LEYES DE KIRCHHOFF USUARIO HERNAN FRANKLIN "Año de la universalización de la salud"" INSTITUTO DE EDUCACION SUPERIOR PEDAGOGICO PUBLUCO JULIACA ESPECIALIDAD: CIENCIA, TECNOLOGIA Y AMBIENTE INTEGRANTES: DILMA CAIRA QUISPE JESUS SEJJE MALDONADO HERNÁN FRANKLIN BERRIOS LEON JULISSA ZAPANA HUANCO CICLO: VII CURSO: FISICA II PROFESOR(A) : LUIS CRUZ MARTINEZ Juliaca 14-06 2020 DEDICATORIA. "Dedico el presente trabajo a mis padres que me vieron nacer y que, con su enseñanza, su esfuerzo y sus buenas costumbres han creado en mi sabiduría haciendo que hoy tenga el conocimiento de lo que soy." Contenido DEDICATORIA. ............................................................................................................................... 3 LEYES DE KIRCHHOFF..................................................................................................................... 5 LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF .......................................................................................... 5 ANÁLISIS DE NODOS .................................................................................................................. 6 Procedimiento ........................................................................................................................... 6 Densidad de carga variante ....................................................................................................... 6 ejemplos .................................................................................................................................... 7 Ejemplo 1: Caso básico .......................................................................................................... 7 SUPERNODOS ............................................................................................................................ 8 Ejemplo de resolución por supernodos ................................................................................ 8 Observación:.......................................................................................................................... 8 LEY DE TENSIONES DE KIRCHHOFF ................................................................................................ 9 Corrientes de malla y mallas esenciales.................................................................................... 9 Planteando las ecuaciones ........................................................................................................ 9 Observación:........................................................................................................................ 10 Casos especiales ...................................................................................................................... 10 Supermalla: ......................................................................................................................... 10 Fuentes dependientes ......................................................................................................... 11 Ley de tensiones ...................................................................................................................... 11 Campo eléctrico y potencial eléctrico ..................................................................................... 12 Caso práctico ....................................................................................................................... 12 BIBLIOGRAFIAS ........................................................................................................................ 14 REFERENCIAS ........................................................................................................................... 14 LEYES DE KIRCHHOFF Las leyes de Kirchhoff fueron formuladas por el físico prusiano Gustav Kirchhoff (1824-1887) en 1845, mientras este aún era estudiante. Es responsable de dos conjuntos de leyes fundamentales en la teoría clásica de circuitos eléctricos y en la emisión térmica. Aunque ambas se denominan leyes de Kirchhoff, probablemente esta denominación es más común en el caso de las leyes de Kirchhoff de la ingeniería eléctrica las que surgen de la aplicación de la ley de conservación de la energía. Estas leyes permiten resolver los circuitos electrónicos utilizando el conjunto de ecuaciones al que ellos responden LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF Esta ley también es llamada ley de nodos o primera ley de Kirchhoff y es común que se use la sigla LCK para referirse a esta ley. La ley de corrientes de Kirchhoff nos dice que: En cualquier nodo, la suma de las corrientes que entran en ese nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. De forma equivalente, la suma de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero La corriente que entra a un nodo es igual a la corriente que sale del mismo. i1 + i4 = i2 + i3 Esta fórmula es válida también para circuitos complejos: La ley se basa en el principio de la conservación de la carga donde la carga en coulombios es el producto de la corriente en amperios y el tiempo en segundos. Por definición, un nodo es un punto de una red eléctrica en el cual convergen tres o más conductores. Esta primera ley confirma el principio de la conservación de las cargas eléctricas. ANÁLISIS DE NODOS En análisis de circuitos eléctricos, el análisis de nodos, o método de tensiones nodales es un método para determinar la tensión (diferencia de potencial) de uno o más nodos. Cuando se analiza un circuito por las leyes de Kirchhoff, se podrían usar análisis de nodos (tensiones nodales) por la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) o análisis de malla (corrientes de malla) usando la ley de tensiones de Kirchhoff (LVK). En el análisis de nodos se escribe una ecuación para cada nodo, con condición que la suma de esas corrientes sea igual a cero en cualquier instante, por lo que una carga nunca puede acumularse en un nodo. Estas corrientes se escriben en términos de las tensiones de cada nodo del circuito. Así, en cada relación se debe dar la corriente en función de la tensión que es nuestra incógnita, por la conductancia. Por ejemplo, para un resistor, Irama = Vrama * G, donde G es la Conductancia del resistor. El análisis de nodos es posible cuando todos los nodos tienen conductancia. Este método produce un sistema de ecuaciones que puede resolverse a mano si es pequeño, o también puede resolverse rápidamente usando álgebra lineal en un computador. Por el hecho de que forme ecuaciones muy sencillas, este método es una base para muchos programas de simulación de circuitos (por ejemplo, SPICE). Cuando los elementos del circuito no tienen conductancia, se puede usar una extensión más general del análisis de nodos: el análisis de nodos modificado La ley de corrientes de Kirchhoff es la base del análisis de nodos. Procedimiento 1. Localice los segmentos de cable conectados al circuito. Estos serán los nodos que se usarán para el método. 2. Seleccione un nodo de referencia (polo a tierra). Se puede elegir cualquier nodo ya que esto no afecta para nada los cálculos; pero elegir el nodo con más conexiones podría simplificar el análisis. 3. Identifique los nodos que están conectados a fuentes de voltaje que tengan una terminal en el nodo de referencia. En estos nodos la fuente define la tensión del nodo. Si la fuente es independiente, la tensión del nodo es conocida. En estos nodos no se aplica la LCK. 4. Asigne una variable para los nodos que tengan tensiones desconocidas. Si la tensión del nodo ya se conoce, no es necesario asignarle una variable. (Véase Figura 2) 5. Para cada uno de los nodos, se plantean las ecuaciones de acuerdo con las Leyes de Kirchhoff. Básicamente, sume todas las corrientes que pasan por el nodo e iguálelas 6. Si hay fuentes de tensión entre dos tensiones desconocidas (entre dos nodos desconocidos), una esos dos nodos como un supernodo, haciendo el sumatorio de todas las corrientes que entran y salen en ese supernodo. Las tensiones de los dos nodos simples en el supernodo están relacionadas por la fuente de tensión intercalada. 7. Resuelva el sistema de ecuaciones simultáneas para cada tensión desconocida. Densidad de carga variante La LCK solo es válida si la densidad de carga se mantiene constante en el punto en el que se aplica. Considere la corriente entrando en una lámina de un condensador. Si uno se imagina una superficie cerrada alrededor de esa lámina, la corriente entra a través del dispositivo, pero no sale, violando la LCK. Además, la corriente a través de una superficie cerrada alrededor de todo el capacitor cumplirá la LCK entrante por una lámina sea balanceada por la corriente que sale de la otra lámina, que es lo que se hace en análisis de circuitos, aunque cabe resaltar que hay un problema al considerar una sola lámina. Maxwell introdujo el concepto de corriente de desplazamiento para describir estas situaciones. La corriente que fluye en la lámina de un capacitor es igual al aumento de la acumulación de la carga y además es igual a la tasa de cambio del flujo eléctrico debido a la carga (el flujo eléctrico también se mide en Coulombs, como una carga eléctrica en el SIU). Esta tasa de cambio del flujo , es lo que Maxwell llamó corriente de desplazamiento : Cuando la corriente de desplazamiento se incluye, la ley de Kirchhoff se cumple de nuevo. Las corrientes de desplazamiento no son corrientes reales debido a que no constan de cargas en movimiento, deberían verse más como un factor de corrección para hacer que la LCK se cumpla. En el caso de la lámina del capacitor, la corriente entrante de la lámina es cancelada por una corriente de desplazamiento que sale de la lámina y entra por la otra lámina Esto también puede expresarse en términos del vector campo al tomar la Ley de Ampere de la divergencia con la corrección de Maxwell y combinando la ley de Gauss, obteniendo: Esto es simplemente la ecuación de la conservación de la carga en forma integral, dice que la corriente que fluye a través de una superficie cerrada es igual a la tasa de pérdida de carga del volumen encerrado (Teorema de Divergencia). La ley de Kirchhoff es equivalente a decir que la divergencia de la corriente es cero, para un tiempo invariante p, o siempre verdad si la corriente de desplazamiento está incluida en J. ejemplos Ejemplo 1: Caso básico La única tensión desconocida en este circuito es V1. Hay tres conexiones en este nodo y por esta razón, 3 corrientes a considerar. Ahora se analiza todas las corrientes que pasan por el nodo, así: Con ley de corrientes de Kirchhoff (LCK), tenemos: Se resuelve con respecto a V1: Finalmente, la tensión desconocida se resuelve sustituyendo valores numéricos para cada variable. Después de haber obtenido estas ecuaciones y conocer cada tensión, es fácil calcular cualquier corriente desconocida. SUPERNODOS En este circuito, inicialmente tenemos dos tensiones desconocidas, V1 y V2. La tensión en la terminal positiva de VB ya se conoce porque la otra terminal se encuentra en el nodo de referencia. La corriente que pasa por la fuente de voltaje VA no puede ser calculada directamente. Además no podemos escribir las ecuaciones de corriente para V1 y V2. Incluso si los nodos no pueden resolverse individualmente, sabemos que la combinación de estos nodos es cero. Esta combinación de los dos nodos es llamada el método de supernodo, y requiere una ecuación adicional, que involucre las tensiones que afectan a la fuente, V1 = V2 + VA. El sistema de ecuaciones para este circuito es: Al sustituir V1 en la primera ecuación y resolviendo con respecto a V2, tenemos: Ejemplo de resolución por supernodos Para calcular la tensión entre las terminales de la fuente de tensión, sumamos las tensiones de las resistencias que están unidas a estos nodos, y además consideramos los dos nodos de la fuente de tensión como uno solo, así Tensión en la resistencia de 4Ω: Factorizando Factorizando Finalmente, planteamos una ecuación para la fuente de voltaje la cual es la caída de voltaje en los nodos así: Observación: Debemos tener en cuenta la polaridad de la fuente para plantear esta última ecuación, y así obtener el sistema de ecuaciones para determinar los valores de los voltajes. LEY DE TENSIONES DE KIRCHHOFF ¿Cuál es el significado de la palabra "malla"? En el método de la corriente de malla, usamos las mallas de un circuito para generar las ecuaciones LVK. Para usar esta técnica se procede de la siguiente manera: se asigna a cada una de las mallas del circuito una corriente imaginaria que circula en el sentido que nosotros elijamos; se prefiere asignarles a todas las corrientes de malla el mismo sentido. De cada malla del circuito, se plantea una ecuación que estará en función de la corriente que circula por cada elemento. En un circuito de varias mallas resolveríamos un sistema lineal de ecuaciones para obtener las diferentes corrientes de malla. Corrientes de malla y mallas esenciales La técnica de análisis de mallas funciona asignando arbitrariamente la corriente de una malla en una malla esencial. Una malla esencial es un lazo que no contiene a otro lazo. Cuando miramos un esquema de circuito, las mallas se ven como una ventana. En la figura 1 las mallas esenciales son uno, dos y tres. Una vez halladas las mallas esenciales, las corrientes de malla deben ser especificadas. Una corriente de malla es una corriente que pasa alrededor de la malla esencial. La corriente de malla podría no tener un significado físico pero es muy usado para crear el sistema de ecuaciones del análisis de mallas.1 Cuando se asignan corrientes de malla es importante tener todas las corrientes de malla girando en el mismo sentido. Esto ayudará a prevenir errores al escribir las ecuaciones. La convención es tenerlas todas girando en el sentido de las manecillas del reloj.2 En la figura 2 se muestra el mismo circuito de antes pero con las corrientes de malla marcadas. La razón para usar corrientes de malla en vez de usar LCK y LVK para resolver un problema es que las corrientes de malla pueden simplificar cualquier corriente planteada con LCK y LVK. El análisis de mallas asegura el menor número de ecuaciones, simplificando así el problema. Figura 2: Circuito con corrientes de malla marcadas como i1, i2, e i3. Las flechas muestran la dirección de la corriente de malla Planteando las ecuaciones Después de nombrar las corrientes de malla, se plantea una ecuación para cada malla, en la cual se suma todas las tensiones de todos los componentes de una malla. Para los elementos que no son fuentes de energía, la tensión será la impedancia del componente por la corriente que circula por él.3 Cuando un componente se encuentra en una rama que pertenece a dos mallas, su corriente será resultado de la resta de las corrientes de malla a las que pertenezca. Es importante tener esto en cuenta a la hora de expresar la tensión en la rama en función de la intensidad que circula por ella. Por ejemplo, la tensión de la resistencia R2 en la figura 2 es: , siendo la corriente de malla de la que estamos escribiendo su ecuación e la malla vecina; considerando positiva la corriente de la malla que estamos describiendo y negativa la corriente de malla vecina. Es importante tener en cuenta los signos. Figura 3: Circuito simple usando análisis de mallas Si hay una fuente de tensión en la corriente de malla, la tensión en la fuente es sumada o sustraída dependiendo si es una caída o subida de tensión en la dirección de la corriente de malla. Para una fuente de corriente que no esté contenida en dos mallas, la corriente de malla tomará el valor positivo o negativo de la fuente de corriente dependiendo si la corriente de malla está en la misma dirección o en dirección opuesta a la fuente de corriente.2 A continuación se plantean las ecuaciones del circuito de la figura 3, Una vez halladas las ecuaciones, el sistema puede resolverse usando alguna técnica que resuelva sistema de ecuaciones lineales. Observación: En circuitos resistivos (donde solo haya resistencias), si al resolver el sistema una corriente de malla es negativa significa que esa corriente circula en sentido contrario al que nosotros hemos supuesto. En circuitos de corriente alterna con condensadores, bobinas, será importante el criterio de signos ya que a la hora de restar intensidades, como trabajaremos con números complejos, a través de la fórmula de Euler, tendremos cambios de módulo y de fase en la intensidad resultante, no nos basta con fijar la de mayor módulo como positiva; tenemos que acudir al patrón de corriente positiva en sentido horario (o anti horario, a nuestra elección). Casos especiales Hay dos casos especiales en la técnica de análisis de mallas: supermallas y fuentes dependientes Supermalla: Existe una supermalla cuando una fuente de corriente está entre dos mallas esenciales. Para tratar la supermalla, se trata el circuito como si la fuente de corriente no estuviera allí. Esto produce una ecuación que incorpora las dos corrientes de malla. Una vez que se plantee esta ecuación, se necesita una ecuación que relacione las dos corrientes de malla con la fuente de corriente, esto será una ecuación donde la fuente de corriente sea igual a una de las corrientes de malla menos la otra. A continuación hay un ejemplo de supermalla Figura 4: Circuito con una supermalla. Supermalla ocurre porque la fuente de Fuentes dependientes Una fuente dependiente es una fuente de corriente o de tensión que depende de la tensión o de la corriente de otro elemento en el circuito. Cuando una fuente dependiente está en una malla esencial, la fuente dependiente debería ser tratada como una fuente normal. Después de que se haya planteado la ecuación de malla, se necesita una ecuación para la fuente dependiente. Esta es una ecuación que relaciona la variable de la fuente dependiente con la corriente o tensión de la fuente de la que depende del circuito. A continuación hay un ejemplo simple de una fuente dependiente Figura 5: Circuito con fuente dependiente. ix es la corriente que la fuente dependiente de tensión depende. Ley de tensiones Esta ley es llamada también segunda ley de Kirchhoff , se la conoce como la ley de las tensiones. En un circuito cerrado, la suma de todas las caídas de tensión es igual a la tensión total suministrada. De forma equivalente, la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico en un circuito es igual a cero. De igual manera que con la corriente, las tensiones también pueden ser complejos, así: Esta ley se basa en la conservación de un campo potencial de energía. Dado una diferencia de potencial, una carga que ha completado un lazo cerrado no gana o pierde energía al regresar al potencial inicial. Esta ley es cierta incluso cuando hay resistencia en el circuito. La validez de esta ley puede explicarse al considerar que una carga no regresa a su punto de partida, debido a la disipación de energía. Una carga simplemente terminará en el terminal negativo, en vez del positivo. Esto significa que toda la energía dada por la diferencia de potencial ha sido completamente consumida por la resistencia, la cual la transformará en calor. Teóricamente, y, dado que las tensiones tienen un signo, esto se traduce con un signo positivo al recorrer un circuito desde un mayor potencial a otro menor, y al revés: con un signo negativo al recorrer un circuito desde un menor potencial a otro mayor. En resumen, la ley de tensión de Kirchhoff no tiene nada que ver con la ganancia o pérdida de energía de los componentes electrónicos (Resistores, capacitores, etc.). Es una ley que está relacionada con el campo potencial generado por fuentes de tensión. En este campo potencial, sin importar que componentes electrónicos estén presentes, la ganancia o pérdida de la energía dada por el campo potencial debe ser cero cuando una carga completa un lazo. Ley de tensiones de Kirchhoff, en este caso v4= v1+v2+v3. No se tiene en cuenta a v5 porque no forma parte de la malla que estamos analizando Campo eléctrico y potencial eléctrico La ley de tensión de Kirchhoff puede verse como una consecuencia del principio de la conservación de la energía. Considerando ese potencial eléctrico se define como una integral de línea, sobre un campo eléctrico, la ley de tensión de Kirchhoff puede expresarse como: Caso práctico Asumiendo una red eléctrica consistente en dos fuentes y tres resistencias, disponemos la siguiente resolución: (antes de empezar, es necesario aclarar la convención de signos: si recorro la malla a favor de la corriente, el potencial asociado a la resistencia es negativo; caso contrario es positivo. Si recorro la fuente y hay una subida de potencial (de - a +), la fem es positiva; caso contrario es negativa). De acuerdo con la primera ley de Kirchhoff (ley de los nodos), tenemos La segunda ley de Kirchhoff (ley de las mallas), aplicada a la malla según el circuito cerrado s1, nos hace obtener: La segunda ley de Kirchhoff (ley de las mallas), aplicada a la malla según el circuito cerrado s2, por su parte: Debido a lo anterior, se nos plantea un sistema de ecuaciones con las incógnitas Dadas las magnitudes: la solución definitiva sería: BIBLIOGRAFIAS Kasatkin - Perekalin: 'Curso de Electrotecnia,' Editorial Cartago Ernst A. Guillemin (1959). Introducción a la teoría de los circuitos (José Batlle Gayán, trad.). Editorial Reverte. ISBN 978-84-291-3040-9. Kuznetsov: 'Fundamentos de Electrotecnia,' Editorial Mir Redondo Quintela, Félix; Redondo Melchor, Roberto Carlos (2005). Redes eléctricas de Kirchhoff (2 edición). REVIDE S. L. ISBN 84-921624-9-X. 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