Esfera abierta en Rn

Esfera abierta en Rn
Dado un punto x0  Rn y un número real r > 0, se denomina esfera abierta
de centro x0 y radio r al conjunto de los puntos de Rn cuya distancia a x0 sea
menor de r.
S(x0, r)   X Rn: d(x, x0) < r 
Esfera abierta en R2
El conjunto de los puntos de R2
cuya distancia al punto fijo x0
es menor que r, es el de los
puntos del circulo de centro x0
y radio r, excluyendo los de la
circunferencia.
Punto interior
Dado un conjunto A  Rn, diremos que x0 es un punto interior de A, si existe
una esfera abierta con centro en x0 contenida en A.
x0 es punto interior de A 
 S(x0, r)  S(x0, r)  A
Punto exterior
Dado un conjunto A  Rn, diremos que x0 es un punto exterior de A, si existe
una esfera abierta con centro en x0 disyunta con A.
x0 es un punto exterior de A   S(x0, r) 
S(x0, r)  A  
X1, X3  A 
X2, X4  A
X1 es punto interior
X4 es punto exterior
X2, X3 no son puntos interiores
ni exteriores.
Conjunto Abierto
Dado un conjunto A  Rn, diremos que A es Abierto en Rn si todos
sus puntos son interiores, es decir si:
.
A  A
Una esfera abierta es un conjunto abierto.
Entorno de un punto
Dado un punto x, llamaremos entorno de x, a cualquier conjunto abierto
que lo contenga.
Una esfera abierta es entorno de todos sus puntos en
particular de su centro, del cual suele llamarse “entorno
esférico”.
Punto de Acumulación
Dado un conjunto A  Rn, diremos que x es punto de acumulación de A si
toda esfera abierta con centro en x contiene infinitos puntos de A.
(x puede, pertenecer o no pertenecer, al conjunto A).
Punto Aislado
Es todo punto x  A que no es punto de acumulación de A.
X1  A y es un punto de
Acumulación de A.
X2  A y es un punto de
Acumulación de A.
X3  A, pero es un punto de
Acumulación de A.
X4  A, y no es un punto de
Acumulación de A.
Conjunto Derivado de A
Es el conjunto de todos los puntos de acumulación de A y se identifica como:
A’
Dada una esfera abierta S, el conjunto derivado S’ es el circulo completo
(incluyendo la circunferencia).
S(x0, r)   X:
d(x, x0) < r 
S’(x0, r)   X: d(x, x0)  r 
Conjunto cerrado
Diremos que un conjunto A es cerrado si su complementario AC es abierto.
TEOREMA 1: Un conjunto es cerrado si y solo si contiene todos sus
puntos de acumulación
En Rn hay conjuntos que no son abiertos ni cerrados.
Y hay solo dos que son abiertos y cerrados: El conjunto vacío () y el
propio Rn.
El complementario de una esfera abierta es cerrado.
Cualquier conjunto finito es cerrado.
Conjunto acotado
Diremos que un conjunto A es Acotado en Rn si el conjunto de las distancias
d(x1, x2) entre dos cualquiera de sus puntos, es un conjunto acotado en R.
{ d(x1, x2),  x1, x2  A }
Al extremo superior (si existe) de este conjunto de distancias, lo llamaremos
diámetro del conjunto A.
Si dicho diámetro no existe, diremos que el conjunto no es acotado o que su
diámetro es infinito.
Conjunto compacto
Diremos que un conjunto A  Rn es compacto, si es cerrado y acotado.
Todo subconjunto de Rn con un número finito de puntos, es
compacto.
Clausura
Llamaremos clausura de un conjunto A, al conjunto
Frontera
Dado un conjunto A  Rn, diremos que un punto x pertenece a la Frontera de
A si toda esfera abierta con centro en x, contiene puntos de A y de su
complementario.