Geometria esferica

Geometria esferica
La esfera es el conjunto S2 = {(x,y,z) en R3 / x2+y2+z2 =1 }. La geometria de la esfera tiene
coincidencias y divergencias muy notorias con la geometria del plano.
La esfera tiene muchisimas simetrias, por ejemplo las reflexiones en planos que pasan por el origen.
Cada reflexion deja fijo un circulo de radio maximo, y podemos pensar que es una reflexion en ese
circulo. En la esfera no hay lineas rectas, pero podemos definir como “lineas esfericas” a los circulos
de radio maximo.
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Las trayectorias mas cortas en la esfera son arcos de circulos maximos
Idea de la demostracion. Sea L la trayectoria mas corta entre dos puntos a y b. Si L no es un arco de circulo
maximo, entonces hay un circulo maximo C que cruza a L en dos puntos.
L
C
Reflejando a L en C, obtenemos otra trayectoria L' que queda de un solo lado de C y tiene exactamente la misma
longitud que L.
C
L'
La trayectoria L' tiene esquinas, asi que podemos suavizarlas para obtener otra trayectoria L'' que es un poco mas
corta que L', y por lo tanto L'' es mas corta que L.
C
L''
Esto contradice la suposicion de que L es la trayectoria mas corta entre los puntos a y b. Por lo tanto ningun circulo
maximo puede cruzar a L en mas de un punto y L debe ser un arco de circulo maximo.
Distancias y angulos
La distancia entre los puntos p y q en la esfera es el angulo
entre los vectores unitarios p y q (medido en radianes).
El angulo entre dos lineas esfericas es el angulo
entre los planos por el origen que las definen.
Triangulos
Los triangulos esfericos estan formados por segmentos de lineas esfericas.
Dos triangulos esfericos son congruentes si tienen lados y angulos correspondientes iguales.
Los criterios de congruencia LLL, LAL, ALA funcionan igual en la esfera que en el plano.
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Teorema de Girard (1632) Los angulos internos de un triangulo esferico Δ suman π + Area Δ
Demostracion.
El area de la esfera es 4π, por
lo tanto el area de un gajo de
la esfera determinado por un
angulo (medido en radianes)
es 2 veces el angulo.
Area = 4A
A
C
Area = 4B
Area = 4C
Los dos gajos con angulo A, los dos gajos con angulo B y dos gajos con angulo C
juntos cubren a toda la esfera, cubriendo al triangulo Δ y a su antipoda 3 veces.
Por lo tanto si sumamos las areas de todos los gajos obtenemos el area de la esfera
mas cuatro veces el area del triangulo:
4A +4B +4C = 4π + 4 Area Δ
Corolario: Dos triangulos esfericos (no degenerados) con los mismos angulos son congruentes.
Dem. Sean ABC y A'B'C' dos triangulos esfericos con angulos iguales. Por el
Teorema de Girard los triangulos tienen areas iguales. Coloquemos los
triangulos de modo que el angulo A coincida con A'.
Si B y C no coinciden con B' y C' entonces la linea BC debe intersectar a la
linea B'C' (de otro modo un triangulo estaria dentro de otro y su area seria
menor) Sea P el punto de interseccion..
Dos lineas esfericas que cruzan a otra con el mismo angulo
deben intersectarse en un punto a distancia π/2 de los puntos
A=A'
de interseccion de las lineas, asi que P es el punto medio de
los segmentos BC y B'C', y estos segmentos tienen longitud π. Pero entonces
C y C' son los antipodas de B y B' y por lo tanto estan sobre la linea BB', de
modo que el angulo A es degenerado.
B
B'
P
C' C
Trigonometria esferica
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Ley esferica de los senos:
A
sena / senA = senb / senB = senc / senC
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c
Ley esferica de los cosenos:
b
B
cosa = cosb∙cosc + sinb∙sinc∙cosA
C
a
Demostracion de la ley de los cosenos:
Sea O el centro de la esfera. En el plano que pasa por O,
A
B y C, y en el plano tangente a la esfera por el punto A,
considerar los triangulos ODE y ADE. Por la ley de los
c
cosenos:
DE2 =AE2 +AD2 −2AE·AD cosA
(1)
DE2
(2)
=OE2
+OD2
−2OD·OD cosa
b
B
O
a
C
Como los triangulos OAE y OAD son rectangulos
OE2 = AE2 +OA2 y OD2 = AD2 +OA2,
A
sustituyendo en la ecuacion (2) queda
⇒ DE2 =2OA2 +AE2 +AD2 −2OD·OD cosa
(3)
B
Igualeando las ecuaciones (1) y (3) obtenemos
E
O
2OA2 −2OE·OD cosa = −2AE·ADcosA
⇒ OE·ODcosa = OA2 +AE·ADcosA
C
⇒ cos a = OA/OE · OA/OD + AE/OE · AD/OD cos A
D
⇒ cosa = cosb cosc + sinb sinc cosA
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(Teorema de PItagoras): Si A=π/2,
cosa = cosb cosc
Este resultado se ve muy distinto que el teorema de Pitagoras en el plano, pero puede mostarse que
cuando los triangulos son muy pequeños, el Teorema clasico es un limite de este teorema.
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Los Teoremas de incidencia (Ceva, Menelao,
Desargues) tienen analogos en la esfera.
Estos pueden obtenerse proyectando los triangulos
y lineas esfericas desde el centro de la esfera a un
plano para obtener triangulos y lineas planas.
Tarea 9
Entregar (1 o 2), (3 o 4) el lunes 23 de marzo.
1. ¿Cuanto mide la circunferencia de un circulo de radio r en S2?
¿Cual es el area de un circulo de radio r?
r
2. ¿Cuanto suman los angulos internos de un poligono en S2?
3. ¿Cual es el area de un triangulo en S2 cuyos angulos internos miden π/2, π/3 y
π/4? ¿Cuanto miden sus lados?
4. ¿Si un cuadrado esferico tiene area π, cuanto miden sus lados?¿Cuanto miden sus
angulos?