Potencia fraccionaria. z

Potencia fraccionaria.
Teniendo en cuenta que las potencias en el caso real de la forma z u se pueden expresar
como zu = eu log z. Ahora bien, en el caso complejo como log z tiene infinitos valores, dicha expresión
no es válida, sin embargo, lo aceptamos como válido para poder definir la potencia.
 Sean z y u dos números complejos con z ≠ 0, definimos como potencia de z de
exponente complejo u al número complejo:
z u = { e u. v : v ∈ log z }.
 Si z viene expresado en coordenadas polares mediante z = (r,a), entonces
z u ={e u. log ra.2.k.  .î  : k ∈Z }={e u.log ru.a.î . e 2.u.k. . î : k ∈ Z } =
= { e u.log r . cos u.aî.senu.a.cos  2.k. pi.uî sen2.k. pi.u:k ∈Z } =
= { e u.log r . cos u.a2.k. pi.uî.senu.a2.k. pi.u :k ∈ Z } =
# Ejemplo:
i
i.log∣1∣0 2.k. .i
1 =e
−2.k.
=e
k ∈ Z.
 Como caso particular si z viene expresado en coordenadas polares mediante z = (r,a), y u
es un número fraccionario de la forma u = (1/n) con n un número natural, entonces
1
1
z n ={e n.log
1
n
r a.î
. e 2.k. .î : k ∈Z } =
         
    
= { r . cos
1
n
a
1
2.k. 
2.k. 
î.sen
. cos
î.sen
: k ∈Z } =
n
n
n
n
= { r . cos a
2.k. 
2.k.
î.sen a
: k ={1,2,...,n-1} } =
n
n
 Es fácil comprobar que se cumplen las propiedades:
1
1. Todas las raíces de z  n  con z = (r,a) tienen módulo
2. Las raíces de
z
1
 
n
1 
 
n 
r .
son los vértices de un polígono regular de n lados centrado en el
origen.
# Ejemplo: Encontrar todos los valores complejos de z tal que que z 5 = -32, y localizar todos sus
valores en el plano complejo.
# Solución: Como en forma polar :
- 32 = 32.(cos (π+2.k.π) + i.sen (π+2.k.π));
Y sea :
z = r.( cos a + i. sen a ).
Por aplicación del teorema de Moivre, será:
z 5 = r 5 .( cos 5.a + i. sen 5.a ) =
k ∈ ℤ.
= 32. ( cos (π+2.k.π) + i. sen (π+ 2.k.π) );
k ∈ ℤ.
Será:
r 5 = 32;
5.a = (π+ 2.k.π);
k ∈ ℤ..
a = (π+ 2.k.π)/5;
k ∈ ℤ.
Con lo cual:
r = 2;
Por lo tanto será:
z = 2.[cos (( π+ 2.k π)/5) + i.sen ((π+2.k.π)/5)]
k ∈ ℤ.
De entre los cuales tenemos infinitos valores para 5 valores de z distintos:
z = 2. ( cos (π /5) + i sen (π /5) )
z = 2. ( cos (3.π/5)
C
+ i sen
( (3.π/5) )
x
=2
z = 2. ( cos (π) + i sen (π) )
z = 2. ( cos (7.π/5) + i sen (7.π/5) )
# Gráfico 6 :
z = 2. ( cos (9.π/5) + i sen (9.π/5) )
 Si m es un número natural y z = r.( cos a + i. sen a ). Aplicando por inducción matemática
el teorema de Moivre, es :
z m = r m .( cos a + i. sen a ) m = r m .( cos m.a + i. sen m.a ).
 Si m, n ∈ ℕ y z ∈ ℂ, será:
z
m
n
1 m
n
= z  =r
m
n
 
. cos m.


a2.k. 
a2.k. 
i.sen m.
n
n
