V Vx II = = 0 0 0 V kI IR VIR kI VIR kI VVV = - = - + - = - +

PARCIAL 1 - FUNDAMENTOS DE CIRCUITOS - Sec. Antonio Salazar- 09/09/2005
NOMBRE: ____________________________________________________ CODIGO: ___________________
DURACION: 80 MIN. NO SE PERMITE EL USO DE APUNTES NI LIBROS.
1. (20/100) Escribir ecuaciones de mallas en forma matricial para el siguiente circuito.
Solución:
Ic = I x
Vx = VBD
Malla a:
Malla b:
Malla c:
V BA + V AC + VCB = 0
VCD + VDB + VBC = 0
V DB + VBD = 0
− kI x + R1 I a − V1 = 0
R3 I b − V x + V1 = 0
R2 I c + V x = 0
− kI c + R1 I a − V1 = 0
R3 I b − V x = −V1
V x = − R2 I c
R1 I a − kI c = V1
Reemplazando este valor de Vx en la malla b tenemos:
R3 I b − V x = −V1
R3 I b − (− R2 I c ) = −V1
R3 I b + R2 I c = −V1
En forma matricial tenemos:
⎡ R1
⎢0
⎢
⎢⎣ 0
0
1
R3
k ⎤ ⎡ I a ⎤ ⎡ V1 ⎤
− 1⎥⎥ ⎢⎢ I b ⎥⎥ = ⎢⎢ I 2 ⎥⎥
R2 ⎥⎦ ⎢⎣ I c ⎥⎦ ⎢⎣− V1 ⎥⎦
2. (20/100) Escribir las ecuaciones de nodos en forma matricial para el siguiente circuito si la tierra está en el
nodo C y RAC=2, RBC= 4 y RDC = 1 y k =3. (Ayuda: en tierra también se cumple KCL).
Solución:
El nodo c es tierra por tanto VC = 0 . Tenemos entonces tres incógnitas y debemos buscar tres ecuaciones.
Restricciones:
V A − VD = 5
V D − VB = 10
Ya tenemos dos ecuaciones. La tercera sale del nodo C:
VDC V BC V AC
+
+
=0
1
4
2
En forma matricial tenemos:
⎡
⎢1
⎢0
⎢1
⎢
⎣2
⎤
− 1⎥ ⎡V A ⎤ ⎡ 5 ⎤
− 1 1 ⎥ ⎢⎢VB ⎥⎥ = ⎢⎢10⎥⎥
⎥
1
1 ⎥ ⎢⎣VD ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
4
⎦
0
3. (30/100) Para el siguiente circuito:
a. (15) Calcular la potencia disipada por cada elemento.
b. (15) Comprobar el principio de conservación de potencia.
Solución:
Parte a:
Primero necesitamos conocer Vx.
Haciendo la malla tenemos:
V X − (−10) + 5 ⋅ 2 = 0
V X = −20
Haciendo la ecuación del nodo tenemos:
I1 + I 2 + I 3 = 0
4V X + I 2 +
3
=0
2
I 2 = 78.5
Cálculo de las potencias absorbidas:
P1 = (I R ) R = (2 ) ⋅ 5 = 20W
2
2
P 2 = V ⋅ I = −(−10) ⋅ 2 = 20W
P3 = V ⋅ I = −20 ⋅ 2 = −40W
P 4 = V ⋅ I = 3 ⋅ 4V X = 3 ⋅ 4(−20) = −240W
P5 = V ⋅ I = 3 ⋅ 78.5 = 235.5W
P6 =
(VR )2
R
=
(3)2
2
= 4.5W
Parte b:
5
∑ P = 0 = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 20 + 20 − 40 − 240 + 235.5 + 4.4 = 0
i =1
i
4. (30/100) Escribir las ecuaciones de nodos en forma matricial para el siguiente circuito.
Solución:
Tenemos cinco nodos (A-E). Como el nodo e es tierra nos quedan cuatro por calcular: A, B, C y D. Por tanto
requerimos cuatro ecuaciones.
Las dos fuentes de voltaje nos dan dos restricciones (dos ecuaciones), el Supernodo nos da otra ecuación y la
última la sacamos haciendo KCL en el nodo B.
Para las restricciones de las fuentes de voltaje tenemos:
VC − V A = kI X
V D − V E = pI Z = VD
Las variables controladoras son:
IX =
VB − VD
R4
IZ =
VE − V A − V A
=
R2
R2
Reemplazando estas dos últimas en las dos primeras tenemos:
pI Z = V D =
− VA
R2
VA
+ VD = 0 (1)
R2
y
⎛ V − VD
VC − V A = kI X = k ⎜⎜ B
⎝ R4
VA +
Nodo B:
⎞
⎟⎟
⎠
k
k
V B − VC −
V D = 0 (2)
R4
R4
V A − VB VD − VB VC − VB
+
+
=0
R3
R4
R1
−
⎛1
VA
1
1 ⎞ V V
+ VB ⎜⎜ +
+ ⎟⎟ − C − D = 0 (3)
R3
⎝ R1 R3 R4 ⎠ R1 R4
Supernodo:
0 − V A VB − VC VB − V A
+
+
+ I1 − I 0 = 0
R2
R1
R3
⎛ 1
⎛ 1
1 ⎞
1 ⎞ VC
⎟⎟ −
⎟⎟ + VB ⎜⎜ +
= I 0 − I1
− V A ⎜⎜
+
⎝ R1 R3 ⎠ R1
⎝ R2 R3 ⎠
(4)
En forma matricial las ecuaciones 1 a 4 quedan:
p
⎡
⎢
R2
⎢
⎢
1
⎢
⎢
⎢ − 1
⎢
R3
⎢⎛
⎢⎜ 1 + 1 ⎞⎟
⎢⎣⎜⎝ R2 R3 ⎟⎠
0
0
k
−1
R4
⎛ 1
1
1 ⎞
1
⎜⎜ +
⎟⎟ −
+
R1
⎝ R1 R3 R4 ⎠
⎛ 1
1 ⎞
1
⎟⎟
⎜⎜ +
−
R1
⎝ R1 R3 ⎠
⎤
1 ⎥
⎥
k V
− ⎥ ⎡⎢ A ⎤⎥ ⎡⎢
R4 ⎥ V B
⎥⎢ ⎥ = ⎢
1 ⎥ ⎢V ⎥ ⎢
C
−
R4 ⎥ ⎢V ⎥ ⎢ I
⎥⎣ D ⎦ ⎣ 0
0 ⎥
⎥⎦
0 ⎤
0 ⎥⎥
0 ⎥
⎥
− I1 ⎦