Maquetación 175

aletos
MECÁNICA
PÉNDULO
Física para Ciencias e Ingeniería
1
SIMPLE
Una partícula de masa m está suspendida de un hilo de longitud L y masa despreciable como muestra
la figura. El dispositivo se conoce como péndulo simple.
Y
X
O
θ
L
m
a) Dibújese un diagrama de fuerzas para la masa m y escríbanse las ecuaciones del
movimiento en las direcciones i y j.
b) Escribanse las coordenadas x e y de la partícula en función del ángulo θ y la
longitud del hilo L, y obténganse las primera y segunda derivadas d2x/dt2 y d2y/dt2
en función de θ y L. Sustitúyanse estas expresiones en las ecuaciones de las componentes del apartado a).
c) Si se multiplican las últimas ecuaciones obtenidas en el apartado b), por cos θ
y sen θ, respectivamente, es posible eliminar la tensión T. La ecuación resultante es
la ecuación del movimiento del péndulo simple.
d) Compruébese que para valores del ángulo θ ≤ 15º la ecuación diferencial conduce a una relación entre la aceleración angular α de la partícula y el desplazamiento
angular θ, que es del mismo tipo que la ley de Hooke.
SOLUCIÓN:
SOLUCIÓN:
a) Las fuerzas que actúan sobre la partícula son, como muestra la figura, el peso mg y la tensión T del
hilo.
Descomponiendo la tensión, T, según los eje OX y OY, y aplicando la ecuación
de la dinámica de traslación, se obtienen, respectivamente, las siguientes ecuaciones:
Y
X
O
−T sen θ = max
L
θ
T cos θ − mg = may
T cos θ
T
x = L sen θ
y = −L cos θ
mg
[2]
b) Las coordenadas de la partícula son
θ
T sen θ
[1]
[3]
[4]
Derivando respecto al tiempo [3] y [4] se obtienen las componentes de la velocidad, vx y vy
dθ
dx
= L cos θ
dt
dt
dθ
dy
vy =
= L sen θ
dt
dt
vx =
[5]
[6]
Derivando las ecuaciones [5] y [6], nuevamente respecto al tiempo se obtienen las componentes de la aceleración, ax y ay
2


 dθ  
d 2θ
dθ d θ 
d 2θ

ax =
=
= L cos θ ⋅ 2 +(− sen θ ) .  = L cos θ ⋅ 2 − sen θ   


dt dt 2
dt dt 
dt
dt
 dt  

[7]
2


 dθ  
dθ dθ 
d 2θ
d 2θ

=
= L sen θ ⋅ 2 + cos θ .  = L sen θ ⋅ 2 + cos θ   
ay =


dt dt 2
dt dt 
dt
dt
 dt  

[8]
dv x
dvy
d 2x
d 2y
Sustituyendo ahora ax y ay en las ecuaciones [1] y [2], se obtiene
2

 dθ  
d 2θ
−T sen θ = mL cos θ ⋅ 2 − sen θ   

dt
 dt  

2

 dθ  
d 2θ
T cos θ − mg = mL sen θ ⋅ 2 + cos θ   

dt
 dt  

c) Si multiplicamos la ecuación [9] por cos θ y la [10] por sen θ,
[9]
[10]
2
aletos
MECÁNICA
PÉNDULO
Física para Ciencias e Ingeniería
SIMPLE
2


 dθ  
d 2θ

2

−T sen θ cos θ = mL cos θ ⋅ 2 − sen θ cos θ   


dt
 dt  



2


 dθ  
d 2θ
2

T cos θ sen θ − mg sen θ = mL sen θ ⋅ 2 + sen θ cos θ   

dt

 dt  


[11]
[12]
Si sumamos miembro a miembro, para eliminar la tensión T entre ambas ecuaciones, se obtiene
2
2

dθ 
dθ  
d 2θ
d 2θ
−mg sen θ = mL cos2 θ ⋅ 2 − sen θ cos θ   + sen 2 θ ⋅ 2 + sen θ cos θ   

dt
dt
 dt 
 dt  

Simplificando y agrupando términos

d 2θ 
−g sen θ = L (cos2 θ + sen 2 θ ) 2 

dt 
de donde,
−g sen θ = L
d 2θ
dt 2
[13]
d) Si el desplazamiento angular θ es pequeño, de tal forma que pueda sustituirse sen θ ≈ θ, estando medido θ en radianes, lo cual ocurre para valores de θ ≤ 0,262 rad, o lo que es igual, para θ ≤ 15º , como puede
comprobarse fácilmente, la ecuación anterior queda en la forma
−gθ = L
de donde, se obtiene
d 2θ
y recordando que
dt 2
d 2θ
dt 2
g
=− θ
L
d 2θ
=α
dt 2
resulta que entre la aceleración angular de la partícula y su desplazamiento angular existe la relación
g
α =− θ
[14]
L
que es del mismo tipo que la que existe entre la aceleración lineal de un oscilador armónico y su elongación,
a = −w 2x
[15]
siendo w la pulsación del movimiento, que está relacionada con el periodo, por
ω=
2π
[16]
T
De modo que, en este caso, de la comparación de [14] y [15] se deduce que
g
ω2 =
L
[17]
y sustituyendo en [16], se obtiene finalmente para el periodo de oscilación del péndulo
T = 2π
L
g
[18]
que es la misma expresión que se obtiene para un oscilador lineal armónico, como por ejemplo, un pequeño
bloque unido a un resorte que cumpla con la ley de Hooke.
aletos
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PÉNDULO
Física para Ciencias e Ingeniería
3
SIMPLE
Observación:
Si en lugar de descomponer el diagrama de fuerzas para la masa m en las direcciones i y j, como exige el
enunciado, se descomponen en la dirección del hilo y en la perpendicular a ella, es decir, en la dirección de la
normal y de la tangente a la trayectoria de la partícula, las ecuaciones del movimiento en esas direcciones son,
respectivamente
T − mg cos θ = man = m
O
−mg sen θ = mat
θ
T
mg sen θ
θ
mg
mg cos θ
v2
L
[19]
[20]
El signo negativo de la componente del peso en la dirección de la tangente
es debido a que es de sentido contrario al del desplazamiento angular del hilo.
Téngase presente que el ángulo θ está medido desde la vertical que pasa por
el punto O, en sentido contrario al de las agujas del reloj, y la componente at
tiende a producir un movimiento de giro en sentido opuesto.
El movimiento en la dirección del hilo no nos interesa.
De la ecuación [20] se obtiene
at = −g sen θ
Si el desplazamiento angular θ es pequeño, de tal forma que pueda sustituirse sen θ ≈ θ, estando medido θ en radianes, queda
at = −gθ
[21]
y teniendo en cuenta que la aceleración tangencial es igual a la aceleración angular multiplicada por el radio
de la trayectoria
at = Lα
se obtiene para la aceleración angular la expresión
g
α =− θ
[22]
L
que es la misma expresión [14] obtenida anteriormente.