Problemas de la Fase Escrita

FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XLI CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS
DEL SURESTE
FASE ESCRITA
1. Resuelve la ecuación
√
√
(10 puntos)
2. Determina los números reales y tales que el polinomio
sea divisible
) y expresa el polinomio como el producto de factores de grado 1.
por (
(10 puntos)
3. Determina la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta
en el punto ( ), y cuyo centro es un punto de la recta
.
(10 puntos)
4. Determina la medida del segmento
es rectángulo en B,
unidades.
A
de la siguiente figura, donde el triángulo ABC
,
,
unidades y
B
D
C
(10 puntos)
5. La velocidad de un objeto que cae con resistencia del viento tiende a estabilizarse
cuando el tiempo se incrementa en forma indefinida. A este “valor máximo” en que se
estabiliza la velocidad del objeto se le conoce como velocidad terminal.
Si la velocidad del descenso de cierto paracaidista, considerando la resistencia del aire,
(
)
se obtiene como
a) Encuentra la velocidad inicial del paracaidista.
b) Sin usar una tabulación de puntos, sino iniciando con el bosquejo de la gráfica de
una exponencial con exponente negativo como lo es
y aplicando las
transformaciones elementales correspondientes, bosqueja la gráfica de la velocidad.
c) Halla la velocidad terminal del paracaidista.
(10 puntos)
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
XLI CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS
DEL SURESTE
FASE ESCRITA
6. Expresa la hipotenusa h de un triángulo rectángulo con un área de
de su perímetro P.
m 2 como función
(10 puntos)
7. Una persona entra a jugar a un casino con $20.00 de capital. Cada vez que juega tiene la
probabilidad de ganar a razón 1:2; el monto que gana o pierde siempre es de $10.00. Se
abstiene de jugar al momento en que duplica su capital inicial o pierde todo. Determina
la probabilidad de que duplique su capital inicial.
(10 puntos)
8. Se sabe que los niños de 7 años tienen estatura modelada por la distribución normal con
media 1.1 y desviación estándar 0.05 ; en tanto que la estatura de las niñas de esa
misma edad se modela con una distribución normal con media 1.0m y desviación
estándar 0.06 . Una familia tiene un niño y una niña, ambos de 7 años, con estaturas
de 1.0m. De acuerdo con los modelos de distribución de las alturas de niños y niñas,
determina quién será más alto según su edad y género. Justifica tu respuesta.
(10 puntos)
9. Considera un triángulo equilátero cuyo lado mide 2011 unidades de longitud. Sea P un
punto cualquiera en el interior de este triángulo y desde P bajemos perpendiculares a
los lados del triángulo. Demuestra que la suma de las longitudes de estas
perpendiculares es una cantidad constante que no depende de la posición del punto P y
calcula el valor de esa constante.
(10 puntos)
10. En la siguiente figura se tiene que AM y BN son perpendiculares a CD y por A, B pasa
una semicircunferencia de centro O, cuyo diámetro es CD. Además
,
y
. Calcula la longitud del diámetro CD.
(10 puntos)