METODOS DE FACTORIZACIÓN

METODOS DE FACTORIZACIÓN
Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la
expresión propuesta.
La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el
propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la
factorización, se buscan los factores de un producto dado.
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados
entre sí dan como producto la primera expresión.
Factorización
Multiplicación
Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores.
Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos, escribiremos
. En el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide que lo
factoricemos; entonces tendremos
Al factorizar el número 20, tendremos
o
.
Advierte que
y
no están factorizados por completo. Contienen
factores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, etc.
Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que en la primera
factorización
factorización
, de modo que
mientras que la segunda
, de modo que
factorización completa para 20 es
, en cualquier caso la
.
De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir factorizarlo por
completo. Además se supone que los factores numéricos son números primos. De esta manera
no factorizamos 20 como
.
Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas expresiones
algebraicas.
FACTOR COMÚN.
¿Cuándo lo utilizo?
-El factor debe estar en todos los términos que compone el polinomio.
-En las variables, sacar la base con el menor exponente.
-En los números, sacar el mayor factor entre ellos.
-Se multiplica el factor común por el polinomio.
Factorice el siguiente polinomio:
12x3y4 - 36x2y5 – 54x4y6
Mayor Factor Común: 6x2y
Factorización: 6x2y4
(2x – 6y – 9y2x2)
Ejemplos:
Usan
que:
la
propiedad
distributiva.
Cuando
multiplicamos,
. Cuando factorizamos
tenemos
.
Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a todos
los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada es
seleccionar el máximo factor común,
. Aquí tenemos como hacerlo:
Máximo factor común (MFC).- El término
, es el MFC de un polinomio sí:
1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y
2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.
De este modo para factorizar
, podríamos
escribir
Pero no está factorizado por completo por que
puede factorizarse aún más.
Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en todos los
términos es
donde
. De esta manera la factorización completa es
es el MFC.
Entonces para sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la
multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:
Pues bien, si nos piden factorizar la expresión
, basta aplicar
la propiedad distributiva y decir que
Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay
coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos
coeficientes. Por ejemplo, si nos piden factorizar la expresión
, será
Donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18
Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la
multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la
igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda.
Otro ejemplo: Factorizar
¡Atención a
cuando sacamos un sumando completo!, dentro del paréntesis hay que poner un
uno. Tener en cuenta que si hubiéramos
puesto
y quiero comprobar si está
bien, multiplico y me da pero no como me tendría que haber dado. Sin embargo
si efectúo
Otros ejemplos:
EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar
DIFERENCIA DE CUADRADOS
Es igual a suma por diferencia.
Se basa en la siguiente fórmula.
¿Cuándo lo utilizo?
-Cuando haya un binomio.
-Cuando los dos términos son cuadrados perfectos.
-En medio de los dos términos hay una resta.
¿Cómo se factoriza?
-Sacar la raíz cuadrada de cada término.
-Formar dos binomios, uno suma y otro resta de las raíces cuadradas,
multiplicándose entre sí.
EJEMPLO
16r2 – 49
Raíces cuadradas: 4r y 7
Factorización: (4r - 7)(4r + 7)
Ejemplos de factorización por este método:
Aquí tenemos un producto notable
podemos utilizar esta
relación para factorizar una diferencia de cuadrados.
EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es un trinomio; tales
trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.
Se basa en las siguientes fórmulas
y
¿Cuándo lo utilizo?
-Cuando hay un trinomio.
-Cuando el primer y último término son cuadrados perfectos y positivos.
-El segundo término es el doble del producto de las raíces cuadradas de los
términos cuadrados perfectos.
¿Cómo se factoriza?
-Se saca la raíz cuadrada de cada término cuadrado perfecto.
-Se forma una resta de las dos raíces cuadradas elevada al cuadrado, si el
segundo término del trinomio es negativo.
- Se forma una suma de las dos raíces cuadradas elevada al cuadrado, si el
segundo término del trinomio es positivo.
EJEMPLO
x2 + 6x + 9
Raíces cuadradas del primer y último término:
xy3
Factorización: (x
Los trinomios
de un binomio.
+ 3)2
, son trinomios cuadrados porque son cuadrados
Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado.
A. Dos de los términos deben de ser cuadrados
y
B. No debe haber signo de menos en
o en
C. Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término 2AB o
su inverso aditivo -2AB.
¿Es
un trinomio cuadrado? La respuesta es no porqué solo hay un término
2
al cuadrado (x ) y (11) no es cuadrado de algún número.
Para factorizar trinomios cuadrados podemos utilizar las siguientes relaciones:
Hay que recordar que se deben de sacar primero los factores comunes, si es posible.
Así si nos dicen que factoricemos:
Ejemplos de factorización por este método:
CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
Características
 Debe tener cuatro términos.
 Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos.
 Que el segundo término sea aproximadamente el triplo del cuadrado de la
raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último
término.
 Que el tercer término sea más que el triplo de la raíz cúbica del último.
Pasos para desarrollar un ejercicio de cubo perfecto de binomios

Organizar los monomios de mayor a menor exponente.

Sacar la raíz cúbica al primer y cuarto término.

Multiplicar la raíz del primero elevada al cuadrado por la raíz del cuarto y esto
por tres.

Verificar que dé igual al segundo término de la expresión.

Multiplicar la raíz del cuarto elevada al cuadrado por la raíz del primero y esto
por tres.

Verificar que dé igual al tercer término de la expresión.

Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de las raíces del primer y
cuarto términos (de acuerdo al signo del segundo monomio), y todo elevado a
la tres.

Verificar que la expresión obtenida da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO
125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512y15
125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512 y15
= (5 x 4 + 8 y5)3
Raíces cúbicas:
5 x 4 = 125x 12
8 y 5 = 512 y15
3. (5 x4)2. (8 y5) = 600 x8 y5
3. (5 x4). (8 y5)2 = 960 x4 y10
Ejemplo
(2 – 3x)3 = 23 – 3.22.x + 3.2x2 – x3
= 8 – 12x +6x2 – x3
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS.
Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación, las
siguientes fórmulas de factorización para la suma y la diferencia de dos cubos.
Características

Son dos términos, separados por el signo (+) cuando sea suma, y por el
signo (-) cuando sea una diferencia.

Los coeficientes deberán tener raíz cúbica exacta.

Los exponentes deberán ser divisibles entre 3.

El procedimiento que se sigue para su factorización es: “Se abren dos
paréntesis, el primero es para un binomio formado por las raíces cúbicas de
los términos dados, separados por el mismo signo; el segundo paréntesis es
para un trinomio que se forma con el cuadrado del primer término del
binomio, menos ó más el primero por el segundo términos del binomio
(dependiendo si es suma o resta), y por último, más el cuadrado del segundo
término”.
EJEMPLO
a3 - 8
SOLUCIÓN:
a3 - 8 = (a - 2) . ( a2 + 2 a + 4 )
raíces cúbicas: a y 2


Diferencia de cubos

¿Cuándo lo utilizo?
-Cuando hay un binomio.
-Cuando los dos términos son cubos perfectos.
-En medio de los dos términos hay una resta.

¿Cómo se factoriza?
-Sacar la raíz cúbica de cada término, estos van a formar un binomio con
resta, que van a multiplicar un trinomio conformado por el cuadrado de la
primera raíz, más el producto entre las dos raíces, más la última raíz al
cuadrado.


EJEMPLO
x3 – 27
Raíces cúbicas: x y 3
Factorización: (x – 3)(x2
+ 3x + 9)
EJEMPLO:
Factorizar
, observemos primero que se puede escribir en otra
forma:
Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la fórmula de
factorización y usamos los siguientes valores A=y, y B=3, obtenemos:
EJEMPLO:
Factorizar
Suma de cubos
¿Cuándo lo utilizo?
-Cuando hay un binomio.
-Cuando los dos términos son cubos perfectos.
-En medio de los dos términos hay una suma.
¿Cómo se factoriza?
-Sacar la raíz cúbica de cada término, estos van a formar un binomio con suma,
que van a multiplicar un trinomio conformado por el cuadrado de la primera raíz,
menos el producto entre las dos raíces, más la última raíz al cuadrado.
EJEMPLO
x6 + 125
Raíces cúbicas: x2 y 5
Factorización:
(x2 + 5)(x4 - 5x2 + 25)
EJEMPLO:
Factorizar
SUMA ODIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES
Características
 Es divisible por a-b siendo n un número par o impar
 Es divisible por a+b siendo n un número impar
 Es divisible por a+b siendo n un número par
 Nunca es divisible por a-b
Pasos para desarrollar un ejercicio de suma o diferencia de dos potencias
iguales
 Clasificar la expresión en positiva o negativa, y en par o impar (si son
positivas y pares no se pueden realizar por este método).
 Se sacan las raíces de cada término.
 Se coloca el primer factor el cual es un binomio cuyo primer término es la raíz
del primer término dado y el segundo término es la raíz del segundo término
dado.
 El signo del primer factor (binomio) será el mismo que tiene la expresión
dada.
 Se crea el segundo factor (un factor polinomio) en el cual existirá un número
de términos igual al exponente de la expresión dada (los siguientes pasos
son solo para el segundo factor).
 En cada término se multiplicara el término de la izquierda por el término de la
derecha de la expresión dada
 En el primer término del factor polinomio el factor de la izquierda tendrá un
exponente igual a “n
– 1”, y el factor derecho tendrá un exponente de cero.
 Para los exponentes de los siguientes términos, en el caso del factor de la
izquierda irán disminuyendo en una unidad, y los del término de la derecha
irán aumentando también en una unidad (si se suman los exponentes de los
dos términos siempre será igual a n-1).
 Si el binomio es negativo todos los términos del polinomio son positivos, si el
binomio es positivo impar los signos del polinomio se alternarán
(+ ó –)
comenzando por el “+”.
 Cuando en el polinomio, el exponente del término de la derecha sea igual a
n-1 damos por terminada la respuesta.
EJEMPLO
x4 + z4
=x+z
= x3 – x2z + xz2 – z3
= (x + z)(x3 –x2z + xz2 –z3)
Ejemplo:
m6 + n6
=m+n
= m5 - m4n + m3n2 – m2n3 + mn4 – n5 m6 + n6
= (m + n) (m5 - m4n + m3n2 – m2n3 + mn4 – n5)
Ejemplo:
b3 + c3
=b+c
= b2 – bc + c2b3 + c3
= (b + c) (b2 – bc + c2)
POR AGRUPACIÓN.
Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con cuatro
términos. Consideremos
Sin embargo podemos factorizar a
. No hay ningún factor diferente de 1.
y
por separado:
Por lo tanto
. Podemos utilizar la propiedad
distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1
Este método se llama factorización por grupos (o por agrupación). No todas las expresiones
con cuatro términos se pueden factorizar con este método.
EJEMPLO:
EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar
TRINOMIO CUADRADOPERFECTO POR ADICIÓN
YSUSTRACCIÓN
Características:
 Tienen tres términos (ordenarlo en forma descendente)
 El primer término debe estar elevado a una potencia múltiplo de 4 y el
número debe tener raíz cuadrada exacta.
 El tercer término el número debe tener raíz cuadrada exacta y si tiene letra
debe estar elevada a un múltiplo de 4.
 Debe tener raíz cuadrada exacta el primer y tercer término pero al multiplicar
el primer término con el tercero y por dos no da el tercer término.
Pasos para desarrollar un ejercicio de trinomio cuadrado perfecto por
adición y sustracción
x4 + 3x2 +4
Raíz cuadrada de x4 es x2
Raíz cuadrada de 4 es 2
Doble producto de la primera raíz por la segunda: 2(x2)
El trinomio x4
(2) = 4x2
+ 3x2 + 4 no es trinomio cuadrado perfecto, entonces:
x4 + 3x2 + 4= x4 + 3x2 + 4 + x2 - x2
Se suma y se resta x2=(x4
= (x2
+ 4x2 + 4) - x2 Se asocia convenientemente
+ 2)2 - x2
Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto
= [(x2 + 2) - x] [(x2 + 2) - x]
Se factoriza la diferencia de cuadrados
=(x2 + 2 + x) (x2 + 2 - x)
Se eliminan signos de agrupación
=(x2 + x+ 2) (x2 - x + 2)
Se ordenan los términos de cada factor.
Entonces:
x4 + 3x2 + 4 = (x2 - x+ 2) (x2 - x + 2)
EJEMPLO
x⁴ + x²y² + y⁴ =...Sumando y restando x²y² para completar el TCP x⁴ +
x²y² + x²y² + y⁴ - x²y² = x⁴ + 2x²y² + y⁴ - x²y² = .... factorizando
como TCP: (x²
+ y²)² - x²y² = ....factorizando como diferencia de cuadrados:
[(x² + y²) - xy] [(x² + y²) - xy] = (x² + y² - xy) (x² + y² + xy)
TRINOMIOS CON TÉRMINO DE SEGUNDO GRADO
, siendo a, b y c números
O sea un polinomio de este tipo
Se iguala el trinomio a cero, se resuelve la ecuación
tiene dos soluciones distintas,
y
, y si
se aplica la siguiente fórmula:
Veamos un ejemplo: Factorizar el polinomio
Igualamos a cero
Resolvemos la ecuación
soluciones
teniendo en cuenta que a=2
, y separando las dos
,
, y aplicando la fórmula,
TRINOMIOS DE LA FORMA x2+bx+c
¿Cuándo lo utilizo?
-Es un trinomio.
-El coeficiente de la variable cuadrática es uno.
-Un término (variable) es cuadrado perfecto.
-La raíz cuadrada de la variable está en el término del medio.
-Los signos del segundo y último término no importan.
¿Cómo se factoriza?
-Se forman dos binomios multiplicándose entre sí. El primer término de cada
binomio es la raíz cuadrada de la variable.
-Se buscan dos números que multiplicados den el término c y sumandos den el
término b, y éstos números son el segundo término de cada binomio.
Características
 Tienen tres términos

No tiene numero delante del x2
Pasos para desarrollar un ejercicios de trinomio de la forma x2 + bx + c
 Ordeno el trinomio en forma descendente.
 Abro dos paréntesis
 Saco raíz cuadrada del primer término y lo coloco en cada uno de los
paréntesis
 Copio el primer signo del ejercicio en el primer paréntesis
 Multiplico el primer signo por el segundo del ejercicio y lo coloco en el segundo
paréntesis
 Opero +.
-=-
 Observo cuidadosamente la respuesta que tengo en los paréntesis y analizo
los signos
EJEMPLO
Factorice el siguiente polinomio:
x2 + 16x – 36
Dos números que multiplicados den -36 y sumados 16: 18 y -2
Factorización: (x
+ 18)(x – 2)
EJEMPLO
x2+5x+6=0
La factorización queda como: (x+3)
(x+2)=0 ya que 3x2 = 6 y 3+2=5
x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)
a4 - 7a2 - 30 = (a2 - 10)(a2 + 3)
m2 + abcm - 56a2b2c2 = (m + 8abc) (m - 7abc)
TRINOMIOS DE LA FORMA AX2+BX+C
¿Cuándo lo utilizo?
-Es un trinomio.
-El coeficiente de la variable cuadrática es mayor a uno.
-Un término (variable) es cuadrado perfecto.
-La raíz cuadrada de la variable está en el término del medio.
-Los signos del segundo y último término no importan.
¿Cómo se factoriza?
-Se multiplican el primer y último término.
-Luego, se buscan dos números que multiplicados den ese producto pero que
sumados den b.
-Con esos dos números se descompone el segundo término como la suma de
otros dos términos, formando un polinomio de cuatro términos.
-Se agrupan los dos primeros términos y los dos últimos términos. Se saca un
factor común de cada binomio y luego se saca el binomio factor común,
quedando el producto de dos binomios.
Características
 El coeficiente del primer término es diferente de 1.
 La variable del segundo término es la misma que la del primer término pero
con exponente a la mitad.
 El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y
segundo términos del trinomio.
Pasos para desarrollar un ejercicio de trinomio de la forma ax2 + bx + c
 Se multiplica y se divide el trinomio por el coeficiente del primer término.
 Se resuelve el producto del primero y tercer término dejando indicado del
segundo término.
 Se factoriza como en el caso del trinomio de la forma
x2 + bx + c, o sea,
se buscan dos números que multiplicados de 60 y sumados 23. (Se suman
por que los signos de los dos factores son iguales)
 Se factorizan los dos binomios resultantes sacándoles factor común
monomio, se descompone el 15 y por último dividir
EJEMPLO
Factorice el siguiente polinomio:
2x2 – 7x – 15
Multiplicación del primer y último término: -30x2
Dos números que multiplicados den -30x2 y sumados -7x
: -10x y 3x
Escribir nuevamente el polinomio descomponiendo el término de la mitad:
2x2 – 7x – 15
2x2 – 10x + 3x – 15
Agrupar los dos primeros términos y los dos últimos términos:
(2x2 – 10x) + (3x – 15)
Sacar el factor común de cada binomio:
2x(x – 5)+3(x – 5)
Sacar el binomio factor común:
(x – 5) (2x + 3)
EJEMPLO
15x4 - 23x2 + 4
=15(15x4 - 23x2 + 4) /15
=((15x2)2 - 23(15x) + 60 )/15
=(15x2 - 20)(15x2 - 3) /15
=5(3x2- 4) 3(5x2 - 1) / 5.3
15x4 - 23x2 + 4 = (3x2 - 4) (5x2 - 1)
REGLA DE RUFFINI
Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de ruffini es
decir que un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que
al sustituirlos en el polinomio nos da cero.
Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto
grado tiene cuatro raíces enteras
,
y
se factoriza así:
Pero ¿cómo se obtienen las raíces?, por la regla de Ruffini
Ejemplo:
Factorizar
Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente,
en este caso de 12. O sea que se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y –
12
Probemos con uno
Se copian los coeficientes del polinomio:
1
-4
-1
16
-12
Y se escribe en una segunda línea el número uno
1
-4
-1
16
-12
16
-12
1
El primer coeficiente se copia abajo en una tercera línea
1
-4
-1
1
1
Se multiplica ese coeficiente, uno (1), por el número que estamos probando, en
este caso también uno (1), o sea uno por uno = uno (1). Este uno se escribe
debajo del siguiente coeficiente, o sea del –4
1
1
-4
1
-1
16
-12
-4
1
-3
-1
16
-12
1
Se suma –4+1=-3
1
1
1
Se multiplica –3 por 1=-3 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, -1
1
1
1
-4
1
-3
-1
-3
16
-12
-1
-3
-4
16
-4
12
-12
12
0
Se suma –3-1=-4 y así sucesivamente
1
1
1
-4
1
-3
Como vemos la última suma ha dado cero. Eso quiere decir que uno es una raíz
del polinomio y que nos sirve para factorizar.
Si hubiera dado distinto de cero habría que seguir probando los demás divisores
de 12.
Los coeficientes que han quedado en la última fila, en realidad son los
coeficientes del cociente de dividir el polinomio entre x-1, y la última suma es el
resto de dicha división.
Si escribimos la relación fundamental de una división entera, o sea que
Dividendo=Divisor x Cociente+Resto
De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer
grado hay que intentar seguir factorizando, de nuevo por la regla de Ruffini.
Aplicando sucesivas veces esta regla queda:
1
1
1
2
1
-2
1
-4
1
-3
2
-1
-2
-3
-1
-3
-4
-2
-6
6
0
16
-4
12
-12
0
-12
12
0
Como las raíces son, 1, 2 y –2 y el último cociente es x-3
La factorización final es: (x= 1) (x= 2) (x= - 2) (x= 3)
Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningún resto cero, quiere decir que
el polinomio no se puede factorizar dentro de los números reales.
FACTORIZAR LOS SIGUIENTES POLINOMIOS
Podemos aplicar el primer método, o sea sacar factor común
El segundo factor, o sea el paréntesis, es un trinomio de segundo grado y cuadrado perfecto.
Se puede factorizar por el tercero, cuarto o quinto método. Apliquemos el tercero y queda:
=
Factorizar:
Primero sacamos factor común:
Al paréntesis le podemos aplicar el segundo método y
queda:
=
Y aún más, al segundo paréntesis le podemos volver a aplicar el segundo método:
Factorizar
El polinomio de segundo grado que queda en el tercer paréntesis no se puede factorizar. Si
probamos el cuarto método, igualando a cero y resolviendo la ecuación
queda
Finalmente tendremos:
Factorizar:
Sólo podemos aplicar el quinto método, o sea Ruffini:
1
1
1
5
1
Tendremos: (x=1)
-12
1
-11
5
-6
(x=5) (x=6)
41
-11
30
-30
0
-30
30
0