3.1-Limite de una F.Vectorial

4.Definición de límite de una función vectorial
4.1. Definición en términos de esferas abiertas
Sea f, una función vectorial definida en un subconjunto A de RN y
con espacio de valores en RM, lo que se expresa
n
f: A  R
Rm
Y sea X0 un punto de acumulación de A. Decimos que la función
f(X) tiende al límite L cuando X tiende a X0 y escribimos
lim f(X) = L
XX0
Si para toda esfera abierta en Rm con centro en L y radio ,
S’(L,
), existe una esfera abierta en Rn con centro en X0 y radio ,
S(X0, ), tal que para todo X en el dominio de f perteneciente a S,
sus imágenes f(X) estarán en S’.
De manera analítica:
XX0  X  A ∩ S(X0, )  f(X)  S’(L, ).
Esto podemos visualizarlo si consideramos por ejemplo, a f definida
de R2 a R2, en este caso X0= (x0, y0) y X=(x, y).
Fig. 4.1
En la figura 4.1 se muestra geométricamente que siempre que las
variables independientes (x, y) estén en el circulo amarillo de
radio, entonces los valores de la función se encontraran en el
circulo verde de radio.
Y para el caso de una función real f definida en R2:
f: R2
R
X0= (x0, y0) X=(x, y)
Fig.4.2
En la figuras 4.2 se muestra geométricamente que siempre que las
variables independientes (x, y) estén en el circulo azul de radio,
entonces los valores de la función que se encuentran representados
por el eje Z están en el intervalo abierto (L —  ; L +).
4.2Definición en términos de distancias.
También conocida como definición en términos de épsilon y delta
Según la explicación anterior, la distancia entre el limite L y las
imágenes de la función f(x, y) puede hacerse tan pequeña como se
quiera con tan solo tomar la distancia de X a X0 lo suficientemente
pequeña. Teniendo en cuenta que lo que nos interesa es lo que
pasa con los valores de las imágenes en las inmediaciones de X0, no
en el propio punto X0. Además, este punto pudiera no pertenece al
dominio de la función (aunque sea un punto de acumulación del
conjunto domino) y por esta razón hacemos énfasis en lo que
respecta a esta definición en que X ≠ X0.
Lo anteriormente expuesto puede denotarse analíticamente así:
d(f(X), L) < 
siempre que
d(X, X0) <  y
X ≠ X0
Y aplicando la definición de la función distancia se tiene:
d(f(X), L) = f(X)  L
d(X, X0) = X  X0
Con lo que finalmente se tiene:
X  A, 0  X  X0  

f(X)  L  
Que es conocida como condición de límite en X0
Con frecuencia cuando se aplica esta definición en términos de
épsilon y delta se considera este método como la obtención de
límites por definición, y se resume este procedimiento en que, dado
un >0 se requiere que hallemos un >0, tal que se cumpla la
condición de límite en X0. Y si es posible encontrar una relación
valida  en función de  decimos que el limite existe, en caso
contrario el limite no existe.
Puede ser que cuando X tienda a X0 las imágenes no se acerquen
a un número en particular. En este caso decimos que
Para el cálculo del límite,  se determina a partir de 
Lo que interesa no es lo que pasa en X0 sino en su cercanía.
RESÚMEN
Sea
n
f: A  R
Diremos que:
Rm
y X0 un punto de acumulación de A.
lim f(X) = b
XX0
Si para toda esfera abierta en Rm, S’(b, ), existe una esfera abierta
en Rn S(x0, ) tal que:
XX0  X  A ∩ S(x0, )  f(X)  S’(b, ).
(Condición de límite en X0)
X  A, 0  X  X0  

f(X)  b  
La distancia de f(X) al límite puede hacerse tan pequeña como se
quiera, con tal de tomar la distancia de X a X0 lo suficientemente
pequeña.
Prof. Amabiles Núñez, MSc.