordenadas a vectores ...
Sea V un espacio vectorial de dimensión n arbitrario (matrices,
polinomios, ...), podemos dar una representación de los vectores de V
como vectores de Rn con respecto a una base ordenada de V .
Si, por ejemplo, consideramos la base canónica para P2 [x],
Bo = 1, x, x 2 y el polinomio p(x) = 1 + 2x + 3x 2 , tenemos que
p(x) = (1)(1) + (2)(x) + (3)(x 2 ).
Si tomamos
en lugar de la base anterior la base
B = −3, 1 + x, −1 + x + x 2 para P2 [x], existen tres escalares únicos
que nos permiten escribir a p(x) en términos de tal base:
5
p(x) = (− )(−3) + (−1)(1 + x) + (3)(−1 + x + x 2 ).
3
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24 / 50
Tenemos entonces dos representaciones diferentes para el polinomio
p(x) = 1 + 2x + 3x 2 ∈ P2 [x]:

[p(x)]Bo

1
= 2 
3

− 53
=  −1 
3

[p(x)]Bo
respecto a la base canónica Bo .
respecto a la base B.
Definición
Dado un vector ~v ∈ V en un espacio vectorial de dimensión finita y una
base BV = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn } de tal forma que ~v = α1~v1 + α2~v2 + · · · αn~vn ,
para α1 , α2 , . . . αn ∈ R únicos. Entonces decimos que el vector ~v en
coordenadas respecto a BV es el vector de Rn dado por:


α1
 α2 


[~v ]BV =  .  .
 .. 
αn
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25 / 50
Cómo calcular los coeficientes cuando V = Rn
Si ~x ∈ Rn y tenemos cualquier base Bn = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn } de Rn , para
encontrar [~x ]Bn podemos proceder en dos pasos:
1
Escribir los vectores de la base ordenada en una matriz aumentada
~v1 ~v2 · · · ~vn ~x .
2
Usar reducción de Gauss-Jordan hasta obtener la la izquierda la matriz
identidad, entonces a la derecha quedará el vector que buscamos:
I [~x ]Bn .
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26 / 50
Transformaciones Lineales entre espacios vectoriales
Dados dos espacios vectoriales (V , +, ·) y (W , ⊕, ), cada uno con sus
operaciones lineales, una transformación lineal permite transferir la
estructura lineal de uno en el otro:
Definición
Una aplicación
T :V →W
entre espacios vectoriales (V , +, ·) y (W , ⊕, ) es llamada transformación
lineal si preserva la estructura lineal (suma y producto por escalar):
1
Si ~x , ~y ∈ V , entonces T (~x + ~y ) = T (~x ) ⊕ T (~y ).
2
Si ~x ∈ V y α ∈ R, entonces T (α · ~x ) = α T (~x ).
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27 / 50
Igual que en el caso de Rn , una transformación lineal toma combinaciones
lineales α1 · ~x1 + α2 · ~x2 + · · · +αk · ~xk de vectores en V y las lleva a
transformaciones lineales de vectores en W :
T (α1 ·~x1 +α2 ·~x2 +· · ·+αk ·~xk ) = α1 T (~x1 )⊕α2 T (~x2 )⊕· · ·⊕αk T (~xk ).
En particular, la imagen del cero ~0V ∈ V bajo la transformación lineal
debe ser el cero ~0W ∈ W :
T (~0V ) = ~0W .
De ahora en adelante, cuando no indiquemos explı́citamente la operación
en un espacio vectorial (de vectores columna, matrices, polinomios o
funciones) asumiremos que las operaciones son las usuales, i.e. las
definidas por componentes.
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28 / 50
Ejemplo
La aplicación T : R3 → M2 (R) definida por
 
x
x +y




y
T
=
−z
z
−y
y +z
,
es una transformación lineal.
La aplicación T : P2 [x] → R2 definida por
a0 + a1 + 1
T a0 + a1 x + a2 x 2 =
,
a0 − a2
no es una transformación lineal.
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La matriz asociada a una transformación
En el capı́tulo anterior vimos como podemos asociar a una transformación
lineal T : Rn → Rk una matriz k × n. Ahora, si tenemos una
transformación entre dos espacios vectoriales abstractos de dimensión
finita (dim V = n y dim W = k)
T :V →W
podemos hacer la misma operación con respecto a un par de bases fijas
BV y BW , para V y W respectivamente, de la forma siguiente:
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1
Tomamos la base BV = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn } de V y aplicamos la
transformación a cada uno de sus vectores, obteniendo
{T (~v1 ), T (~v2 ), . . . , T (~vn )} ⊂ W .
2
Escribimos cada vector en {T (~v1 ), T (~v2 ), . . . , T (~vn )} como vector de
coordenadas respecto a la base BW :
{[T (~v1 )]BW , [T (~v2 )]BW , . . . , [T (~vn )]BW } ⊂ Rk .
3
Usamos cada uno de estos vectores como vector columna de la matriz
de transformación (respecto a BV y BW ):


|
|
|
AT =  [T (~v1 )]BW [T (~v2 )]BW · · · [T (~vn )]BW  ,
|
|
|
obteniendo una matriz k × n.
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Teorema
Sea T : V → W una transformación lineal entre dos espacios vectoriales
abstractos de dimensión finita (dim V = n y dim W = k) y sean BV y BW
bases para V y W , respectivamente. Entonces, si AT es la matriz de
transformación (respecto a BV y BW ) y ~x ∈ V entonces
[T (~x )]BW = AT [~x ]BV .
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Ejemplo
Tomemos la transformación lineal T : P2 [x] → M2 (R) definida por
a0 + a1 a2
2
T a0 + a1 x + a2 x =
.
a0 − a1 a2
Entonces, si tomamos como base para P2 [x]
BP = −3, 1 + x, −1 + x + x 2
tal base se transforma como
−3 0
2 0
T (−3) =
, T (1 + x) =
,
−3 0
0 0
T −1 + x + x
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2
=
Álgebra Lineal
0 1
−2 1
.
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Ejemplo (continuación)
Si tomamos ahora como base para M2 (R) la base canónica Bo , en
términos de tal base:


 
−3
2
 0 
 0 


[T (1 + x)]Bo = 
[T (−3)]Bo = 
 −3  ,
 0 ,
0
0

[T −1 + x + x 2 ]Bo

0
 1 

=
 −2  .
1
Ası́, la matriz de la transformación respecto a BP y Bo es


−3 2 0
 0 0 1 

AT = 
 −3 0 −2  .
0 0 1
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Contenidos
1
Geometrı́a en Rn , matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2
Dimensión, rango y transformaciones lineales
3
Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4
Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
Espacios vectoriales sobre el campo complejo
5
Determinantes
6
Valores y vectores propios
7
Ortogonalidad
8
Cambio de base
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Números complejos
La ecuación
x2 + 1 = 0
no tiene solución en los números reales R. Es decir, no existe un número
real r tal que r 2 = −1. Sin embargo, hay conjuntos en los que la ecuación
anterior
si tiene
solución. Por ejemplo, si multiplicamos la matriz
0 −1
i=
por ella misma obtenemos
1 0
2
i =
0 −1
1 0
0 −1
1 0
=
−1 0
0 −1
= −I ,
luego la ecuación M 2 + I = O si tiene solución en M2 (R).
Vamos a definir un conjunto de números, llamados “complejos”, que es
(en algún sentido) el conjunto “más pequeño” en el que todas las
ecuaciones polinomiales tienen solución.
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El plano complejo
Definición
Un número complejo es una expresión de la forma
a+ib
donde a, b ∈ R y el sı́mbolo i denota una
√ solución a la ecuación
2
x + 1 = 0. Es costumbre escribir i = −1.
Denotaremos por C el conjunto de
números complejos y los representaremos
en um plano de la siguiente forma: Si
z = a + i b ∈ C, llamaremos a a la parte
real de z, Re(z), y a b su parte imaginaria,
Im(z). Poniendo Re(z) en el eje de las x e
Im(z) en el eje de las y podemos
representar a z como un vector en el plano.
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Operaciones con números complejos
El conjunto de números complejos es un campo algebraico, es decir que
sabemos no solamente sumar y restar números complejos, sino que
también tenemos una forma de multiplicarlos y dividirlos, con propiedades
similares a las de los números reales:
1
Suma: Sean z = a + ib, w = c + id ∈ C, entonces
z + w = (a + c) + i(b + d).
2
Multiplicación: Sean z = a + ib, w = c + id ∈ C, entonces
zw = (ac − bd) + i(cb + ad).
3
Conjugación: Si z = a + ib ∈ C, su conjugado es el número complejo
z̄ = a − ib.
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Graficamente podemos ver el efecto de las operaciones en el plano
complejo de la forma siguiente:
Suma (y resta)
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Conjugación
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Para entender gráficamente la multiplicación de números complejos vamos
a introducir una nueva representación de z ∈ C llamada representación
polar.
Definición
Dado z = a + ib ∈ C, la norma o magnitud de z es el tamaño del vector z
en el plano complejo:
p
| z |= a2 + b 2 .
El argumento de z es el ángulo
θ que hace el vector z con el
eje real en el plano complejo.
Si tomamos tal ángulo en el
intervalo −π ≤ θ ≤ π lo
llamamos argumento principal.
Ası́,
z = r (cosθ + i senθ).
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Ejemplo
√
Tomemos el número z = −1 + i 3 ∈ C, entonces su norma y su
argumento principal son
| z |=
√
1+3=2
y
Arg (z) = −
5π
.
6
√
Ahora observemos que z 2 = −2 − i2 3, luego | z 2 |= 4 y
π
Arg (z 2 ) = −2 5π
6 = 3 , luego el efecto de la multiplicación es el de rotar y
alargar el vector:
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Lo anterior resulta mucho más claro si escribimos z = r (cosθ + i senθ) y
observamos que
z n = r n (cos(nθ) + i sen(nθ)).
De forma similar, el efecto de la división puede representarse graficamente
de la siguiente forma:
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Espacios vectoriales sobre el campo complejo
Definición
Un Espacio Vectorial sobre C es una tripla (V , +, ·) donde V es un
conjunto, + una forma de sumar y · una forma de multiplicar elementos de
V por escalares complejos, satisfaciendo las siguientes condiciones:
1
Asociatividad:
~ = ~u + (~v + w
~)
(~u + ~v ) + w
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Espacios vectoriales sobre el campo complejo
Definición
Un Espacio Vectorial sobre C es una tripla (V , +, ·) donde V es un
conjunto, + una forma de sumar y · una forma de multiplicar elementos de
V por escalares complejos, satisfaciendo las siguientes condiciones:
1
Asociatividad:
~ = ~u + (~v + w
~)
(~u + ~v ) + w
2
Conmutatividad:
~u + ~v = ~v + ~u
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Espacios vectoriales sobre el campo complejo
Definición
Un Espacio Vectorial sobre C es una tripla (V , +, ·) donde V es un
conjunto, + una forma de sumar y · una forma de multiplicar elementos de
V por escalares complejos, satisfaciendo las siguientes condiciones:
1
Asociatividad:
~ = ~u + (~v + w
~)
(~u + ~v ) + w
2
Conmutatividad:
~u + ~v = ~v + ~u
3
Existencia de identidad aditiva:
~u + ~0 = ~u
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Espacios vectoriales sobre el campo complejo
Definición
Un Espacio Vectorial sobre C es una tripla (V , +, ·) donde V es un
conjunto, + una forma de sumar y · una forma de multiplicar elementos de
V por escalares complejos, satisfaciendo las siguientes condiciones:
1
Asociatividad:
~ = ~u + (~v + w
~)
(~u + ~v ) + w
2
Conmutatividad:
~u + ~v = ~v + ~u
3
Existencia de identidad aditiva:
~u + ~0 = ~u
4
Existencia de inverso aditivo:
~u + (−~u ) = ~0
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Definición (continuación)
~ son elementos de V y, si r , s escalares en C, tenemos
donde ~u , ~v y w
además
1
Distribitividad:
~ ) = r · ~v + r · w
~
r · (~v + w
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Definición (continuación)
~ son elementos de V y, si r , s escalares en C, tenemos
donde ~u , ~v y w
además
1
Distribitividad:
~ ) = r · ~v + r · w
~
r · (~v + w
2
Distributividad:
(r + s) · ~v = r · ~v + s · ~v
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Definición (continuación)
~ son elementos de V y, si r , s escalares en C, tenemos
donde ~u , ~v y w
además
1
Distribitividad:
~ ) = r · ~v + r · w
~
r · (~v + w
2
Distributividad:
(r + s) · ~v = r · ~v + s · ~v
3
Asociatividad:
r · (s · ~v ) = (rs) · ~v
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Definición (continuación)
~ son elementos de V y, si r , s escalares en C, tenemos
donde ~u , ~v y w
además
1
Distribitividad:
~ ) = r · ~v + r · w
~
r · (~v + w
2
Distributividad:
(r + s) · ~v = r · ~v + s · ~v
3
Asociatividad:
r · (s · ~v ) = (rs) · ~v
4
Existencia de unidad multiplicativa:
1 · ~v = ~v
Tenemos por ejemplo...
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Ejemplos
El Espacio Cn
El conjunto Cn = {~z = (z1 , . . . , zn ) | z1 , . . . , zn ∈ C} con la suma y el
~ = (w1 , . . . , wn ) en Cn
producto escalar definidos, para ~z = (z1 , . . . , zn ), w
y r ∈ C, según:
~z + w
~ = (z1 , . . . , zn ) + (w1 , . . . , wn ) = (z1 + w1 , . . . , zn + wn ),
y
r · ~z = (rz1 , . . . , rzn ),
forma un espacio vectorial.
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Ejemplos
Espacios de Matrices
El conjunto Mmn (C) de matrices m × n con entradas (o componentes)
reales con suma de matrices y multiplicación por escalares usuales es un
espacio vectorial sobre C.
Espacio de polinomios Pn [x]
Sea Pn [x] el conjunto de polinomios de grado menor o igual a n, en una
variable x, con coeficientes complejos. Es decir, un elemento p(x) ∈ Pn [x]
es un polinomio de la forma p(x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + an x n , con
a0 , . . . , an ∈ C. Si definimos la suma de polinomios y su producto por
escalares de la forma usual tenemos un espacio vectorial sobre C.
Todos los conceptos anteriormente definidos para espacios vectoriales
sobre R (subespacios, bases, etc.) se definen de forma idéntica para
espacios vectoriales sobre C.
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Contenidos
1
Geometrı́a en Rn , matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2
Dimensión, rango y transformaciones lineales
3
Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4
Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
Espacios vectoriales sobre el campo complejo
5
Determinantes
6
Valores y vectores propios
7
Ortogonalidad
8
Cambio de base
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Contenidos
1
Geometrı́a en Rn , matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2
Dimensión, rango y transformaciones lineales
3
Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4
Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
Espacios vectoriales sobre el campo complejo
5
Determinantes
6
Valores y vectores propios
7
Ortogonalidad
8
Cambio de base
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Contenidos
1
Geometrı́a en Rn , matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2
Dimensión, rango y transformaciones lineales
3
Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4
Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
Espacios vectoriales sobre el campo complejo
5
Determinantes
6
Valores y vectores propios
7
Ortogonalidad
8
Cambio de base
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Contenidos
1
Geometrı́a en Rn , matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2
Dimensión, rango y transformaciones lineales
3
Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4
Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
Espacios vectoriales sobre el campo complejo
5
Determinantes
6
Valores y vectores propios
7
Ortogonalidad
8
Cambio de base
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