Resumen El RAP se refiere básicamente al

Wilfredo Yushimito
Área de Mejora Continua
PIERIPLAST S.A.C., Perú
Noel Artiles León
Departamento de Ingeniería Industrial
Universidad de Puerto Rico - Mayagüez
Resumen
1
El RAP se refiere básicamente al proceso de añadir componentes redundantes para mejorar
la confiabilidad del sistema, satisfaciendo a la vez restricciones de costo, peso, volumen, etc.
Como se mostrará posteriormente, estos son problemas de programación no lineal, los cuáles
son muy difíciles de resolver. En la literatura existen muchas herramientas utilizadas para
resolver este tipo de problemas. La presente publicación muestra una manera simple de
obtener soluciones aceptables a este problema utilizando Excel SOLVER.
Problema de Asignación de Redundancia (RAP)
uponga que cuatro componentes en serie poseen las confiabilidades de 0.9, 0.9, 0.9 y
0.95 respectivamente. La confiabilidad total del sistema es, por tanto, 0.69252, la misma
que, en muchos casos, resultará insuficiente. Esto puede ser mejorado utilizando
componentes redundantes. En el caso antes descrito, por ejemplo, la confiabilidad se
3
puede incrementar hasta 0.9678 si un componente es añadido en paralelo a cada uno de los
componentes originales.
S
1
Aunque existen muchas variaciones del problema, RAP implica generalmente la selección de
componentes y de niveles de redundancia, con el objetivo de maximizar la confiabilidad del sistema.
2
En un sistema en serie, todos los componentes deben estar operativos para que el sistema pueda
funcionar correctamente. La confiabilidad total está dada, entonces, por la multiplicación de las
confiabilidades de sus componentes.
3
Un sistema con componentes en paralelo, es aquél en el que todos los componentes deben de fallar
para que el sistema falle. Por ejemplo, en un sistema con dos componentes en paralelo, la
confiabilidad total (R) estará dada por, R = 1 ( 1 R1 )*( 1 R2 ), donde R1 y R2 son las confiabilidades
de los componentes 1 y 2 respectivamente. En el ejemplo mencionado en la publicación se trata de un
sistema combinado, con subsistemas en serie, en el que cada uno de ellos tiene componentes en
paralelo. Véase la Figura 1.
Diciembre 2006
Solución Práctica al Problema de Asignación de Redundancia
6
El problema con esta solución es que el diseño
del sistema puede estar restringido por muchos
factores como costos, peso, volumen, etc.
Matemáticamente, el problema puede ser
expresado de la siguiente manera:
s
max R = Õ Ri ( y i | k i )
i =1
Asignación redundante se refiere al proceso
mediante el cual se identifica la adición óptima de
redundancia al sistema, sujeto a restricciones sobre
el diseño de la misma y es típicamente desarrollada a
través de formulaciones y resolución de problemas
de programación matemática.
Subject to :
s
åC (y ) £ C
i
i
i =1
s
åW ( y ) £ W
i
La mayoría de problemas de asignación
redundante son problemas de programación no
lineal, los cuales pueden ser muy difíciles de
resolver. En la literatura existen diversas técnicas
empleadas para resolver este tipo de problema.
Algunas técnicas desarrolladas para la resolución de
problemas se mencionan a continuación:
•
•
•
•
Programación Dinámica (Fyffe et al., 1968).
Programación Entera (Misra y Sharma, 1991).
Búsqueda Tabú (Kulturel-Konak et al., 2003).
Otros (Coit and Smith, 1996, Liang y Smith,
2004 y Rice et al., 1999).
Formulación del Problema
En esta publicación el problema de RAP a
estudiar se refiere al problema de series en paralelo
de s subsistemas independientes (véase la Figura 1).
Un subsistema i funciona si al menos ki de sus ni
componentes funcionan.
ai
k i £ å y ij £ n max
j =1
Donde:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
i: Índice del subsistema (1,…,s).
j: Índice del componente del subsistema.
ki: Número mínimo de componentes en
paralelo que el subsistema i requiere para su
funcionamiento.
n: Número total de componentes utilizados
en un sistema paralelo puro.
s: Número de subsistemas.
C: Restricción de costo.
W: Restricción de peso.
R: Confiabilidad total del sistema.
Ri ( y i | k i ) : Confiabilidad del subsistema i,
dado ki.
Ci ( yi )
: Costo total del subsistema i.
Wi ( y i )
: Peso total del subsistema i.
Figura 1 - Configuración del RAP
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i
i =1
Solución Práctica al Problema de Asignación de Redundancia
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Aplicación
El problema a tratar es el propuesto por Fyffe et
al. (1968). Este problema consiste en 33 casos
diferentes de RAP, cada uno de ellos con 14
subsistemas y con una cantidad de tres o cuatro
componentes por subsistema; cada componente
posee un costo, un peso y una confiabilidad asociada
(véase la tabla 1).
La variación en estos problemas es el Peso Total
del sistema a ser obtenido. Los 33 casos tienen la
misma restricción de Costo Total (130), pero los
Pesos Totales a obtener varían entre 191 y 159.
Resolviendo RAP con Excel SOLVER
Una manera sencilla de resolver este problema
es utilizando la herramienta SOLVER de Excel. El
procedimiento es el siguiente:
a) Primero, crear una tabla que contenga la
información de cada componente. Adicionalmente
se debe insertar una columna con el número de cada
componente a utilizar en cada subsistema (véase la
Figura 2).
Tabla 1 - Datos de entrada de los casos del problema de Fyffe et al.
A
B
1
2 Subsystem Component
1
1
3
1
2
4
1
3
5
1
4
6
2
1
7
2
2
8
2
3
9
3
1
10
3
2
11
3
3
12
3
4
13
4
1
14
4
2
15
4
3
16
5
1
17
5
2
18
5
3
19
6
1
20
6
2
21
6
3
22
6
4
23
7
1
24
7
2
25
7
3
26
8
1
27
8
2
28
8
3
29
9
1
30
9
2
31
9
3
32
9
4
33
10
1
34
C
R
0.9
0.93
0.91
0.95
0.95
0.94
0.93
0.85
0.9
0.87
0.92
0.83
0.87
0.85
0.94
0.93
0.95
0.99
0.98
0.97
0.96
0.91
0.92
0.94
0.81
0.9
0.91
0.97
0.99
0.96
0.91
0.83
D
E
C
1
1
2
2
2
1
1
2
3
1
4
3
4
5
2
2
3
3
3
2
0.1
4
4
5
3
5
3
2
3
4
3
4
G
W
3
4
2
5
8
10
9
7
5
6
4
5
6
4
4
3
5
5
4
5
4
7
8
9
4
7
6
8
9
7
8
6
I
O
P
Q
R
S
T
U
n
Figura 2 - Tabla de Datos
Diciembre 2006
Solución Práctica al Problema de Asignación de Redundancia
8
b) Segundo, crear una tabla que contenga la
información a ser calculada para cada subsistema:
·
Peso: Cada celda contiene el peso de un
subsistema. Para el subsistema i, el peso
puede ser calculado por la fórmula ,
representando j el número de
componente para cada
subsistema i.
·
Costo: Cada celda contiene el costo de un
subsistema. Para el subsistema i, el peso
puede ser calculado por ,
donde j representa el número
del componente de cada
subsistema i.
·
Confiabilidad: Cada celda contiene la
confiabilidad de un subsistema. Para cada
subsistema i, el peso puede ser calculado por,
k
con j como el número de
n
1(1 - Rij ) ij componente para cada
j =1
subsistema i.
Õ
El Peso Total y el Costo Total del sistema es la
suma de los pesos y costos de todos los subsistemas.
Considerando que el modelo es un sistema de series
en paralelo, la confiabilidad total se calcula por .
14
Véase la Figura 3 para ver el modelo en
Ri Excel.
Õ
i =1
Adicionalmente, se añade una columna en la
hoja de cálculo de Excel: “Sum” (Suma), en la que las
celdas contienen la suma de los componentes
utilizados de cada subsistema. Esta celda es
necesaria para forzar que al menos un componente
sea utilizado en cada subsistema. También se
añadirá otra columna para cada subsistema que
facilite el cálculo de la Confiabilidad de cada
subsistema (véase la Figura 3, columna H). Esta
celda contiene la confiabilidad, considerando el
número de componentes utilizados.
Las fórmulas utilizadas en Excel para cada una
de las celdas se muestran a continuación (véase la
Figura 3):
Figura 3 - Fórmulas utilizadas en Excel
Diciembre 2006
Solución Práctica al Problema de Asignación de Redundancia
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c) Finalmente, se añaden las restricciones de Peso
Total y de Costo Total y se utiliza SOLVER para
obtener una solución óptima (véase la Figura 4).
en 130 y los Pesos Totales a obtener variaron entre
191 y 159. Para el ejemplo mostrado, el Peso Total se
fijó en 190.
El objetivo es encontrar la Confiabilidad Total
máxima (en la Figura 4 esto se representa por la
celda M17), cambiando los valores de la columna
G (n), sujeto a las siguientes restricciones:
La tabla 2 muestra los resultados obtenidos
utilizando la solución No Lineal que ofrece Excel
SOLVER. En algunos casos, la confiabilidad
obtenida para una restricción específica de Peso es
menor que la obtenida con un menor valor del Peso,
lo que significa que existen soluciones dominadas
por otras. Por ejemplo, la solución del Problema 4 es
dominada por la solución del Problema 5.
·
La columna G debe contener valores enteros.
·
La columna G debe contener también
valores positivos o iguales a cero (= 0).
·
El Peso Total del sistema debe ser menor o
igual a la restricción de Peso.
·
El Costo Total del sistema debe ser menor o
igual a la restricción de Costo.
·
Finalmente, la última restricción fuerza que
al menos un componente sea utilizado en
cada subsistema, lo que significa que, para
cada subsistema, los valores de la columna
N deben de ser mayores o iguales a 1.
Para aplicar Excel SOLVER a los 33 casos de
Fyffe et al. (1968), la restricción de Costo Total se fijó
Comparando los resultados
La tabla 3 muestra la comparación entre dos
métodos utilizados para el problema de Fyffe et al.
La solución de SOLVER para los primeros dos casos
alcanzan mejores resultados que el promedio de
soluciones encontradas por el algoritmo genético de
Coit & Smith.
Para el resto de los problemas, la solución de
SOLVER no es mejor que con el obtenido por otras
técnicas, pero los resultados se encuentran entre el
0.30% y 2.15% menor que los obtenidos por
algoritmos genéticos.
Figura 4 - Encontrando la Solución Optima utilizando Solver
Diciembre 2006
Solución Práctica al Problema de Asignación de Redundancia
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Conclusiones
Se prueba que la herramienta Excel SOLVER
obtiene buenos resultados para problemas
complejos de RAP como los propuestos por Fyffe. Al
comparar los resultados que se obtuvieron con
algoritmos genéticos se observa que se obtiene una
solución aceptable.
Además, la simplicidad de Excel es un punto a
favor en la resolución de este tipo de problemas,
principalmente porque no se requiere de
habilidades de programación para encontrar una
solución aceptable.
4
Tabla 2 - Resultados de Solver
4
Se puede observar para cada caso, y para cada uno de los 14 subsistemas que lo componen, los componentes utilizados y
el nivel de redundancia de cada uno de ellos.
Diciembre 2006
Solución Práctica al Problema de Asignación de Redundancia
Comentarios Finales
Para fines de esta publicación se utilizó el
estándar Excel SOLVER. El estándar SOLVER
utiliza el Método de Gradiente Reducido
5
Generalizado , el cual, desde un punto de
visto teórico, se desempeña mayormente
como el Método de Proyección Gradiente. Así
como el Método de Proyección Gradiente, se
puede comparar este método con el Método
de Pendiente Pronunciada en una superficie
definida por restricciones activas. El
proveedor de SOLVER, Frontline Systems, ha
desarrollado otras versiones de esta
herramienta que utilizan también algoritmos
genéticos y otras técnicas más sofisticadas que
pueden llevar a mejores soluciones.
5
Básicamente, al igual que otros algoritmos de
programación no lineal, parte de una solución
factible conocida como punto inicial. El algoritmo
intenta entonces moverse, a partir de este punto, en
una dirección a través de la región factible, de tal
forma que el valor de la función objetivo mejore.
Tomando un salto o movimiento determinado en
dicha dirección factible, se pasa a una nueva
solución factible mejorada. De nuevo, el algoritmo
identifica una nueva dirección factible, si existe, y
un salto determinado, avanzando hacia una nueva
solución factible mejorada. El proceso continúa
hasta que el algoritmo alcanza un punto en el cual
no existe una dirección factible para moverse que
mejore el valor de la función objetivo. Cuando no
hay posibilidad de mejora, o el potencial para tal
mejora es arbitrariamente pequeño, el
algoritmo finaliza. Ahora bien, en ese momento la
solución es un óptimo local, y por tanto no
necesariamente global.
11
Problema
C
W
C&SAlgoritmos
Genéticos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
130
191
190
189
188
187
186
185
184
183
182
181
180
179
178
177
176
175
174
173
172
171
170
169
168
167
166
165
164
163
162
161
160
159
0.9862
0.9855
0.9850
0.9848
0.9841
0.9833
0.9826
0.9819
0.9814
0.9806
0.9801
0.9793
0.9780
0.978
0.9771
0.976
0.9753
0.9732
0.9732
0.9725
0.9712
0.9705
0.9689
0.9674
0.9661
0.9647
0.9632
0.962
0.9602
0.9587
0.9572
0.9556
0.9538
SOLVER
0.9864
0.9858
0.9841
0.9823
0.9823
0.9813
0.9795
0.9795
0.9607
0.9607
0.9607
0.9607
0.9607
0.9607
0.9607
0.9607
0.9607
0.9607
0.9553
0.9524
0.9524
0.9524
0.9524
0.9524
0.9524
0.9524
0.9524
0.9492
0.9492
0.9492
0.9469
0.9469
0.9456
Tabla 3 - Comparación entre las soluciones obtenidos por
Algoritmos Genéticos y SOLVER.
Bibliografía
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IEEE Trans. Rel., vol. 45 (2), pp.254-260, 1996.
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Kulturel-Konak, S., and Smith, A. E., “Efficiently Solving the Redundancy Allocation Problem Using Tabu
Search”. IEEE Trans. Rel., vol. 35, pp.515-526, 2003.
Liang, Y. C., and Smith, A. E., “An Ant Colony Optimization Algorithm for the Redundancy Allocation
Problem (RAP)”. IEEE Trans. Rel., vol. 53 (3), pp. 417-423, 2004.
Rice, W. F, Cassady, C. F., and Wise, T. R., "Simplifying the Solution of Redundancy Allocation Problems”.
Proceedings of the Annual Reliability & Maintainability Symposium, pp. 190-194, 1999.
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