Taller # 2 - L´ımites y Continuidad

Taller # 2 - Lı́mites y Continuidad
Introducción al Cálculo
Departamento de Matemáticas
1) Cuál es la medida en radianes de los siguientes ángulos
a) 112o
c) −150o
b) 135o
d) 80o
2) Cuál es la medida en grados de los siguientes ángulos
a)
2π
3
c) − 4π
6
b) −2π
d)
π
9
3) Un ángulo interseca un arco de longitud 2 centı́metros de un cı́rculo de 3 centı́metros de radio.
Encunetre el valor de dicho ángulo.
4) Este ejercicio esboza una demostración para la fórmula del coseno de una suma de ángulos. La
siguiente figura muestra dos cı́rculos unitários.
Q
•
•S
β
θ
O
•
P
β
θ
O
•R
a) Muestre que los segmentos P Q y RS tienen la misma longitud
b) Empleando la fórmula de la distancia de dos puntos y dado que Q = (cos(θ + β), sen (θ + β)),
S = (cos β, sen β) y R = (cos θ, −sen θ), deduzca la identidad
cos(θ + β) = cos θ cos β − sen θsen β.
c) Remplace β por −β en la identidad anterior y obtenga la fórmula para el coseno de una resta
de ángulos
d) Deduzca las cofunciones
cos π2 − θ = sen θ
sen
π
2
− θ = cos θ
tan
e) Con base a los incisos anteriores, escribiendo sen (θ + β) = cos
identidades
sen (θ ± β) = sen θ cos β ± sen β cos θ.
1
π
2
cos θ
−θ =
sen θ
− (θ + β) . Deduzca las
π
2
5) Deduzca el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo de π6 . Con base a esto, deduzca los
valores de dichas funciones para los ángulos 5 π6 , 7 π6 , 11 π6 .
6) Muestre que cos 2θ = 2 cos2 θ − 1 = 1 − sen 2 θ y deduzca que
r
r
1 + cos 2θ
1 − cos 2θ
sen θ = ±
cos θ = ±
2
2
7) Con las identidades para las funciones seno y coseno de la suma y resta de ángulos deduzca identidades similares para la función tangente.
8) Evalue el lı́mite de las siguientes funciones.
1 − cos θ
θ→0
θ2
sen 6θ
b) lim
θ→0
3θ
1
c) lim sen
θ→0
θ
cos θ
θ→ 2 1 + sen θ
cos θ
e) limπ
θ→ 2 1 − sen θ
tan θ − sen θ
f) lim
θ→0
θ2
a) lim
d) limπ
sen θ
θ→π π − θ
θ + tan θ
h) lim
θ→0
sen θ
√
1 − cos θ
i) lim
θ→0
θ2
g) lim
9) Considere un ángulo agudo θ en un triángulo rectángulo. Con ayuda de semejanza de triángulos en
el cı́rculo unitario muestre las relaciones pedidas.
•R
β
c
c
b
θ
θ
a
a)
b)
c)
d)
e)
O
cos θ = ac
sen θ = cb
tan θ = ab
R = R(1, tan θ)
Exprese b en términos de θ y c
•
Q
b
• •S
a P
f) Exprese a en términos de θ y c
g) Exprese b en términos de θ y a
h) Exprese las funciones trigonométricas para el
ángulo β.
10) Encuentre la longitud de x en cada triángulo
π
6
1
5
3
x
π
4
π
3
x
x
2