Movimientos rígidos - Departamento de Matemática Educativa

Movimientos rígidos
Gonzalo Zubieta Badillo
Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav
Resumen: Los movimientos rígidos son una parte de las transformaciones del plano en si
mismo, su estudio tiene varios propósitos, uno de ellos es encontrar los invariantes para cada uno de estos
movimientos, otro es utilizar los invariantes anteriores, ya validados, para justificar propiedades de una
figura, también pueden utilizarse para verificar la congruencia entre elementos de dos figuras dadas en el
plano y finalmente, hallar las ecuaciones que representan a dichos movimientos en casos especiales.
Presentaremos estos movimientos, utilizando un paquete de geometría dinámica, con la intención de
conjeturar invariantes, propiedades, etc. Debido al dinamismo del paquete, también se pretende obtener
las definiciones correspondientes a dichos movimientos.
Antes de entrar en el tema conviene aclarar que el paquete que utilizaremos de
geometría dinámica es Cabri Géomètre; cada vez que hagamos referencia a los
comandos de dicho paquete, los subrayaremos para indicar que estamos en el contexto
de una geometría experimental, en la pantalla de la computadora. Iniciaremos nuestro
estudio utilizando los comandos simetría axial, traslación y rotación para ver lo que le
ocurre a un punto P elegido en la pantalla con el comando punto y después utilizar uno
de los comandos mencionados para obtener su imagen P´, y al pasear el punto P por el
plano, con el comando puntero observar como se mueve P´
En cada uno de los tres cuadros anteriores, el punto P debe moverse al usar el comando
puntero y el usuario debe observar cómo se mueve P´, de lo cual podría obtenerse la
definición correspondiente de la simetría axial, la traslación y la rotación,
respectivamente. A su vez el eje de simetría puede moverse, con el comando puntero y
en ese caso observar lo que le ocurre a P y P´ en el cuadro a la izquierda; mover el
vector que indica la traslación, con el comando puntero, para ver lo que le ocurre a P y
P´ en el caso del cuadro de en medio; finalmente en el cuadro a la derecha, mover el
centro de rotación con el comando puntero o cambiar el número de grados al usar el
comando edición numérica, para ver lo que le ocurre a P y P´. Lo realizado con un
punto dado P podría hacerse con una figura dada, que proponga el usuario, en este caso,
cada punto M de la figura dada tiene una imagen M´ en la figura transformada, que
corresponde al movimiento considerado.
Ahora, al revés: si damos dos puntos P y Q, sabiendo que Q es el transformado de P
por un eje de simetría, trazar el eje de simetría que cumpla con lo solicitado; o si Q es el
transformado de P por una traslación, trazar el vector de traslación que lleve a P en Q; o
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si Q es el transformado de P por una rotación, localizar el centro de rotación y el ángulo
de rotación que cumple con lo pedido; los elementos encontrados –eje de simetría,
vector de traslación, centro y ángulo de rotación- ¿son únicos o existen varios?
•
Invariantes de los movimientos mencionados
Consideremos el movimiento simetría axial, del cual sabemos que un punto P lo
transforma en otro punto P´, estando ambos puntos a uno y otro lado del eje de
simetría, si P no se elige sobre dicho eje. Ahora, consideremos a todos los
puntos de una recta o en otras palabras, a la figura llamada línea recta, ¿qué
ocurrirá con los puntos transformados o en qué se transforma la línea recta?
Veamos las “instantáneas” de las figuras siguientes:
En la instantánea de la izquierda, P es cualquier punto de la recta y al desplazarlo sobre
ella, con el puntero, P´ se mueve siguiendo cierta trayectoria; en la instantánea de la
derecha se tiene a la línea recta r, como un solo objeto y la transformada de ella por la
simetría axial, esto es, r´; al mover r con el puntero, ¿qué le sucede a r´? será r´ una
recta, ¿por qué?
• Pasemos ahora al movimiento de traslación, ¿en qué se transforma un
segmento?
En la instantánea de la izquierda P es cualquier punto del segmento y al desplazarlo con
el puntero sobre dicho segmento, P´ describe cierta trayectoria; en la instantánea a la
derecha, el segmento AB es un solo objeto y el transformado por la traslación indicada
es A´B´; con el puntero mueve el segmento AB o el vector de traslación, ¿qué le sucede
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a A´B´? será A´B´ un segmento, ¿por qué? AB y A´B´ ¿son paralelos? Si este fuera el
caso, ¿tienen la misma longitud?
• Veamos lo que ocurre si el movimiento es una rotación, para la situación que
ilustramos a continuación
En la instantánea de la izquierda dos rectas perpendiculares que se van a rotar, respecto
al centro de rotación señalado y un ángulo indicado por su medida en grados; además,
un punto P cualquiera en una de las rectas perpendiculares y otro punto Q cualquiera en
la otra recta, así como los transformados P´ y Q´ por dicha rotación de P y Q,
respectivamente. Mueve P y Q sucesivamente con el puntero y observa las trayectorias
correspondientes de P´ y Q´; ¿cómo son entre si las trayectorias de los puntos P´ y Q´?
En la instantánea a la derecha las rectas perpendiculares en trazo continuo, las
transformadas por la rotación mencionada, en trazo punteado del color correspondiente,
¿serán rectas las que aparecen en trazo punteado? Si este fuera el caso, ¿serán
perpendiculares?
Para finalizar esta sección, de los tres casos presentados, si en el primero de ellos
contestaste que “la transformada de una recta por la simetría axial es una recta”, esto se
puede expresar como “la recta es un invariante en la simetría axial”. En el segundo de
los casos, decir “que un segmento se transforma en otro segmento por la traslación” es
lo mismo que expresar “en la traslación, un segmento es invariante”. También es
cierto, que “la medida de un segmento es un invariante en la traslación”. Estas dos
últimas afirmaciones se pueden expresar en una sola que es “en la traslación, la
congruencia de segmentos es un invariante”.
De lo mencionado, se espera que el usuario proponga otros invariantes distintos a los
tratados, para cada uno de los movimientos considerados.
Propiedades de una figura
En esta sección se pretende ilustrar algunas propiedades de las figuras, que se obtienen
de los invariantes conjeturados y validados, en la sección anterior. Veamos el ejemplo
siguiente:
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El triángulo de la izquierda es dado y sobre los extremos de uno de sus lados se coloca
el vector, que se utilizará para realizar varias traslaciones de dicho triángulo, una
seguida del triángulo anterior. Ahora, en el vértice C (o C´, etc.) se encuentran los tres
ángulos del triángulo dado, formando un ángulo de media vuelta (ya que los puntos C,
C´, etc. están alineados por una propiedad de la traslación), dos de ellos aparecen
marcados y el que no tiene marca, cuyo vértice está en C, tiene la misma medida del
ángulo en el vértice B del triángulo dado, debido al paralelismo, que es un invariante en
la traslación. Con el puntero mueve cualquier vértice del triángulo dado y lo acabado de
mencionar sigue siendo válido. Por lo tanto podemos concluir: la suma de los ángulos
interiores en cualquier triángulo es un ángulo de media vuelta.
Otro ejemplo sería el siguiente:
En la ilustración anterior se tiene al paralelogramo ABCD; queremos probar que los
lados opuestos son congruentes. Para ello, colocamos el vector que va del extremo A al
B y hacemos una traslación del segmento AD por dicho vector, obteniendo el segmento
BC; sabemos que AD y BC son congruentes porque es una propiedad (a nivel de
conjetura en la sección anterior) de la traslación. ¿Qué vector consideraría el usuario en
la instantánea anterior si quisiera probar la congruencia de los lados AB y DC? Con el
puntero mueve alguno de los vértices del paralelogramo y lo mencionado sigue siendo
válido.
Seguramente, el lector tiene otras propiedades de las figuras que quisiera probar,
apoyándose en las propiedades de los movimientos mencionados, lo que resultaría
provechoso.
Congruencia de figuras
En la geometría tradicional la congruencia de dos figuras en el plano, se apoya en
“criterios” que generalmente no se establecen como resultado de una discusión, sin
embargo, con la herramienta tecnológica de paquetes dinámicos la estrategia es más
natural, pues consiste en encimar una figura sobre la otra de manera que coincidan en
todas sus partes y esta coincidencia se establece como en la teoría de conjuntos,
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moviendo una de ellas que cubra a la otra y viceversa, utilizando para ello los
movimientos mencionados. Cabe aclarar que proponer uno de estos movimientos
requiere de parte del usuario trazar una recta “particular”, si se trata de una simetría
axial; o proponer un vector determinado, en el caso de la traslación, etc. es decir,
también tiene sus dificultades.
Veamos un ejemplo: en todo paralelogramo una de sus diagonales lo divide en dos
triángulos congruentes. La figura siguiente ilustra la situación
El paralelogramo ABCD partido por su diagonal DB en los triángulos ABD y BCD. De
los movimientos mencionados, ¿cuál me llevará a uno de los triángulos sobre el otro, de
manera que lo cubra? y luego al revés.
En las tres instantáneas anteriores, se aprecia una rotación con centro en el punto medio
de la diagonal trazada en el paralelogramo, con ángulos de rotación señalados en cada
caso; las dos últimas, de izquierda a derecha, muestran como uno de los triángulos
cubre al otro y por ello, conjeturamos que son congruentes ambos triángulos.
Desde luego existen otras posibilidades para mostrar la congruencia de ambos
triángulos.
Ecuaciones de estos movimientos, en casos especiales
La connotación de “especiales” es porque se utilizará una cuadrícula sobre los ejes
cartesianos, cuyos puntos de intersección se usarán para conjeturar las ecuaciones de
cada uno de los movimientos mencionados y para cada una de ellas, se tratarán casos
particulares.
Iniciemos con la simetría axial, considerando que el eje de simetría es la recta y = x.
Veamos la instantánea que sigue:
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Se da un punto P de la cuadrícula, con el comando punto sobre objeto del paquete,
luego por medio del comando simetría axial, se encuentra su imagen P´, que
corresponde a dicho movimiento (notarás que es otro punto de la cuadrícula) y después,
por medio del comando ecuaciones y coordenadas, hallas las coordenadas de P y P´.
Ahora con el comando puntero, arrastras al punto P a cualquier otro punto de la
cuadrícula y observarás que P´ también se actualiza en la pantalla, pero siempre las
coordenadas de P y P´ son valores específicos. De lo mencionado, se trata de conjeturar
el caso general, esto es: si P(a,b) es un punto cualquiera de la cuadrícula, ¿cuáles serán
las coordenadas de P´( , )?
Si el movimiento es de traslación, tendríamos la instantánea siguiente:
Si el vector de traslación tiene sus puntos inicial y final en la cuadrícula, y el punto P
sobre la cuadrícula, su transformado será el punto P´ que también estará sobre la
cuadrícula. En este caso, con el comando traslación se encuentra P´ y luego las
coordenadas de ambos, sabiendo que tienen valores particulares. Después, con el
comando puntero arrastra al punto P a cualquier otro punto de la cuadrícula y el punto
P´ se actualiza. De lo dicho, se trata de conjeturar el caso general, es decir: si P(a,b) es
un punto cualquiera de la cuadrícula, ¿cuáles serán las coordenadas del punto P´( , ).
Finalmente, para el movimiento de rotación consideramos que el centro de rotación es
el origen de coordenadas y el ángulo de rotación es de 90 grados, lo que ilustramos con
la instantánea siguiente:
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Nuevamente, como en los dos casos anteriores, tomando en cuenta que ahora el
movimiento es de rotación y después de mover con el puntero al punto P, lo que
actualiza al punto P´ en la pantalla, será posible conjeturar el caso general, esto es: si
P(a,b) es un punto cualquiera de la cuadrícula, ¿cuáles serán las coordenadas de
P´( , )?
Lo presentado en esta sección fue posible debido a que si P es un punto de la cuadrícula
su transformado P´, por el movimiento considerado, también resultó un punto de dicha
cuadrícula, sin embargo, lo obtenido en esta sección ¿será válido si quitamos la
cuadrícula?
Un comentario de despedida: en los tres movimientos considerados la “distancia entre
dos puntos” es un invariante y por ello, el título de esta plática.
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